Шпоры по уравнениям математической физики

© Sirleh, Nikan, }|{enek, maximkins Ф6-07

Квазилинейное уравнение первого порядка. Характеристические направления и характеристики квазилинейного уравнения. Уравнение (1) называется линейным, если F линейна относительно U, Ux, Ut. Уравнение (1) называется линейным, если F линейна относительно Ux и Ut. Рассмотрим оператор LU = aUx+bUt Опр. Направление l называется характерестическим направлением оператора L в фиксированной точке (x,t) на данной ф-ии U(x,t) Опр. Гладкая кривая Г, в каждой точке которой l является касательной называется характеристикой оператора L на данной ф-ии U(x,t) Опр. Если U(x,t) является решением уравнения LU+f=0, то l и Г называются характеристическим направлением и характеристикой квазилинейного уравнения на заданном решении U(x,t) Диф уравнение характеристик: Теорема: 1) Решение однородного квазилинейного уравнения LU=0 сохраняется на характеристике. 2)решение неоднородного квазилинейного уравнения LU+f=0 то l и Г называются характеристическим направлением и характеристикой квазилинейного уравнения на заданном решении U(x,t)	2. Метод характерсистик решения задачи Коши для линейного уравнения 1 порядка Строим решение методом характеристик 1) 2)Проводим характеристику через интересующую нас точку (x,t), x0(x,t) – точка пересечения характеристики с осью x. 3)	3. Метод характеристик решения задачи Коши для квазилинейного уравнения 1 порядка. Понятие градиентной катастрофы Явление образования разрыва в решении краевых задач для квазилинейных уравнений, обусловленное пересечением характеристик называется градиентной катастрофой.	4.Приведение квазилинейных дифференциальных уравнений 2 порядка к каноническому виду. Характеристики гиперболических уравнений. 1)Δ=a12^2-a11a22>0 –уравнение гиперболического типа Uξη+F(ξ,η,U,Uξ,Uη)=0 Δ<0 – уравнение эллиптического типа Uξξ+Uηη+F(ξ,η,U,Uξ,Uη)=0 Δ=0 – уравнение парболического типа Uξξ +F(ξ,η,U,Uξ,Uη)=0 или Uηη +F(ξ,η,U,Uξ,Uη)=0 Пусть Δ>0 Потребуем, чтобы α11=α22=0 Решаем квадратное уравнение относительно φx ψx.
5.Метод характеристик(распространяющихся волн) решения одномерного волнового уравнения	6.Решение задачи Коши для одномерного волнового уравнения. Формула Даламбера.	7.Решение 1 и 2 краевых задач для волнового уравнения на полупрямой. Лемма. Пусть U(x,t) –решение задачи Коши на прямой. И пусть F(x,t), Ф(x,t),Ψ(x,t) – нечётные(чётные), тогда U(0,t)=0 (Ux(0,t)=0) Док. По формуле Даламбера: Если, (x,t), Ф(x,t),Ψ(x,t) – нечётные Следствие: Краевая задача на некотором промежутке с однородным граничным условием 1 и 2 рода можно свести к з. Коши на прямой, продолжив все неоднородности в уравнениях нечётно или чётно относительно концов промежутка.	8. Отражение волн на границе полупрямой. U(x,t)=F(x-at)+G(x+at) – общее решение однородного волнового уравнения 1). Подставим начальные условия 2).Из граничного условия
Характеристики – нелинейная сетка новых координат. (4)			Диф уравнение характеристик: Теорема: 1) Решение однородного квазилинейного уравнения LU=0 сохраняется на характеристике. 2)решение неоднородного квазилинейного уравнения LU+f=0 удовлетворяет на характеристике условию dU/-f = μdτ Док. 1) 2) (1)
9. Определение, непрерывность и аналитичность Г-функции. Аналитическое продолжение Г-функции с помощью соотношения Г(z+1)=zГ(z). График Г- функции. Г-функцией или Эйлеровским интегралом 2 рода называют след ф-цию: Св-во1: Г определена и аналитична в полуплоскости ReZ>0 Св-во2:Г(z+1)=zГ(z) Доказывается через интегрирование по частям по частям. Следствие1: Г(z)= ,n>N Следствие2:Г(n+1)=n! Г(1)=n! Св-во3:Г можно аналитически продолжить на с\(о,-1,-2,…).Точки 0,-1,-2..явл простыми полюсами и =res =	10. Определение В-функции. Связь Г и В-функций. В-функцией иил Эйлеровским интегралом 1 рода наз след ф-цию от двух переменных: Cв-во1: определена и аналитична на обл. Rex>0,Rey>0 Св-во2: Связь Г и В ф-ций: В(x,y)=B(y,x)= 11. Функциональные свойства В и Г-функций. 1)B(x,y)=B(y,x) = –формула связи 2)B(z,1-z)=Г(z)Г(1-z)= 3) Док-во (3): B(z,z)= симметрии =2=2 Следствие1: Г(n+1/2)= Следствие2:	12. Уравнение гипергеометрического типа. Теорема о производных функций гипергеометрического типа. Общий вид УГТ: Опр. Нетривиальное решение УГТ наз. Функция гиперболического типа ФГТ Теорема.1)ФГТ имеет непрер. Производную всюду,за исключением может быть нулей полинома 2)Производные сами являются ФГТ и удовл.уравнению ,	13. Самосопряжённый вид уравнения гипергеометрического типа. Потребуем: )-весовая функция (σρn)'=τnρn
14. Полиномиальные решения уравнения гипергеометрического типа. Формула Родрига. Теорема1.Для того чтобы частным решением УГТ был полином степени n, необходимо: Док-во:Предположим , что ) ч.т.д. Теорема2.Пусть ( Тогда частным решением УГТ является полином степени n.	15. Достаточное условие ортогональности полиномов гипергеометрического типа. Классические ортогональные полиномы. Пусть Лемма.(Дост. Усл. Ортог-ти ПГТ) Пусть Тогда	16. Классификация классических ортогональных полиномов. Полиномы Якоби, Лежандра и Чебышева. Классификация Коп =0 полиномы Эрмита полиномы Чебышева-Лагерра ( x=az+b Полиномы Якоби Уравнение для полиномов y=0 Весовая функция ; , Формула Родрига для полиномов Якоби Принято	17. Классификация классических ортогональных полиномов. Полиномы Чебышева- Лагерра. Классификация Коп =0 полиномы Эрмита полиномы Чебышева-Лагерра ( x=az+b Полиномы Якоби Уравнение для полиномов Замена Весовая функция C=0, , Формула Родрига
Ортогональность =0-дост.усл.орт-ти =0, -выполнено, если -ортог на(0,) с весом Частный случай -полином Лагерра() (17)	Ортогональность =0 =0, -выполнено, если -ортог на(-1,1) с весом Частные случаи = пол .Лежандра - (16)
18.Классификация классических ортогональных полиномов. Полиномы Эрмита Классификация Коп =0 полиномы Эрмита полиномы Чебышева-Лагерра ( x=az+b Полиномы Якоби Полиномы Эрмита ) Уравнение для полиномов y=0 / * Замена , y=0 , Весовая функция , C=0 Формула Родрига Принято	19. Теорема о нулях классических ортогональных полиномов. Свойства чётности полиномов Якоби и полиномов Эрмита Рассмотрим систему КОП ,орт-к по(a,b) с весом () Св-во1. Док:1) m=0, , 2) Предположим, что ; ч.т.д Св-во 2 Док-во: Св-во 3 Все нули КОП простые и лежат внутри интервала ортогональности (a,b)	20.Интегральное представление классических ортогональных полиномов. Производящая функция для системы классических ортогональных полиномов Интегральные представление КОП , где простой контур С ориентирован протии часовой ,охватывает точку z и лежит в односвязной обл-ти аналитическая ф-ия . Док-во: - ф-ла Родрига -обобщ.ф-ла Коши для аналитична в односвязной обл D -аналитична в D - аналитична в D ч.т.д Опр. Φ(z,t) наз. производящей ф-й для сист. КОП , если в круге Св-во 6 Φ, где С-тот же что и в св-ве 5 Док-во: по св-ву 5) По опр-ю: непер. на С→огр. на С→ M<1 -сход равном в круге ч.т.д	21.Производящая функция для полиномов Лежандра. Лемма Для полин Леж при Док-во Для полином Леж Φ Φ По опр-ию Φ== Замена s=-2t При
22. Рекуррентные формулы для классических ортогональных полиномов. Вывод рекуррентных формул для полиномов Лежандра 3 последних КОП связаны след. рекурент соотн-м: где , Док-во по св-ву 1 ; −ву 2 / ч.т.д.	23. Полнота системы классических ортогональных полиномов. Теорема о разложимости функции в ряд Фурье по системе КОП. Квадрат нормы полиномов Лежандра. Свойство: Пусть – сходится. Тогда Теорема разложимости: Пусть f(z) и f’(z) – кус. Непрерывны на любом Лемма: Для полиномов Лежандра Доказательство:	24 Определение сферических функций. Определение присоединённых ф-ий Лежандра. Сферическими функциями называются собственные функции оператора Лапласса, удовлетворяющие условиям непрверывности(2) и периодичности(3)	25. Ортогональность и квадрат нормы присоединённых функций Лежандра. Решение ур-ия Лежандра: не огр на отр.[-1,1] решение нашего ур-ия K=0,1,2… n=k,k+1,… Теорема.Присоедин. ф-ции Лежандра орт-ны на (-1,1) при фиксир к,т.е.:
		Док-во: Требуется док-ть ,что m=n . Предположим обратное: m<n Рассмотрим , если m>0 По св-ву 2 не меняет знак на (a,b) противоречие m=n Св-во 4 (Св-во четности) Полиномы Якоби при α=β и полиномы Эрмита являются честными, если n=2k нечетными если n=2k+1 Док-во: 1) 2) (19)	Ортогональность =0 =0, -выполнено, если ортог на(-,+) с весом (18)
26. Фундаментальные сферические функции и их свойства. Общее решение уравнения Лапласа в виде ряда Фурье по системе фундаментальных сферических функций. Шаровые функции. Сферич.ф-ции след вида: Наз.ФСФ порядка n Св-во1:ФСФ явл собств.ф-циями оператора : отвечающие с.з. Св-во2:ФСФ орт-ны на един.сфере,т.е Св-во3:ФСФ образуют ортогональный базис в CL2(D,) D={	27. Уравнение Бесселя. Поиск решения уравнения Бесселя в виде обобщённого степенного ряда. Функция Бесселя. Опр. Всевозможные решения уравнения Бесселя называются цилиндрическими функциями. Ищем решение ур. Бесселя в виде обобщённого степенного ряда:	Билет 28. Сходимость степенного ряда для ф-ии Бесселя. Линейная зависимость функций Бесселя. – ур-ие Бесселя Ищем решения ввиде степенного ряда:	29. Функция Бесселя порядка . Асимптотическое представление целых ф-ии при . Аналогично при -: – ур-ие Бесселя – разделим на Замена Замечание: При или получаем
32. Функции Неймана и Ханкеля. Функ. соотношения цил. Функ. Найдём цилиндрическую функцию, которая имеет другое асимптотическое представление При целом ν: - общее решение уравнения Бесселя – функция Неймана При целом , –л.н.з., т.к. имеют л.н.з. асимптотические представления при – функции Ханкеля 1-ого (2-ого) рода При , =	31. Асимптотические представления цилиндрических функций в окрестности точки нуль. Графики функций Бесселя и Неймана. При , , , По формуле дополнения: , , Если , то = При ,	32. Модифицированные цилиндрические функции (цил. ф-ии мнимого аргумента). Асимптотические представления и графики. – ур-ие Бесселя – общее решение уравнения Бесселя Сделаем замену , тогда – модифированное уравнение Бесселя – функция Бесселя мнимого аргумента – Функция Макдональда – монотонно возрастает на (0;+∞) при При ,
Теорема. Любое вещественное решение уравнения Бесселя при имеет асимптотическое представление вида: Где Лемма. :	Теорема. Для любого R>0 ст.ряд сходится равномерно по z и в замкнутой области Док-во: Пусть =C =C Теорема. Ф-ии Бесселя при нецелом :		R= (26)