Свойства дисперсии

Свойство 1. Дисперсия постоянной величины C равна нулю:

D(C)=0.

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

D(CX)= C²D(X).

Свойство 3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:

D(X+Y = D(X)+ D(Y).

Свойство 4. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

D(X-Y)= D(X)+ D(Y).

Для оценки рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения кроме дисперсии служат и некоторые другие характеристики. К их числу относится среднее квадратическое отклонение.

Средним квадратическим отклонением случайной величины X называют квадратный корень из дисперсии: .

В дальнейшем, для упрощения записей будем обозначать среднее квадратическое отклонение и дисперсию соответственно σ_x и D_x.

Нормальный закон распределения

Нормальный закон распределения (часто называемый законом Гаусса) играет исключительно важную роль в теории вероятностей и занимает среди других законов распределения особое положение. Главная особенность, выделяющая нормальный закон среди других законов, состоит в том, что он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения.

Нормальный закон распределения характеризуется плотностью вероятности вида:

.

Кривая распределения по нормальному закону имеет симметричный холмообразный вид. Максимальная ордината кривой, равная , соответствует точке x=m; по мере удаления от точки m плотность распределения падает, и при x→±∞ кривая асимптотически приближается к оси абсцисс. Причем m соответствует математическому ожиданию, а σ – среднему квадратическому отклонению случайной величины.

рис.5

Параметр σ характеризует не положение, а форму кривой распределения. Наибольшая ордината кривой распределения обратно пропорциональна σ; при увеличении σ максимальная ордината уменьшается. Так как площадь кривой распределения всегда должна оставаться равной единице, то при увеличении σ кривая распределения становится более плоской, растягиваясь вдоль оси абсцисс; и наоборот, сжимается при уменьшении σ.

Зная σ и m можно ориентировочно указать интервал возможных значений случайной величины. Такой способ оценки диапазона возможных значений случайной величины называется «правилом трех сигм». Сущность этого правила состоит в том, что если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения.

Разумеется, этот грубый прием может быть рекомендован, только если нет других, более точных способов определения σ.

2. Основные понятия теории случайных функций.

Ограничиваясь рассмотрением отдельных случайных величин, мы и изучали случайные явления как бы в «статике». Однако такой подход к изучению случайных явлений в ряде практических задач является явно недостаточным. На практике часто приходиться иметь дело со случайными величинами, непрерывно изменяющимися в определенном процессе. Такие изменяющиеся случайные величины будем называть случайными функциями.

Случайной функцией называется функция, которая в результате опыта может принять тот или иной конкретный вид, неизвестно заранее – какой именно.

Иначе, случайной функцией называют функцию неслучайного аргумента t, которая при каждом фиксированном значении аргумента является случайной величиной. Случайные функции аргумента t обозначают прописными буквами X(t), Y(t) и т.д.

Для краткости дальнейшего изложения введем понятие сечения.

Рассмотрим некоторую случайную функцию X(t). Предположим, что над ней произведено n независимых опытов, в результате которых получено n реализаций.

Рис.6

Обозначим их соответственно номеру опыта x₁(t), x₂(t),…, x_n(t).

Каждая реализация, очевидно, есть обычная (неслучайная) функция. Таким образом, в результате каждого опыта случайная функция X(t) превращается в обычную, неслучайную функцию.

Зафиксируем теперь некоторое значение аргумента t и посмотрим, во что превратится при этом случайная функция X(t). Очевидно, она превратится в случайную величину – сечение случайной функции.

Сечением случайной функции называют случайную величину, соответствующую фиксированному значению аргумента случайной функции.

Конкретный вид, принимаемый случайной функцией в результате опыта, называется реализацией случайной функции.

Итак, случайную функцию можно рассматривать как совокупность ее возможных реализаций.

По своему определению, случайные функции могут зависеть как от одного аргумента, так и от нескольких. Например, характеристики прочности неоднородного стержня, температура воздуха в различных слоях атмосферы, аэрологические данные и т.п.

Рассмотрим некоторую случайную функцию X(t) на определенном отрезке времени и попытаемся ответить на вопрос: что должен представлять собой закон распределения случайной функции?

Что касается закона распределения случайной функции, который представляет собой функцию бесчисленного множества аргументов, то такой закон в лучшем случае можно чисто формально записать в какой-либо символической форме; практическое же пользование подобной характеристикой, очевидно, совершенно исключено.

Можно, однако, для случайной функции построить некоторые вероятностные характеристики, аналогичные законам распределения. Идея построения этих характеристик заключается в следующем.

Случайная величина X(t) – сечение случайной функции в момент времени t обладает законом распределения, который в общем случае зависит от t.

Рис.7

Обозначим его f(x,t). Функция f(x,t) называется одномерным законом распределения случайной функции X(t).

Очевидно, функция f(x,t) не является полной исчерпывающей характеристикой случайной функции X(t). Поэтому рассматривают более полную характеристику случайной функции X(t) так называемый двумерный закон распределения: .

Это - закон распределения системы двух случайных величин X(t₁), X(t₂), т.е. двух произвольных сечений случайной функции X(t). Однако, и эта характеристика в общем случае не является исчерпывающей; еще более полной характеристикой был бы трехмерный закон:

.

Очевидно, теоретически можно неограниченно увеличивать число аргументов и получать при этом более подробную и исчерпывающую характеристику случайной функции. Но это крайне громоздко и неудобно.

Поэтому ограничимся рассмотрением простейших характеристик случайных функций, аналогичных числовым характеристикам случайных величин, которые представляют собой в общем случае не числа, а функции.

Математическое ожидание случайной функции X(t) определяется следующим образом. Рассмотрим сечение случайной функции X(t) при фиксированном t. В этом сечении мы имеем обычную случайную величину; определим ее математическое ожидание. Очевидно, в общем случае оно зависит от t, т.е. представляет собой некоторую функцию t: m_x(t) = M[X(t)].

Таким образом, математическим ожиданием случайной функции X(t) называется неслучайная функция m_x(t), которая при каждом значении аргумента t равна математическому ожиданию соответствующего сечения случайной функции.

По смыслу математическое ожидание случайной функции есть некоторая средняя функция, около которой различным образом варьируются конкретные реализации случайной функции.

Рис.8

Геометрически математическое ожидание случайной функции можно истолковать как «среднюю кривую», около которой расположены другие кривые – реализации; при фиксированном значении аргумента математическое ожидание есть среднее значение сечения («средняя ордината»), вокруг которого расположены его возможные значения (ординаты).