- •Теория слау
- •Матрицы, действия с матрицами, обратная матрица. Матричные уравнения и их решения.
- •Линейная зависимость и независимость столбцов (строк) матрицы. Критерий линейной зависимости, достаточные условия линейной зависимости столбцов (строк) матрицы.
- •Определители матрицы и их свойства
- •Обратная матрица, алгоритм вычисления обратной матрицы.
- •Система линейных алгебраических уравнений, основные свойства слау, однородность и неоднородность, совместность и несовместность, определенность слау, матричная форма записи слау и ее решения
- •Квадратные системы, метод Крамера
- •Элементарные преобразования слау. Метод Гаусса исследования слау.
- •Критерий совместности слау, теорема Кронекера-Капелли, геометрическая интерпретация на примере 2-х уравнений с 2-мя неизвестными.
- •Однородные слау. Свойство решений, фср, теорема об общем решении однородной системы. Критерий существования нетривиального решения.
- •Неоднородные слау. Теорема о структуре решения неоднородной слау. Алгоритм решения неоднородной слау.
- •Определение линейного (векторного) пространства. Примеры лп.
- •Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов. Критерий линейной зависимости.
- •Достаточные условия линейной зависимости и линейной независимости систем векторов лп. Примеры линейно независимых систем в пространствах строк, многочленов, матриц.
- •Изоморфизм лп. Критерий изоморфности лп.
- •Подпространство лп и линейные оболочки систем векторов. Размерность линейной оболочки.
- •Теорема о пополнении базиса
- •Пересечение и сумма подпространств, прямая сумма подпространств. Теорема о размерности суммы подпространств.
- •Подпространство решений однородной слау, его размерность и базис. Выражение общего решения однородной слау через фср.
- •Матрица перехода от одного базиса лп к другому и ее свойства. Преобразование координат вектора при переходе к другому базису.
- •Определение и примеры линейных операторов, линейные отображения и линейные преобразования
- •Матрица линейного оператора, нахождение координат образа вектора
- •Действия с линейными операторами. Линейное пространство ло
- •Теорема об изоморфности множества линейных преобразований множеству квадратных матриц
- •Матрица произведения линейных преобразований. Примеры нахождение матриц операторов.
- •Определение и свойства обратного оператора, его матрица.
- •Критерий обратимости линейного оператора. Примеры обратимых и необратимых операторов.
- •Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к другому базису.
- •Определитель и характеристический многочлен линейного оператора, их инвариантность по отношению к преобразованиям базиса.
- •Ядро и образ линейного оператора. Теорема о сумме размерностей ядра и образа. Нахождение ядра и образа линейного оператора в фиксированном базисе. Ранг и дефект линейного оператора.
- •Теорема инвариантности ядра и образа ло а относительно перестановочного с ним ло в
- •Алгебраическая и геометрическая кратности собственных значений и их взаимосвязь.
- •Критерий диагонализируемости матрицы линейного оператора, достаточные условия диагонализируемости линейного оператора.
- •Теорема Гамильтона-Кэли
Линейная алгебра
Теория слау
Матрицы, действия с матрицами, обратная матрица. Матричные уравнения и их решения.
Матрица – прямоугольная таблица произвольных чисел, расположенных в определенном порядке, размером m*n (строк на столбцы). Элементы матрицы обозначаются, где i – номер строки, аj – номер столбца.
Сложение (вычитание) матриц определены только для одноразмерных матриц. Сумма(разность) матриц – матрица, элементы которой являются соответственно сумма(разность) элементов исходных матриц.
Умножение (деление)на число– умножение (деление) каждого элемента матрицы на это число.
Умножение матриц определено только для матриц, число столбцов первой из которых равно числу строк второй.
Умножение матриц– матрица, элементы которых задаются формулами:
Транспонирование матрицы– такая матрицаB, строки (столбцы) которой являются столбцами (строками) в исходной матрицеA. Обозначается
Обратная матрица – такая квадратная матрицаX,которая вместе с квадратной матрицей A того же порядка, удовлевторяет условию:, гдеE – единичная матрица, того же порядка что иA. Любая квадратная матрица с определителем, не равным нулю имеет 1 обратную матрицу. Находится с помощью метода элементарных преобразований и с помощью формулы:
Матричные уравнения – уравнения видаA*X=B есть произведение матриц, ответом на данное уравнение является матрицаX, которая находится с помощью правил:
Линейная зависимость и независимость столбцов (строк) матрицы. Критерий линейной зависимости, достаточные условия линейной зависимости столбцов (строк) матрицы.
Система строк (столбцов) называется линейно независимой, если линейная комбинация тривиальна (равенство выполняется только приa1…n=0), гдеA1…n – столбцы(строки), аa1…n – коэффициенты разложения.
Критерий: для того, что бы система векторов была линейно зависма, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из векторов системы линейно выражался через остальные векторы системы.
Достаточное условие:
Определители матрицы и их свойства
Определитель матрицы (детерминанта) – такое число, которое для квадратной матрицыA может быть вычислено по элементам матрицы по формуле:
, где - дополнительный минор элемента
Свойства:
=
При перестановке двух параллельных рядов определитель меняет знак на противоположный
Определитель имеющий два одинаковых ряда равен нулю
Если строки или столбцы линейно зависимы,
Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно вынести за знак определителя
Определитель не изменится если к элементам одного ряда прибавить соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на любое число
Обратная матрица, алгоритм вычисления обратной матрицы.
Обратная матрица – такая квадратная матрицаX,которая вместе с квадратной матрицей A того же порядка, удовлевторяет условию:, гдеE – единичная матрица, того же порядка что иA. Любая квадратная матрица с определителем, не равным нулю имеет 1 обратную матрицу. Находится с помощью метода элементарных преобразований и с помощью формулы:
Понятие ранга матрицы. Теорема о базисном миноре. Критерий равенства нулю определителя матрицы. Элементарные преобразования матриц. Вычисления ранга методом элементарных преобразований. Вычисление обратной матрицы методом элементарных преобразований.
Ранг матрицы – порядок базисного минора (rg A)
Базисный минор – минор порядкаr не равный нулю, такой что все миноры порядка r+1 и выше равны нулю или не существуют.
Теорема о базисном миноре - В произвольной матрице А каждый столбец {строка) является линейной комбинацией столбцов (строк), в которых расположен базисный минор.
Доказательство: Пусть в матрицеAразмеров m*n базисный минор расположен в первых r строках и первых r столбцах. Рассмотрим определитель, который получен приписыванием к базисному минору матрицы А соответствующих элементов s-й строки и k-го столбца.
Отметим, что при любых иэтот определитель равен нулю. Еслиили, то определительD содержит две одинаковых строки или два одинаковых столбца. Если жеи, то определитель D равен нулю, так как является минором (r+λ)-ro порядка. Раскладывая определитель по последней строке, получаем:, где— алгебраические дополнения элементов последней строки. Заметим, что, так как это базисный минор. Поэтому, гдеЗаписывая последнее равенство для, получаем, т.е. k-й столбец (при любом) есть линейная комбинация столбцов базисного минора, что и требовалось доказать.
Критерий detA=0 – Определитель равен нулю тогда и только тогда, когда его строки(столбцы) линейно зависимы.
Элементарные преобразования:
1) умножение строки на число, отличное от нуля;
2) прибавление к элементам одной строки элементов другой строки;
3) перестановка строк;
4) вычеркивание одной из одинаковых строк (столбцов);
5) транспонирование;
Вычисление ранга – Из теоремы о базисном миноре следует, что ранг матрицы А равен максимальному числу линейно независимых строк(столбцов в матрице), следовательно задача элементарных преобразований найти все линейно независимые строки (столбцы).
Вычисление обратной матрицы - Преобразования могут быть реализованы умножением на матрицу A некоторой матрицы T, которая представляет собой произведение соответствующих элементарных матриц: TA = E.
Это уравнение означает, что матрица преобразования T представляет собой обратную матрицу для матрицы . Тогдаи, следовательно,