- •Глава III
- •§ 1. Основные понятия статистических игр
- •1.2. Пространство стратегий природы
- •1.3. Пространство стратегий статистика. Функция потерь
- •1.4. Примеры статистических игр
- •§ 2. Статистические игры без эксперимента
- •2.1. Представление статистической игры без эксперимента в виде s - игры
- •2.2. Допустимые стратегии в статистических играх
- •2.3. О принципах выбора стратегий в статистических играх
- •2.3.1. Принцип минимакса
- •2.3.2. Байесовский принцип
- •2.4. Геометрическая иллюстрация байесовских стратегий
- •§ 3. Статистические игры с проведением единичного эксперимента
- •3.1. Постановка задачи
- •3.2. Пространство выборок
- •3.3. Решающая функция
- •3.4. Функции риска
- •3.5. Принципы выбора стратегии в играх с единичным экспериментом
- •3.6. Пример задачи принятия решений в сельском хозяйстве
- •§ 4. Использование апостериорных вероятностей
- •4.1. Апостериорное распределение вероятностей
- •4.2. Принцип максимального правдоподобия
- •4.3. Байесовские решения
Глава III
СТАТИСТИЧЕСКИЕ ИГРЫ
§ 1. Основные понятия статистических игр
1.1. Статистические и стратегические игры
Специфическим видом игр, имеющих большое значение при анализе и принятии решений в условиях частичной неопределенности, являются статистические игры. Эти игры существенно отличаются от так называемых стратегических игр, в которых предполагается, что интересы игроков прямо противоположны, и каждый из них стремится максимизировать свой выигрыш. То есть каждый из игроков действует активно и стремится использовать оптимальные стратегии.
В статистической же игре один из игроков оказывается нейтральным, то есть не стремится извлечь для себя максимальной выгоды и не заинтересован в выигрыше. К таким играм относятся игры, в которых в качестве одного из игроков выступает природа (игрок-природа). Другого игрока при этом называют статистиком (игроком-статистиком, или просто игроком).
Следовательно, основными отличиями статистических игр от стратегических являются:
а) отсутствие стремления к выигрышу у игрока-природы, то есть отсутствие антагонистического противника;
б) возможность проведения игроком-статистиком статистического эксперимента для получения дополнительной информации о стратегиях игрока-природы.
Теоретически статистик имеет возможность проведения неограниченного эксперимента, который может сделать его знания о природе сколь угодно полными, что позволит игроку действовать уже в условиях полной определенности. Однако проведению такого эксперимента могут помешать, по крайней мере, два обстоятельства:
На проведение эксперимента требуется время, которого может и не быть, особенно когда решение надо принимать немедленно.
Стоимость эксперимента может превысить величину выигрыша, которую дают дополнительные знания, полученные в результате эксперимента.
Поэтому важной задачей статистика является и само принятие решения о проведении эксперимента - о необходимости и возможности проведения эксперимента, и об объеме исследований.
Таким образом:
Игры, в которых один из игроков - природа, называются статистическими.
Теория таких игр называется теорией статистических решений.
Теория статистических решений является теорией проведения статистических наблюдений, обработки их результатов, и последующего их применения для принятия решений.
1.2. Пространство стратегий природы
Под стратегией природы будем понимать полную совокупность внешних условий, в которых приходится принимать решения статистику. Эту совокупность внешних условий называют – множеством состояний природы , которое состоит из отдельных состояний природы , называемых чистыми стратегиями природы.
Если бы заранее было известно, какую из своих чистых стратегий применит природа в каждом конкретном случае, то статистик принимал бы решение на основании полного знания состояний природы, то есть имел бы игру в условиях полной определенности. Однако обычно известен только полный перечень чистых стратегий . Кроме того, из прошлого опыта или по результатам проведения экспериментов, игрок может определить априорное распределение вероятностей состояния природы. Это распределение определяется или функцией распределения вероятностей , или плотностью распределения вероятностей , или в виде перечня состояний и соответствующих им вероятностей (как дискретная случайная величина):
Здесь и .
Такое априорное распределение вероятностей состояний природы называется смешанной стратегией природы.