- •Семинар № 1.
- •5. Выразить гамильтониан гармонического осциллятора через операторы рождения и уничтожения частиц.
- •Семинар № 2.
- •7. Найти высокочастотные проводимость и диэлектрическую проницаемость в теории Друдэ.
- •9. Вычислить значение плазменной частоты в щелочных металлах. Найти выражение для
- •Семинар № 3.
- •11. Вычислить значения константы для щелочных металлов в законе Видемана-Франца в теории Друде.
- •Семинар № 4.
- •14. Вычислить константы в законе Видемана-Франца в теории Зоммерфельда.
- •15. Пересчитать значение параметров для эффекта Зеебека в теории Зоммерфельда.
- •17. Найти значение теплоемкости электронного газа в теории Зоммерфельда.
- •21. Показать что средняя скорость электронов в периодическом потенциале на уровне, заданном номером зоны n и волновым вектором k, определяется выражением.
- •22. Показать, что в теории Блоха k – квазиимпульс.
- •Семинар № 6.
- •23. Рассмотреть движение электронов в периодическом потенциале вида:
- •27. Рассмотреть движение е- в периодическом потенциале вида Дираковской решётки. Найти энергетические зоны.
- •Семинар №7.
- •31. Исследовать движение электронов в одномерном периодическом потенциале. Исследовать случай сильной и слабой проницаемости барьера.
- •Семинар № 8.
- •34. Вычислить концентрацию вакансий (причём равновесную) по Шоттки, пар Френкеля и дивакансий в моноатомном кристалле при конечной температуре.
- •35. Вывести законы Фика.
- •36. Указать, как влияют на диффузию структура кристалла, температура, касательные напряжения.
- •Семинар № 9.
- •37. Выразить значение средней энергии системы через статистическую сумму.
- •38. Найти теплоемкость квантового кристалла в гармоническом приближении. Определить теплоемкость такого кристалла в пределах низкой и высокой температур.
- •Семинар № 10.
- •41. Найти теплоемкость кристалла в моделях Эйнштейна и Дебая.
- •42. Выразить импульс Дебая kd через радиус эквивалентной сферы для 1-го электрона, вычислить его значение для щелочных металлов.
- •45. Вывести вырежение для коэффициента линейного расширения, связав его с величиной .
- •46. Найти коэффициент линейного расширения и вычислить для кристалла, движение атомов которого описывается моделью линейного ангармонического осциллятора.
- •Семинар № 12.
- •47. Рассчитать намагниченность электронного газа, считая, что электроны независимы.
Семинар № 1.
Найти плотность n электронов е- в металлах. Ввести объём на 1е- :,где rs – радиус эквивалентной сферы. Вычислить плотность и радиус эквивалентной сферы для щелочных металлов.
N=νNA=(m/M)NA=ρVNA/M; где ρ – плотность металла,
моль-1
n=ρ NA/M
=>
Вычисления:
n(Li)=;
;
n(K)=;
;
n(Cs)=;
Найти длину свободного пробега λ электронов, рассматривая их как газ твердых шаров с классическим радиусом.
е-движется как диск с площадью поперечного сечения σ =r2, образуя при этом цилиндр объёмаV=λσ, причём в нём содержится всего 1 этот самый е-=>
Вычисления:
3. Найти значение стационарной проводимости σ для щелочных металлов. Извлечь величину τ (время релаксции). Найти значение длины свободного пробега электронов l из значения времени столкновения Друде. Сравнить с длиной свободного пробега λ, полученной в предыдущей задаче.
За времяΔt через площадку S пройдёт заряд: Q= -enSυ Δt =>
плотность тока:
Запишем уравнение движения электрона в проводнике:
В отсутствии тока Е=0, υ=0, следовательно const=0.
Время релаксации будем находить по формуле:
где ρ– удельное сопртивление металла (берём при температуре 273 К)
Вычисления:
4. Считая, что электроны в металле подчиняются статистике Максвелла, найти выражения и вычислить значения средней скорости, среднеквадратичной скорости, средней обратной скорости для электронов в щелочных металлах при комнатной температуре. Сравнить со скоростью электронов, обеспечивающей ток 10А в проводнике сечением .
По определению среднего (через функцию распределения):
Аналогично получаем выражение для среднеквадратичной и средней обратной скорости:
; гдеI– сила тока,j– плотность тока
Вычисления:
5. Выразить гамильтониан гармонического осциллятора через операторы рождения и уничтожения частиц.
Запишем известное выражение для гамильтониана системы:
, где ω – “классическая частота ” осциллятора, матрицы операторовисвязаны соотношением:
Далее расписываем наш гамильтониан, опуская для удобства значки ^ над операторами:
Получили произведение 2 следующих сопряжённых операторов (оператора уничтожения и рождения частиц соответственно):
при полученном выражении для гамильтониана получим:
если К1 – состояние с 1 частицей (рассматриваем невзаимодействующие операторы),
- волновая функция системы без частиц, то при появлении 1 частицы получим:
;
Волновая функция состояния всех осцилляторов:
Семинар № 2.
6. Вычислить констату Холла для щелочных металлов. Рассмотреть установление стационарного режима в задаче Холла. Определить, при каких параметрах выполнено условие ωτ>>1.
Рассматриваем э/м поле с компонентами .
Используем формулу, полученную в лекции:
Знак минус говорит о том, что проводимость обеспечивается отрицательными зарядами.
На каждый электрон в проводнике действует сила:
Сложим 2 полученных уравнения системы:
После замены получаем линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка:
где - марморовская частота прецессии, обусловленная вращением в магнитном поле.
Решение ищется в виде суммы общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного:
Частное решение неоднородного уравнения ищется в виде
При больших временах множитель первое слагаемое зануляется, а второе является решением стационарной задачи, т.е. когда у нас .