13. Наибольшее и наименьшее значения функции. Теорема Вейерштрасса.

Решение многих практических задач часто сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значения непрерывной на отрезке функции. В курсе анализа доказывается теорема Вейерштрасса.

Теорема Вейерштрасса:

Функция, заданная на отрезке, обязательно принимает на этом отрезке наибольшее и наименьшее значения.

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на [ a;b].

1. Вычислить производную

2. Решить уравнение у^/ = 0 ( найти критические точки)

3. Вычислить значения функции в критических точках и на концах промежутка

4. Определить наибольшее и наименьшее значения из полученных.

14. Определение первообразной.

Основной вопрос дифференциального исчисления – нахождение производной по заданной функции.

Основной вопрос интегрального исчисления – нахождение функции по ее производной.

Определение: Функция F называется первообразной для функции f на заданном промежутке, если для любого х из этого промежутка

F^/ (х) = f (х).

Пример: F(х) = х³ + 2х , f = 3х² + 2

Действительно, F^/ (x) = 3x² + 2 = f (x) => F (x) -

первообразная для f (x).

15. Теорема об общем виде первообразной.

Задача интегрального исчисления состоит в том, чтобы для функции найти все ее первообразные. При решении этой задачи важную роль играет следующее утверждение:

Признак постоянства функции:

Если F^/ (x) = 0 на некотором промежутке I , то функция F – постоянна на данном промежутке.

Все первообразные функции f можно записать при помощи одной формулы, которую называют общим видом первообразной.

Теорема (об общем виде первообразной):

Любая первообразная для функции f на промежутке I

Может быть записана в виде F (x) + C , где F (x) – одна из первообразных функции f (x) на I , С = const.

Пример: f (x) = 5x⁶ – 2^x F(x) = + C

16. Таблица первообразных некоторых функций.

Значения основных первообразных можно записать в виде таблицы:

F	k	x^n(n -1)			sin x	cos x
F	kx + b	+c	ln|x|+c	2 +c	-cosx+c	-sinx+c	tg x+c	-ctg x+c

Примеры:

1. f(x) = x⁵ + 5 F(x) = + 5x +c

2. f(x) = cos x – sin x F(x) = sin x + cos x + c

3. f(x) = F(x) = - ctg x + 2 + c

17. Три правила нахождения первообразных.

Пусть для функции f имеем первообразную F, а для функции g – первообразную G, тогда:

1. Функция f g имеет первообразную F G

2. Функция kf имеет первообразную kF

3. Функция f ( kx+b ) имеет первообразную F (kx+b)

Примеры: 1. f(x)=3x⁵ + 5x³

F(x)= c = c

2. f(x)= 4x⁴

F(x)= +c

3. f(x)=sin (3x-π)

F(x)= - cos (3x-π) + c