9.3 Приклад

Для суцільного середовища відомий тензор напружень: МПа; МПа; МПа; МПа; МПа; МПа.

Виконати завдання, якщо суцільне середовище – діабаз і для нього =6МПа; МПа; МПа; .

Розв’язок

1. Знаходимо три інваріанти тензора напружень:

2 Головні напруження знаходимо з кубічного рівняння:

.

Корені цього кубічного рівняння знаходимо за допомогою ЕОМ. Ми одержали три корені рівняння:

х₁=-5,165; х₂=-4; х₃=13,165.

Враховуючи, що:

=13,165 МПа; = -4 МПа; = -5,165МПа.

Перевірка:

МПа;

(МПа)²;

(МПа)³.

З перевірки видно, що головні напруження знайдено вірно.

3 Екстремальні значення дотичного напруження дорівнюють:

4. Константи вираховують за формулами:

Знаходимо співвідношення між відомими з умови завдання сталими , і невідомими , , .

МПа;

МПа;

МПа.

5 Головні відносні деформації на основі узагальненого закону Гука дорівнюють:

6 Відносна об’ємна деформація:

.

7 Питома потенціальна енергія деформації дорівнює:

МПа.

8 Питома потенціальна енергія деформації зміни об’єму і форми дорівнюють:

МПа;

МПа.

Перевірка: МПа.

9 Умова міцності за теорією Мора має вигляд:

Висновок: міцність середовища не забезпечена.

10 Розрахунок за допомогою Mathcad

х³+4х²-100х-272

Результати заносимо в таблицю 9.3

Таблиця 9.3

МПа				МПа									МПа
13,165	-4	-5,16		2,08	3,12	4,16	7,488	0,2	2	-0,74	0,93	0,31	17,09	13,68

9.4 Контрольні запитання

За якими формулами визначаються:

1 Три інваріанти тензора напружень?

2 Значення головних напружень?

3 Екстремальні значення дотичних напружень?

4 По відомих значеннях двох пружних сталих три інші сталі?

5 Головні відносні деформації?

6 Відносна об’ємна деформація (дилатація)?

7 Питома потенціальна енергія деформації?

8 Питома потенціальна енергія деформації зміни об’єму і форми?

9 Міцність середовища в даній точці, керуючись теорією міцності Мора?

74