- •Оглавление
- •Краткая классификация моделей и методов математического программирования
- •Линейное программирование
- •1. Примеры экономических задач линейного программирования
- •1.1. Задача оптимального производственного планирования
- •1.2. Задача о смесях
- •1.3. Задача о раскрое
- •1.4. Транспортная задача
- •1.5. Вопросы для самопроверки
- •2. Некоторые сведения из линейной алгебры
- •2.1. Основные понятия и теоремы
- •Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Жордана–Гаусса
- •3.3. Переход от задачи минимизации целевой функции к задаче максимизации
- •3.4. Переход от одной формы модели задачи линейного программирования к другой
- •3.4.1. Переход к канонической форме модели
- •3.4.2. Переход от канонической формы модели задачи линейного программирования к стандартной
- •3. 5. Выпуклые множества
- •4. Графический метод решения задачи линейного программирования
- •4.1. Геометрическая интерпретация множества решений линейного неравенства
- •4.2. Геометрическая интерпретация множества решений системы линейных неравенств
- •Возможные случаи области допустимых решений
- •4.3. Вопросы для самопроверки
- •5. Свойства допустимых планов задачи линейного программирования. Опорный план
- •Опорный план. Теорема о соответствии опорного плана вершине многогранника допустимых планов
- •6. Симплекс-метод
- •6.1. Идея симплекс-метода
- •6.2. Алгебра симплекс-метода
- •6.2.1. Алгоритм симплекс-метода
- •6.2.2. Выбор разрешающей строки в симплексных преобразованиях
- •6.2.3. Альтернативный оптимум
- •6.2.4. Признак неограниченности целевой функции
- •6.3. Понятие о вырождении
- •Примеры решения задач симплекс-методом
- •Пример 6.4. Решить симплекс-методом злп:
- •6.4. Вопросы для самопроверки
- •6.5. Индивидуальное задание
- •6.6. Задачи для самостоятельной работы
- •7. Двойственность в линейном
- •7.1. Пример двойственных задач линейного программирования
- •7.2. Правила построения двойственных задач
- •7.3. Симметричные двойственные задачи
- •Пример 7.3. Для задачи:
- •7.4. Основные теоремы двойственности
- •7.5. Анализ устойчивости двойственных оценок
- •7.6. Вопросы для самопроверки
- •7.7. Индивидуальное задание
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Приложение. Применение программы Excel к решению задач линейного программирования
7.6. Вопросы для самопроверки
Запишите математические модели пары двойственных ЗЛП.
Дайте экономическую интерпретацию пары двойственных задач.
Сформулируйте правила построения двойственной задачи к исходной.
Сформулируйте первую теорему двойственности и дайте экономическую интерпретацию.
Сформулируйте и дайте экономическую интерпретацию второй теоремы двойственности.
Перечислите свойства двойственных оценок. В чем заключается их экономический смысл?
7.7. Индивидуальное задание
Для изготовления трех видов продукции (A, B, C) используется три вида ресурсов (1, 2, 3). Объем ресурса нормы его расхода на единицу продукции и цена продукции заданы таблицей (номер таблицы соответствует номеру варианта).
По заданной таблице:
Составьте математическую модель определения оптимального плана выпуска продукции из условия ее максимальной стоимости.
Составьте математическую модель двойственной задачи.
Дайте экономическую интерпретацию двойственной задачи.
Решите исходную задачу симплекс-методом и с помощью электронной таблицы Excel.
Используя теоремы двойственности, найдите оптимальное решение двойственной задачи.
Решите двойственную задачу с помощью электронной таблицы Excel и убедитесь в правильности решения, найденного в п. 5.
Создайте отчет по результатам, по пределам и по устойчивости, поместите их в рабочую книгу и сделайте их распечатку.
Определите дефицитность ресурсов. Расположите ресурсы в порядке убывания дефицитности.
Найдите интервалы устойчивости двойственных оценок.
Определите изменение максимальной стоимости продукции при изменении объема ресурсов на величину , предварительно установив, находятся ли эти изменения в интервалах устойчивости двойственных оценок. Оцените раздельное влияние этих изменений и суммарное.
Оцените целесообразность введения в план новой продукции, для которой заданы: цена с4 = 10 и вектор-столбец (1, 2, 1) Т, задающий нормы затрат ресурсов на производство этой продукции.
Оцените целесообразность закупки дополнительно 30 единиц первого ресурса по цене p1 = 3 у. е.
Таблица 1 |
|
Таблица 2 |
||||||||
Ресурс |
Объем ресурса |
Нормы расхода |
|
Ресурс |
Объем ресурса |
Нормы расхода |
||||
А |
В |
С |
|
А |
В |
С |
||||
1 |
100 |
1 |
6 |
1 |
|
1 |
100 |
5 |
6 |
7 |
2 |
300 |
1 |
3 |
1 |
|
2 |
300 |
4 |
5 |
6 |
3 |
250 |
1 |
4 |
3 |
|
3 |
250 |
7 |
1 |
2 |
Цена продукции |
1 |
4 |
3 |
|
Цена продукции |
3 |
5 |
6 |
||
Таблица 3 |
|
Таблица 4 |
||||||||
Ресурс |
Объем ресурса |
Нормы расхода |
|
Ресурс |
Объем ресурса |
Нормы расхода |
||||
А |
В |
С |
|
А |
В |
С |
||||
1 |
120 |
1 |
3 |
2 |
|
1 |
120 |
8 |
5 |
4 |
2 |
150 |
2 |
1 |
4 |
|
2 |
150 |
3 |
8 |
1 |
3 |
75 |
3 |
7 |
1 |
|
3 |
75 |
2 |
5 |
6 |
Цена продукции |
5 |
10 |
12 |
|
Цена продукции |
5 |
10 |
12 |
||
Таблица 5 |
|
Таблица 6 |
||||||||
Ресурс |
Объем ресурса |
Нормы расхода |
|
Ресурс |
Объем ресурса |
Нормы расхода |
||||
А |
В |
С |
|
А |
В |
С |
||||
1 |
125 |
2 |
1 |
1 |
|
1 |
125 |
3 |
4 |
6 |
2 |
175 |
3 |
2 |
1 |
|
2 |
175 |
5 |
4 |
3 |
3 |
250 |
1 |
4 |
3 |
|
3 |
250 |
2 |
6 |
7 |
Цена продукции |
2 |
4 |
3 |
|
Цена продукции |
2 |
4 |
3 |
||
Таблица 7 |
|
Таблица 8 |
||||||||
Ресурс |
Объем ресурса |
Нормы расхода |
|
Ресурс |
Объем ресурса |
Нормы расхода |
||||
А |
В |
С |
|
А |
В |
С |
||||
1 |
190 |
1 |
2 |
5 |
|
1 |
190 |
5 |
4 |
3 |
2 |
120 |
12 |
4 |
9 |
|
2 |
120 |
7 |
1 |
8 |
3 |
60 |
7 |
1 |
3 |
|
3 |
60 |
4 |
3 |
7 |
Цена продукции |
10 |
11 |
13 |
|
Цена продукции |
10 |
11 |
13 |
||
Таблица 9 |
|
Таблица 10 |
||||||||
Ресурс |
Объем ресурса |
Нормы расхода |
|
Ресурс |
Объем ресурса |
Нормы расхода |
||||
А |
В |
С |
|
А |
В |
С |
||||
1 |
180 |
4 |
3 |
1 |
|
1 |
180 |
5 |
4 |
6 |
2 |
90 |
4 |
5 |
9 |
|
2 |
90 |
7 |
6 |
8 |
3 |
120 |
2 |
1 |
6 |
|
3 |
120 |
1 |
5 |
8 |
Цена продукции |
12 |
5 |
3 |
|
Цена продукции |
12 |
5 |
3 |
||
Таблица 11 |
|
Таблица 12 |
||||||||
Ресурс |
Объем ресурса |
Нормы расхода |
|
Ресурс |
Объем ресурса |
Нормы расхода |
||||
А |
В |
С |
|
А |
В |
С |
||||
1 |
100 |
1 |
3 |
5 |
|
1 |
100 |
6 |
7 |
4 |
2 |
150 |
6 |
4 |
2 |
|
2 |
150 |
2 |
5 |
1 |
3 |
300 |
1 |
3 |
7 |
|
3 |
300 |
3 |
4 |
5 |
Цена продукции |
3 |
4 |
6 |
|
Цена продукции |
3 |
4 |
6 |
||
Таблица 13 |
|
Таблица 14 |
||||||||
Ресурс |
Объем ресурса |
Нормы расхода |
|
Ресурс |
Объем ресурса |
Нормы расхода |
||||
А |
В |
С |
|
А |
В |
С |
||||
1 |
200 |
2 |
4 |
5 |
|
1 |
200 |
3 |
5 |
70 |
2 |
180 |
1 |
2 |
6 |
|
2 |
180 |
4 |
5 |
8 |
3 |
300 |
8 |
3 |
4 |
|
3 |
300 |
1 |
5 |
1 |
Цена продукции |
13 |
5 |
2 |
|
Цена продукции |
13 |
5 |
2 |
||
Таблица 15 |
|
Таблица 16 |
||||||||
Ресурс |
Объем ресурса |
Нормы расхода |
|
Ресурс |
Объем ресурса |
Нормы расхода |
||||
А |
В |
С |
|
А |
В |
С |
||||
1 |
70 |
6 |
4 |
2 |
|
1 |
70 |
3 |
2 |
1 |
2 |
140 |
7 |
11 |
10 |
|
2 |
140 |
5 |
6 |
7 |
3 |
200 |
4 |
5 |
8 |
|
3 |
200 |
1 |
2 |
5 |
Цена продукции |
12 |
13 |
9 |
|
Цена продукции |
12 |
13 |
9 |
||
Таблица 17 |
|
Таблица 18 |
||||||||
Ресурс |
Объем ресурса |
Нормы расхода |
|
Ресурс |
Объем ресурса |
Нормы расхода |
||||
А |
В |
С |
|
А |
В |
С |
||||
1 |
100 |
9 |
2 |
1 |
|
1 |
100 |
4 |
8 |
2 |
2 |
300 |
1 |
3 |
1 |
|
2 |
300 |
8 |
4 |
3 |
3 |
250 |
2 |
9 |
3 |
|
3 |
250 |
2 |
3 |
5 |
Цена продукции |
1 |
4 |
1 |
|
Цена продукции |
12 |
5 |
3 |
||
Таблица 19 |
|
Таблица 20 |
||||||||
Ресурс |
Объем ресурса |
Нормы расхода |
|
Ресурс |
Объем ресурса |
Нормы расхода |
||||
А |
В |
С |
|
А |
В |
С |
||||
1 |
120 |
1 |
3 |
2 |
|
1 |
120 |
7 |
2 |
1 |
2 |
150 |
2 |
1 |
1 |
|
2 |
150 |
4 |
5 |
8 |
3 |
75 |
2 |
2 |
1 |
|
3 |
75 |
6 |
4 |
2 |
Цена продукции |
5 |
10 |
12 |
|
Цена продукции |
10 |
20 |
8 |
||
Таблица 21 |
|
Таблица 22 |
||||||||
Ресурс |
Объем ресурса |
Нормы расхода |
|
Ресурс |
Объем ресурса |
Нормы расхода |
||||
А |
В |
С |
|
А |
В |
С |
||||
1 |
125 |
2 |
1 |
1 |
|
1 |
125 |
1 |
2 |
3 |
2 |
175 |
8 |
2 |
1 |
|
2 |
175 |
4 |
3 |
4 |
3 |
250 |
3 |
4 |
3 |
|
3 |
250 |
3 |
4 |
2 |
Цена продукции |
2 |
4 |
4 |
|
Цена продукции |
13 |
12 |
8 |
||
Таблица 23 |
|
Таблица 24 |
||||||||
Ресурс |
Объем ресурса |
Нормы расхода |
|
Ресурс |
Объем ресурса |
Нормы расхода |
||||
А |
В |
С |
|
А |
В |
С |
||||
1 |
150 |
1 |
8 |
2 |
|
1 |
150 |
3 |
4 |
1 |
2 |
120 |
3 |
1 |
4 |
|
2 |
120 |
5 |
2 |
8 |
3 |
60 |
1 |
8 |
3 |
|
3 |
60 |
6 |
7 |
4 |
Цена продукции |
10 |
11 |
12 |
|
Цена продукции |
15 |
14 |
9 |