1.2. Парная регрессия на основе метода наименьших квадратов и метода группировок

Парная регрессия характеризует связь между двумя призна­ками: результативным и факторным. Аналитическая связь между ними описывается уравнениями:

а) прямой:

б) параболы

в) гиперболы и т.д.

Определить тип уравнения можно, исследуя зависимость гра­фически. Однако существуют более общие указания, позволяющие выявить уравнение связи, не прибегая к графическому изображе­нию. Если результативный и факторный признаки возрастают оди­наково, примерно в арифметической прогрессии, то это свидетель­ствует о том, что связь между ними линейная, а при обратной связи - гиперболическая. Если факторный признак увеличивается в арифметической прогрессии, а результативный - значительно бы­стрее, то используется параболическая, или степенная регрессия.

Для определения коэффициентов регрессии (оценка параметров уравнений регрессии) используют метод наименьших квадратов. Сущность метода заключается в нахож­дении параметров модели (a_o, a₁, и a₂ – в уравнение параболы второго порядка) при которых минимизируется сумма квадратов отклонений эмпирических (фактических) значений результативного признака от теоретических, полученных по выбранному уравнению регрессии:

Для прямой зависимости:

Если бы все значения, полученные по данным наблюдения, ле­жали строго на прямой, или для каждой из точек было бы справедливо равенство:

то не существовало бы никаких проблем. Однако на практике име­ем другое:

,

где - разность между данными наблюдения и данными, полученны­ми по уравнению связи.

Эта разность как раз и появляется в силу наличия ошибок уп­рощения, поэтому возникает проблема нахождения таких коэф­фициентов уравнения (регрессии), при которых ошибка была бы минимальной.

Чтобы найти значения коэффициентов регрессии, при которой сумма ошибок будет минимальная, возьмем частные производные по каждому искомому коэффициенту регрессии:

В результате преобразований получим систему нормальных уравнений с k неизвестными (по числу параметров a_k):

,

где n - объем исследуемой совокупности (число единиц наблюдений).

В уравнениях регрессии параметр а_o показывает усредненное влияние на результативный признак неучтенных (не выделенных для исследования) факторов; параметр a₁ (а в уравнении параболы и а₂) - коэффициент регрессии показывает, насколько изменя­ется в среднем значение результативного признака при увеличе­нии факторного на единицу собственного измерения.

Выразим из системы уравнений коэффициенты а_о и а₁:

,

,

Пример. Фирма выпускает видеокассеты. Анализируя данные по издержкам производства, она столк­нулась с проблемой их дифференциации. Особенно трудно оказалось выделить сумму постоян­ных расходов на электроэнергию:

Месяц	Объем пр-ва, тыс. шт. (x)	Расходы на элек­троэнер­гию, у.е. (y)	x^2	yx
январь	10	3750	100	37500
февраль	8	3500	64	28000
март	10	3700	100	37000
апрель	11	3750	121	41250
май	12	3800	144	45600
июнь	9	3430	81	30870
июль	7	3350	49	23450
август	7,5	3350	56,25	25125
сентябрь	8	3420	64	27360
октябрь	10	3700	100	37000
ноябрь	12	3800	144	45600
декабрь	13	3860	169	50180
Итого	117,5	43410	1192,25	428935
В среднем за месяц	9,8	3617,5	-	-

При рассмотрении гиперболической связи система нормальных уравнений:

При рассмотрении уравнения гиперболы система уравнений: