5.5. Потоки событий

Потоком событий называется последовательность событий, которые появляются в случайный момент времени.

Свойства потоков событий:

1. Стационарность потока.

Поток называется стационарным, если вероятность m событий на любом промежутке времени τ зависит только от количества событий m и от протяженности интервала τ и не зависит от момента времени, в который этот промежуток начался

2. Отсутствие последействия.

Говорят, что поток событий обладает свойством отсутствия последействия, если вероятность появления m событий на любом промежутке времени не зависит от того, появлялись или нет события в моменты времени непосредственно предшествующие данному промежутку.

Предыстория потока не оказывает влияние на появление событий в ближайшем будущем. Если поток обладает свойством отсутствия последействия, то случайные величины появления событий на непересекающихся промежутках являются независимыми друг от друга.

3. Ординарность.

Говорят, что поток обладает свойством ординарности, если за бесконечно малый промежуток времени может произойти не более 1-го события, т.е. появление 2-х и более событий за малый промежуток времени практически не возможно.

4. Пуассоновский поток

Если поток одновременно обладает свойствами стационарности, отсутствия последействия и ординарности, то он называется простейшим (Пуассоновским) потоком.

Теорема. Если поток представляет собой сумму большого числа независимых стационарных потоков, влияние каждого из которых ничтожно мало, то суммарный поток при условии его ординарности близок к простейшему.

Интенсивностью потока - называется среднее число событий происходящих в единицу времени.

Если поток обладает постоянной интенсивностью, то вероятность появлений m событий на промежутки времени длительностью τ вычисляется по формуле Пуассона.

– Пуассоновский поток.

Задача о простой телеграфной волне.

Имеется некоторое устройство, на которое подается сигнал. Эти сигналы образуют простейших поток.

X(t)	a	-a
P	1/2	1/2

Исследовать характеристики СП X(t), который принимает значения ±a в произвольные моменты времени. Дискретный СП с непрерывным временем. M(X(t)) = 0

X(t1)X(t2)	a^2	-a^2
P	Pчет	Pнечет

Пусть t₁ < t₂ => τ > 0

,следовательно, телеграфная волна эргодический ССП.

Обоснование – должны выполниться следующие свойства

1. Стационарность – нет зависимости от выбора промежутка времени.

2. Отсутствие последействия – в формуле не фигурируют моменты времени.

3. Ординарность

Вероятность не одного события

Вероятность 1-го события

Вероятность более 2-ух событий

при =>

при малых τ стремиться к нулю со скоростью не мене квадрата.