Адиабатический нагрев неоднородного тела
Определение оригинала функции по её изображению
Рассмотрим изображение τ1s для жилы кабеля (тело 1).
Наиболее удобной является следующая форма
Преобразуем выражение
Введем следующие обозначения
γ1= ; γ2=
Тогда последнее выражение τ1sпримет вид
Введем обозначения в соответствии со справочником Менского
где α – корень уравнения
Иначе τ1(t) можно записать так
где τ1нач и τ2нач – соответственно начальные значения превышения температур жилы (тело 1) и изоляции (тело 2);
А0 – постоянная;
А1 и А2 – начальные значения свободных составляющих;
α – эквивалентный коэффициент затухания,
Mathcad
Адиабатический нагрев неоднородного тела
Определение оригинала функции по её изображению
II. Исследовать процесс нагрева однородного тела при зависимом коэффициенте теплоотдачи от превышения температуры kT (τ) и постоянном значении протекающего тока I:
а) Получить дифференциальное уравнение процесса нагрева однородного тела при зависимом коэффициенте теплоотдачи от превышения температуры kT (τ).
Исходные данные
I |
R |
P |
C0 |
KT |
const |
const |
const |
const |
KТ.начτm Принять: m=0,25 и m=1,00 |
Примечание:
1. I, P, C0, kT – соответственно значение тока; выделяема в теле мощность; теплоёмкость тела в целом; коэффициент теплоотдачи.
2. Температура окружающей среды – θ0 = const.
3. Начальные условия – при t = 0, τ = τнач, где τнач = (θнач − θ0) – начальное превышение температуры.
б) Получить зависимости τ = f (t) и t = f (τ) при нормальных условиях нагрева, условиях адиабатического нагрева и условиях охлаждения путём интегрирования дифференциального уравнения процесса нагрева с помощью систему компьютерной математики. Причем предварительно выразить зависимости τ = f (t) и t = f (τ) через параметры режима теплового процесса τу,k, T.
в) Получить оценку постоянной времени Т.
г) Сравнить в аналогичных условиях зависимости τ = f (t) и t = f (τ) при независимом и зависимом коэффициенте теплоотдачи от превышения температуры.
Решение.
Дифференциальное уравнение нагрева однородного тела
где n = 1 + m. По условию задачи принято m= 0,25 и m = 1,00.
На рис.1 представлена «электрическая схема», в которой электрические переходные процессы описываются дифференциальным уравнением подобному дифференциальному уравнению нагрева однородного тела.
Рис.1. «Электрическая схема» теплового переходного процесса нагрева однородного тела (а) и моделируемое однородное тело (б) – проводник.
P = I2R – выделяемая в проводнике током Iмощность потерь, где R–значение сопротивления проводника;
Q – выключатель, обеспечивающий возникновение переходного процесса; 1 – точка «высокого потенциала», соответствующая в нагреваемом проводнике текущей температуре θ; τ = (θ-θ0) – «разность потенциалов» между точкой «высокого потенциала» θ и точкой «нулевого потенциала» - 0, соответствующей температуре окружающей среды θ0; С – общая теплоёмкость проводника;
– тепловое сопротивление окружающей среды.
Дифференциальное уравнение адиабатического нагрева однородного тела:
На рис.2 представлена «электрическая схема», в которой электрические переходные процессы описываются дифференциальным уравнением подобному дифференциальному уравнению адиабатического нагрева однородного тела.
Рис.2. «Электрическая схема» теплового переходного процесса адиабатического нагрева однородного тела (а) и моделируемое однородное тело (б) – проводник.