Колмаков Ю.Н. Лекции по физике ТулГУ. Механика / mech-zad-TulGU

5. Релятивистская механика.

181

5-16. Двойная звезда – две почти одинаковые по массе звезды, обращающиеся вокруг их центра масс – излучает спектр, линии которого периодически становятся двойными, причем максимальное расщепление спектральных линий ∆ν/ν = 1,2 10–4 происходит через каждые 30 суток. Оценить расстояние между звездами и их суммарную массу.

Ответ: l = 2,97 107 км, М = 2,88 1029 кг.

5-17. Два стержня одинаковой собственной длины lo движутся навстречу друг другу параллельно общей горизонтальной оси. В системе отсчета, связанной с одним из стержней, промежуток времени между моментами совпадения левых и правых концов стержней оказался равным ∆t. Какова скорость одного стержня относительно другого?

Ответ: v = (2l0 ∆t ) 1+(l0 c∆t )2 .

5-18. Две нестабильные частицы движутся в К-системе отсчета по некоторой прямой в одном направлении со скоростью v = 0,99c . Расстояние

между ними в этой системе отсчета l = 120 м. В некоторый момент обе частицы распались одновременно в системе отсчета, связанной с ними. Какой промежуток времени между моментами распада обеих частиц наблюдали в К-системе? Какая частица распалась позже в К-системе?

Ответ: частица, двигавшаяся впереди, распалась позже на время

∆t = lv(c2 −v2 ) = 19,9 мкс.

5-19. С ракеты, движущейся в инерциальной системе К со скоростью v , запускается вторая ракета с той же постоянной скоростью v относительно первой. Угол между направлениями движения ракет равен θ = 60° в системе, связанной с первой ракетой, и равен θ/4 в системе К. Найти скорость

v ракеты. Ответ: v = c 1−cos2 θ 2(2cos2 θ 4)2 = 0,886 c

5-20. Для неподвижного наблюдателя луч света, испущенный с ракеты, движущейся со скоростью v = 3c5 составляет угол θ = 30° с направлени-

ем движения ракеты. Под каким углом θ' к направлению движения был испущен луч для наблюдателя, находящегося на ракете?

Ответ: θ' = 56,4° или 164,7° 5-21. Метровый стержень параллельный оси х движется в положитель-

ном направлении оси у лабораторной системы со скоростью v . В системе О', движущейся вдоль оси х с относительной скоростью v0 , стержень бу-

дет наклонен к оси х' под углом ϕ'. Найти этот угол, предварительно объ-

яснив явление.	Ответ: tgϕ' = vv	с2 1−v2	c2 .
	0	0

182 Глава 6. Задачи для индивидуальной работы

5-22. Сколько энергии (в расчете на единицу массы) необходимо затратить, чтобы сообщить первоначально покоившемуся космическому кораблю скорость v = 0,98c ? Сопротивления нет. Ответ: 3,6 1017Дж/кг

5-23. Частица массы m движется вдоль оси х некоторой системы отсчета по

закону x =	α2 +c2t2 , где α – некоторая постоянная, с – скорость света, t –
время. Найти силу, действующую на частицу в этой системе отсчета.
Ответ:	F = mc2 α

5-24. Пучок релятивистских электронов с массой m и кинетической энергией К падает нормально на поглощающую мишень. Площадь пучка равна S, а

концентрация электронов в нем равна n. Найти силу давления пучка на ми-
шень.	Ответ: F = nSK (K +2mc2 ) (K +mc2 ).

5-25. Найти скорость релятивистского электрона, движущегося равномерно по окружности радиусом 2,5 см в однородном магнитном поле с индукцией

В = 5,5 10–2 Тл, а также силу, действующую на электрон.

Ответ: v = 0,627 c ; F = 1,66 10–12 Н.

5-26. При каких скоростях частицы величина ее кинетической энергии, вычичленная по нерелятивистской формуле отличается от истинного значения не

больше, чем на 1%? Ответ: v ≤ 3, 46 107 м/с

5-27. Частица массы m в момент t = 0 начинает двигаться под действием по-

стоянной силы F . Найти скорость частицы и пройденный ею путь в зависимости от времени t.

Ответ: v = Fct m2c2 + F 2t2 , l = (mc2F )2 +c2t2 −mc2F .

5-28. Первоначально частица покоилась в инерциальной К-системе. В системе отсчета, связанной с частицей, она имеет постоянное ускорение a . Какую скорость приобретет частица в К-системе, преодолев путь l?

Ответ: v = c 1−(1+lac2 )−2 .

5-29. Стартовавшая с Земли воображаемая космическая ракета движется с ускорением а' = 10g, одинаковым в каждой инерциальной системе, мгновенно сопутствующей ракете. Разгон продолжался по земному времени τ = 1 год. Найти ускорение ракеты относительно Земли. На сколько процентов отличается скорость ракеты от скорости света в конце разгона. Каков путь, пройденный ракетой к этому моменту? Определить время разгона ракеты τ0 в системе отсчета,

связанной с самой ракетой.

Ответ: (c −v)		β+	1+β	2		=3,5 мес, где β = a 'τ c.
	c = 0,467% ; τo =(c a ')ln

5. Релятивистская механика.

183

5-30. Найти время и длину пробега до остановки для релятивистского электрона при его начальной полной энергии E0 = 1 Мэв в тормозящем

однородном электрическом поле с напряженностью Е = 10 МВ/м, параллельном начальной скорости частицы.

Ответ: τ = E02 c2 −m2c2 eE = 0, 286 нс; l = (E0 −mc2 )eE = 4,88 см.

5-31. Ракета стартует с поверхности Земли и удаляется с постоянным ускорением a = g =9,81 м/с2 в системе отсчета, связанной с ракетой. Передатчик на ракете испускает световые импульсы с интервалом τ = 1 с. Спустя какое время по земным часам эти импульсы будут регистрироваться на Земле с интервалом ∆t =1 мин ?

Ответ: t = cβa 1−β2 = 29,1 лет, где β = ((∆t )2 −τ2 )((∆t )2 +τ2 ).

5-32. Испытатель запускает ракету, движущуюся с постоянным ускорением а (это ускорение в системе отсчета, связанной с ракетой), и по формулам кинематики нерелятивистского равноускоренного движения вычисляет, что ракета долетит до цели за время t (по часам испытателя). На какое время в действительности запоздает ракета?

Ответ: на		(at 2c)	2	+1
	∆t = t				−1 .

5-33. Энергия фотона в некоторой системе отсчета О равна Е. Найти энергию E ' фотона в системе отсчета О', движущейся со скоростью v относительно О в направлении движения фотона. При каком значении v

окажется, что Е' = E/2? Ответ: E ' = E (c −v)(c +v) ; v = 0,6 c .

5-34. Найти скорость электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов 0,5 МВ без начальной скорости. Ответ: 0,863 с. 5-35. Две свободные частицы с зарядом q и массой m каждая, первоначально покоились на расстоянии r друг от друга. Чему будет равен максимальный импульс одной частицы, если их предоставить самим себе?

Ответ: pmax = q km r +(kq 2rc)2 ; где k =14πε1

5-36. Релятивистский электрон, имеющий импульс p0 , влетает в одно-

родное электрическое поле перпендикулярно силовым линиям. На какой угол отклонится скорость электрона от первоначального направления движения, когда он пройдет разность потенциалов U ?

			2		2eU		mc	2
Ответ: α = arctg		eU		+		1+		.
					cp0		p0
	cp0

184 Глава 6. Задачи для индивидуальной работы

5-37. Частица с массой m и полной энергией Е упруго сталкивается с такой же покоящейся частицей. Найти суммарную кинетическую энергию частиц после соударения в той инерциальной системе отсчета, в которой

покоится центр масс частиц. Ответ: K ' =	2mc	2		E +mc	2	−	2mc	2
									.

5-38. Покоящийся нейтрон имеет полную энергию E0 = 939,55 МэВ и среднее время жизни τ0 = 930 c . Какое среднее расстояние до распада пролетают нейтроны, образующиеся с полной энергией E = 3000 МэВ?

Ответ: l	= cτ	0	(E E	)2 −1 = 8, 46 1011 м .
			0

5-39. Покоящаяся частица массы М распадается на две частицы с массами m1 и m2. Найти кинетические энергии продуктов распада.

			2	2		c2					2	2		c2
Ответ: K	= (M −m )			−m			;	K	= (M −m )			−m
1		1		2				2		2		1
					2M								2M

5-40. Может ли свободный электрон излучить (или поглотить) фотон? Ответ аргументировать, используя законы сохранения энергии-импульса.

Ответ: нет.

5-41. Нейтральный пион с массой m, движущийся в лабораторной системе отсчета в направлении оси х с кинетической энергией равной энергии покоя, распадается на два фотона с одинаковыми энергиями Eγ . Найти

энергию Eγ и угол между направлениями вылета фотонов в этой системе

отсчета.

Ответ: Eγ = mc2 , ϕ = 30o.

5-42. Релятивистская частица с массой m налетела на точно такую же покоящуюся частицу. В результате столкновения образовалась одна частица с массой М. Найти импульс налетавшей частицы и скорость образо-

вавшейся частицы. Ответ: p = Mc (M 2m)2 −1; v = c 1−(2mM )2 .

5-43. В ускорителе на встречных пучках два электрона летят навстречу друг другу с одинаковыми энергиями Е = 10 МэВ. С какой полной энергией Е' должен лететь электрон навстречу покоящемуся электрону-мишени, чтобы в системе центра масс их суммарная энергия была равна энергии двух электронов из встречных пучков? Указание: воспользоваться инвариантностью квадрата 4-вектора энергии-импульса при переходе из одной

системы в другую. Ответ: E ' = 2E2 mc2 −mc2 = 390 МэВ. 5-44. Частица с массой m1, летевшая со скоростью v1 =1,8 105 км/с налетела на покоившуюся частицу с вдвое большей массой m2 = 2m1 . Опре-

5. Релятивистская механика.

185

делить скорость частицы, образовавшейся в результате абсолютно неупру-

гого соударения.	Ответ:	v ' = 5v 13 = 6,92 104	км/с.
		1

5-45. Две одинаковые релятивистские частицы летят навстречу друг другу с одинаковыми полными энергиями E1 = E2 . Чему равна кинетическая

энергия частиц в той системе отсчета, в которой одна из них покоится?

Ответ: K ' = 2(E12 −m2c4 )mc2 .

5-46. Найти пороговую энергию гамма-кванта, порождающего пару электрон-позитрон при столкновении с покоящимся электроном. Указание: использовать инвариантность квадрата 4-вектора энергии-импульса при переходе из лабораторной системы отсчета в систему центра масс.

Ответ: Eпор = 3mec2 2 = 0,769 МэВ.

5-47. Разность уровней энергии ядра железа Fe57 в возбужденном и основном состояниях ∆E0 =14, 4 кэВ. При переходе из возбужденного в основное состояние ядро испускает γ-квант (фотон). На какую величину от-

личается энергия испущенного фотона от энергии ∆E0 ? Масса возбужденного ядра М = 9,5 10–26 кг.

Ответ: ∆E0 − Eф = (∆E0 )2(2Mc2 )=1,94 10−3 эВ.

5-48. Частица с массой m и с полной энергией Е упруго сталкивается с такой же покоящейся частицей. После удара налетавшая частица имеет полную энергию E'. Под каким углом θ к первоначальному направлению движения она улетает?

Ответ: θ = arccos	(E +mc2 )(E '−mc2 )
	(E −mc2 )(E '+mc2 ).

5-49. Покоящаяся частица массы М распадается на две частицы, разность масс которых равна ∆m . Величина разности кинетических энергий разлетающихся частиц равна ∆K . Найти дефект масс реакции распада.

Ответ: ∆M = M ∆Kc2∆m .

5-50. Частица с массой m1 и с полной энергией E1 упруго сталкивается с более легкой покоящейся частицей, масса которой равна m2 (m2 < m1). Найти наибольший угол отклонения налетавшей частицы от первоначального направления движения.

Ответ: θmax = arcsin (m2 m1 ).

	186				Глава 6. Задачи для индивидуальной работы
					Тематика задач
						Кинематика
	5-1.	И	1	5-8.		И	2	5-15.	СД	3
	5-2.	Л	1	5-9.		СД	3	5-16.	ЭД	4
	5-3.	СС	2	5-10.		Л	3	5-17.	СД	4
	5-4.	СД	2	5-11.		СД, СС	3	5-18.	Л	4
	5-5.	ЗВ, Л	2	5-12.		СД	3	5-19.	СС	4
	5-6.	ЗВ, СС	2	5-13.		СД	3	5-20.	СС	4
	5-7.	СД, СС	2	5-14.		Л	3	5-21.	Л, СД, СС	7
						Динамика
	5-22.	ЭИ	1	5-26.		ЭИ	4	5-30.	ЭИ, УД	6
	5-23.	УД	2	5-27.		УД	5	5-31.	ЭД, УД	6
	5-24.	ЭИ, УД	3	5-28.		УД	5	5-32.	УД	6
	5-25.	УД	3	5-29.		УД	6
				Законы сохранения
	5-33.	ЭИ	1	5-39.		ЭИ, ЗС	4	5-45.	ЭИ, ЗС	4
	5-34.	ЭИ	2	5-40.		ЭИ, ЗС	4	5-46.	ЭИ, ЗС	5
	5-35.	ЭИ, ЗС	2	5-41.		ЭИ, ЗС	4	5-47.	ЭИ, ЗС	5
	5-36.	ЭИ, ЗС	3	5-42.		ЭИ, ЗС	4	5-48.	ЭИ, ЗС	5
	5-37.	ЭИ, ЗС	3	5-43.		ЭИ	4	5-49.	ЭИ, ЗС	5
	5-38.	ЭИ, ЗВ	3	5-44.		ЭИ, ЗС	4	5-50.	ЭИ, ЗС	7

ЗВ – релятивистское замедление времени ЗС – законы сохранения полной энергии и релятивистского импульса И – релятивистский интервал Л – преобразование Лоренца

СД – релятивистское сокращение длины СС – релятивистская теорема сложения скоростей

УД – релятивистское уравнение движения (ускоренное движение) ЭД – релятивистский эффект Доплера ЭИ – полная энергия, релятивистский импульс и их связь

Библиографический список

1.Иродов И.Е. Основные законы механики.-4-е изд.- М.: Высшая школа, 1997.- 239 с.

2.Матвеев А.Н. Механика и теория относительности.-2-е изд.- М.: Высшая школа, 1986.- 320 с.

3.Сивухин Д.В. Общий курс физики. Механика.- 2-е изд.- М.: Наука, 1979.- 552 с.

4.Савельев И.В. Курс физики.Т.1: Механика. Молекулярная физика. - М.:

Наука, 1989.- 352 с.

5.Иродов И.Е. Задачи по общей физике. - М.: Наука,1988. - 416 с.

6.Козел С.М., Рашба Э.И., Славатинский Э.И. Сборник задач по физике

(задачи МФТИ). -М.: Наука,1987. - 304 с.

7.Сборник задач по общему курсу физики. Механика. под ред. Яковлева И.А. - М.: Наука,1977. - 288 с.

8.Савельев И.В. Сборник вопросов и задач по общей физике. – 2-е изд.-

М.: Наука, 1988.- 288 с.

9.Жукарев А.С. Задачи повышенной сложности в курсе общей физики. -

М.: МГУ,1985 - 200 с.

10.Мин Чен. Задачи по физике с решениями.-М.: Мир,1978 - 296 с.

11.Сена Л.А. Сборник вопросов и задач по физике. - М.: Высш.шк.,1986 - 239 с.

12.Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. Задачи и упражнения с ответами и решениями. - М.: Мир, 1969.- 624 с.

13.Сахаров Д.И. Сборник задач по физике. –10-е изд.- М.: Учпедгиз, 1963.

–288 с.

Колмаков Юрий Николаевич

Пекар Юрий Александрович

Семин Валерий Анатольевич

МЕХАНИКА И ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

Задачи и методы их решения

Редактор И.А.Есаян Подписано в печать 06.02.02. Формат бумаги 60×84116 . Бумага типо-

граф.№ 2. Офсетная печать. Усл.печ.л. 11,2. Уч.-изд. л. 9,5. Тираж 100 экз. Заказ

Тульский государственный университет. 300600, Тула, просп. Ленина, 92. Редакционно-издательский центр Тульского государственного университета. 300600 Тула, ул.Болдина, 151.