Коллоквиум по матану (Петрова, Бухарова) / Билет 9
.docxБилет 9. Арифметические свойства сходящихся последовательностей.
Пусть lin(n->)xn=a и lim(n->)yn=b, тогда
-
lim(n->) (xnyn) = ab
-
lim(n->) (xn*yn) = a*b
-
lim(n->) (xn/yn) = a/b (b≠0)
Доказательства.
-
Используем замечание 1(!!!!!!!!!!) т.к. lim(n->)xn=a xn=a+n (n – б.м.п.); lin(n->)yn=b yn=b+n (n – б.м.п.)
{xnyn}: xnyn = (ab)+(nn) = lim(n->)(xnyn)=ab. (nn) – б.м.п.
-
xn=a+n; yn=b+n {xn*yn}: xnyn=(a+n)(b+n)=a*b+nb+na+n*n => lim(n->)(xnyn)=ab; (nb+na+n*n) – б.м.п.
-
xn=a+n и yn=b+n – бесконечно малые послед. Т.к. b≠0 пусть =|b|/2 тогда lim(n->)yn=b =|b|/2 n0N: n>n0 |yn-b|<b/2 => n>n0 |yn|>|b|/2 т.е. {xn/yx} определена n>n0.
Рассмотрим xn/yn – a/b = (a+n)/(b+n) – a/b = (n*b-n*a)/(b(b+n)) = (1/yn)*(n-((a/b)*n)).
(b+n) – это yn; (n-((a/b)*n)) – б.м.п.; {1/yn} ограничена т.к. n>n0 |1/yn|<2/|b|.
По теореме(??????) xn/yn=a/b+n, где n=(n-(a/b)* n) – б.м.п. lim(n->)(xn/yn)=a/b.