Занятие № 2 применение комбинаторных схем для решения задач по теории вероятностей

План

1. Основные понятия комбинаторики: перестановки, сочетания, размещения.

2. Вычисление числа перестановок, сочетаний, размещений.

3. Комбинаторные схемы и их применение для решения задач по теории вероятностей.

Теоретический материал

Каждая из комбинаторных формул определяет общее число элементарных исходов в некотором опыте, состоящее в выборе наудачу k элементов из p элементов некоторого множества Е = {е₁ , е₂ , …, е_р}. При этом в каждом опыте строго оговорено, каким способом производится выбор и что понимается под различными выборками.

Существуют две принципиально различные схемы выбора:

– выбор осуществляется без возвращения элементов;

– выбор осуществляется поэлементно с обязательным возвращением отобранного элемента на каждом шаге и тщательным перемешиванием исходного множества перед следующим выбором.

После того, как выбор тем или иным способом осуществлен, отобранные элементы или их номера могут быть либо упорядочены (выстроены в определенную цепочку), либо нет.

В результате различных сочетаний названных действий могут быть получены следующие 4 комбинации постановки эксперимента по выбору наудачу k элементов из общего числа p различных элементов множества Е.

1. СХЕМА ВЫБОРА, ПРИВОДЯЩАЯ К СОЧЕТАНИЯМ

Если опыт состоит в выборе k элементов без возвращения и без упорядочивания, то различными исходами опыта следует считать k элементные подмножества множества Е, имеющие различный состав.

Получающиеся при этом комбинации элементов (элементарные исходы) носят названия сочетания из p элементов по k, а их общее число считается по формуле

С ^k _{p =}

Пример 1. Из класса, в котором учится 12 девочек и 10 мальчиков, выбирают группу из 4-х учащихся для участия в школьной олимпиаде. Найдите вероятность того, что: а) все участники олимпиады – мальчики; б) среди участников олимпиады 3 девочки и 1 мальчик.

Решение. В данной задаче применяем первую схему комбинаторного выбора, так как речь идет о выборе без возвращения и без упорядочивания.

а) событие А – «все 4 выбранных участника олимпиады – мальчики».

Для вычисления искомой вероятности применяем формулу .

Найдем m – количество благоприятных исходов опыта. В нашем случае m – число вариантов выбора 4-х мальчиков из 10, т. е. m = С ⁴ ₁₀ = 210.

Найдем n – общее количество исходов опыта: n = С ⁴ ₂₂ = 7315.

Искомая вероятность будет равна Р(А) = = 0, 009.

б) событие В – «среди 4 выбранных участников олимпиады 3 девочки и 1 мальчик».

Для вычисления искомой вероятности применяем формулу .

Найдем m – количество благоприятных исходов опыта. В нашем случае m – число вариантов выбора трех девочек (из 12) и одного мальчика (из 10), т. е. m = С ³ ₁₂ С ¹ ₁₀ = 2200.

Найдем n – общее количество исходов опыта: n = С ⁴ ₂₂ = 7315.

Искомая вероятность будет равна Р(А) = = 0,3.

2. СХЕМА ВЫБОРА, ПРИВОДЯЩАЯ К РАЗМЕЩЕНИЯМ

Если опыт состоит в выборе k элементов без возвращения, но с упорядочиванием их по мере выбора в последовательную цепочку, то различными исходами следует считать упорядоченные k элементные подмножества множества Е, отличающиеся либо набором элементов, либо порядком их следования.

Получающиеся при этом комбинации элементов (элементарные исходы) носят названия размещения из p элементов по k, а их общее число считается по формуле

А ^k _{p = .}

Замечание. В частном случае (k = p) опыт состоит в произвольном упорядочивании множества Е, т. е. сводится к случайной перестановке элементов всего множества. В этом случае

А ^p _{p =} p!

Пример 2. Из множества, состоящего из 10 первых букв русского алфавита, выбираются без возвращения 4 буквы и записываются слова в порядке поступления букв. Найдите вероятность того, что наудачу составленное слово оканчивается буквой а.

Решение. Событие А – «наудачу составленное слово оканчивается буквой а».

Для вычисления искомой вероятности применяем формулу .

Найдем m – количество способов разместить на три оставшиеся места по одному из 9 символов (символ а исключен из рассмотрения, поскольку его место уже определено). В нашем случае m – число вариантов выбора 3-х букв из 9, т. е.

m = А ³ ₉ = 504.

Найдем n – число всех 4-буквенных слов в данном опыте: n = А ⁴ ₁₀ = 5040.

Искомая вероятность будет равна Р (А) = = 0,1.

3. СХЕМА ВЫБОРА, ПРИВОДЯЩАЯ К СОЧЕТАНИЯМ С ПОВТОРЕНИЯМИ

Если опыт состоит в выборе с возвращением k элементов множества Е, но без последующего упорядочивания, то различными исходами такого опыта следует считать всевозможные m элементные наборы, отличающиеся составом.

При этом отдельные наборы могут содержать повторяющиеся элементы.

Получающиеся при этом комбинации элементов (элементарные исходы) носят названия сочетания с повторениями из p элементов по k, а их общее число считается по формуле

С ^k_k+p-1.

Пример 3. В технической библиотеке имеются книги по математике, физике, химии и т. д., всего по 16-ти разделам науки. Поступили очередные 4 заказа на литературу. Считая, что любой состав заказанной литература равновозможен, найдите вероятности следующих событий: А – «заказаны книги из различных разделов науки»; В – «заказаны книги из одного и того же раздела науки».

Решение. а) Найдем вероятность события А – «заказаны книги из различных разделов науки». Для вычисления искомой вероятности применяем формулу .

Найдем m – количество способов отобрать без возвращения 4 элемента из 16, т. е. m = С ⁴ ₁₆ = 1820.

Найдем n – число всех равновероятных исходов данного эксперимента равно числу сочетаний с повторениями из 16 элементов по 4.

n = С ⁴ _16+4-1 = 3876.

Искомая вероятность будет равна Р(А) =

б) Найдем вероятность события В – «заказаны книги из одного и того же раздела науки». Для вычисления искомой вероятности применяем формулу . Аналогично первому случаю n – число всех равновероятных исходов данного эксперимента равно n = 3876.

Так как m – количество способов выбрать один раздел из 16, то m = .

Искомая вероятность будет равна Р(В) =

4. СХЕМА ВЫБОРА, ПРИВОДЯЩАЯ К РАЗМЕЩЕНИЯМ С ПОВТОРЕНИЯМИ

Если опыт состоит в выборе k из p элементов множества Е с возвращением и упорядочиванием их в последовательную цепочку, то различными исходами такого опыта следует считать всевозможные m элементные наборы (возможно с повторениями), отличающиеся составом элементов либо порядком их следования.

Получающиеся при этом комбинации элементов (элементарные исходы) носят названия размещения с повторениями из p элементов по k, а их общее число считается по формуле p ^k.

Пример 4. 7 одинаковых шариков случайным образом рассыпаются по 4-м лункам (в одну лунку может поместиться любое число шариков). Какова вероятность того, что в результате данного опыта первая лунка окажется пустой (при этом может оказаться пустой еще какая-нибудь лунка)?

Решение. Занумерум лунки и шарики. Можно считать, что опыт состоит в 7-кратном выборе с возвращением номера лунки и записи 7-буквенного слова. При этом каждому порядковому номеру буквы (номеру шарика) будет соответствовать один из 4-х номеров лунок. Таким образом, число всех способов распределить 7 шариков по 4-м лункам равно числу различных 7-буквенных слов из алфавита в 4 буквы, т. е. n = 4⁷.

Событие А – «первая лунка при рассыпании 7 шариков окажется пустой» соответствует такому выбору, когда символ 1 (номер первой лунки) удален из рассмотрения. Поэтому m – число 7-буквенных слов из алфавита в 3 буквы.

Искомая вероятность будет равна Р(А) = .