Лекции по метрологии. 3 Курс. 1 семестр / E-Pogre

Случайная составляющая погрешности вызывает рассеяние результатов измерений, которое обычно обусловлено проявлением случайных причин и носит вероятностный характер. Рассеяние результатов в ряду измерений – несовпадение результатов измерений одной и той же величины в ряду равноточных измерений, как правило, обусловленное действием случайных погрешностей. Количественными оценками рассеяния результатов в ряду измерений могут быть:

размах,

средняя арифметическая погрешность (по модулю),

средняя квадратическая погрешность или стандартное отклонение (среднее квадратическое отклонение, экспериментальное среднее квадратическое отклонение),

доверительные границы погрешности (доверительная граница или доверительная погрешность).

Размах результатов измерений (размах) – оценка R_n рассеяния результатов единичных измерений физической величины, образующих ряд (или выборку из п измерений). Размах результатов измерений R_n (рис. 8) определяют из зависимости

R_n = X_max – X_min,

где X_max и X_min – наибольшее и наименьшее значения результатов измерений в серии.

Размах отклонений R_e от среднего или произвольно выбранного значения, который равен размаху результатов измерений – из зависимости

R_e = e_max – e_min,

где e_max и e_min – наибольшее и наименьшее отклонения результатов от некоторого фиксированного значения.

Х

* * * * *

* *

* * * R_n

* * *

* * * *

n

Рис. 8. Точечная диаграмма результатов многократных измерений одной ФВ.

Х _i – результат измерения, n _i – номер измерения, R_n – размах результатов измерений

Более строгими в математическом смысле оценками погрешностей можно считать среднее арифметическое значение погрешности в серии результатов, среднее квадратическое отклонение погрешности от фиксированного значения результата измерения, границы погрешности.

Средняя квадратическая погрешность результатов единичных измерений в ряду измерений (средняя квадратическая погрешность измерений; средняя квадратическая погрешность; СКП) – оценка рассеяния единичных результатов измерений в ряду равноточных измерений одной и той же физической величины около среднего их значения. В метрологической практике широко распространен термин среднее квадратическое отклонение (СКО) единичных результатов в ряду измерений от их среднего арифметического значения. Это отклонение иногда называют стандартной погрешностью измерений. Если в результаты измерений введены поправки для устранения систематических погрешностей, то отклонения от среднего арифметического значения можно рассматривать как случайные погрешности. В РМГ 29 – 99 предлагается для упорядочения совокупности терминов, родовым среди которых является термин «погрешность измерения», применять термин «средняя квадратическая погрешность». При обработке ряда результатов измерений, свободных от систематических погрешностей, СКП и СКО представляют собой одну и ту же оценку рассеяния результатов единич­ных измерений.

Границы погрешности могут быть определены как предельные значения или как доверительные границы с указанием вероятности попадания погрешности в указанный интервал. В качестве предельных значений или границ могут рассматриваться нижняя и верхняя границы (_н и _в либо – и +), значение модуля погрешности  (в случае если – = +) или значение модуля погрешности, равное большему из абсолютных значений – и +. Доверительные границы погрешности результата измерений (доверительные границы погрешности; доверительные границы) – наибольшее и наименьшее значения погрешности измерений, ограничивающие интервал, внутри которого с заданной вероятностью находится искомое (истинное) значение погрешности результата измерений.

Доверительные границы результата измерений при симметричном распределении вычисляются как , , где , – средние квадратические погрешности, соответственно, единичного и среднего арифметического результатов измере­ний; t – коэффициент, зависящий от доверительной вероятности Р и числа измерений п. При симметричных границах термин может приме­няться в единственном числе – доверительная граница. Иногда вместо термина доверительная граница применяют термин доверительная погрешность или погрешность при данной доверительной вероятности.

Термин средняя квадратическая погрешность результата измерений среднего арифметического (средняя квадратическая погрешность сред­него арифметического; средняя квадратическая погрешность; СКП) введен вместо ранее применявшегося термина среднее квадратическое отклонение результата измерений. Значение этой оценки погрешности рассчитывается как СКО случайной погрешности среднего арифметического значения результата измерений одной и той же величины в данном ряду измере­ний по формуле

где S — средняя квадратическая погрешность результатов единичных измерений, полученная из ряда равноточных измерений; п— число единичных измерений в ряду.

Предельная погрешность измерения в ряду измерений (предельная погрешность) – максимальная погрешность измерения (плюс, минус), допускаемая для данной измерительной задачи. За предельную погрешность часто принимают 3S, то есть _пр⁼±3S.

Для оценки погрешности с учетом неисключенных систе­матических составляющих погрешностей их оценки объединяют с оценками случайных составляющих. Комплексную оценку называют суммарная средняя квадратическая погрешность результата измерений (суммарная погрешность результата; суммарная погрешность) – погрешность результата измерений (состоящая из суммы случайных и неисключенных систематических погрешностей, принимаемых за случайные). Комплексную оценку вычисляют по формуле

где – средняя квадратическая погрешность суммы неисключенных систематических погрешностей при равновероятном распределении (принимаемых за случайные).

Доверительные границы суммарной погрешности (x)_ могут быть вычислены по формуле

где ;  – граница суммы неисключенных систематических погрешностей результата измерений, вычисляемая по формулам

при числе неисключенных систематических погрешностей слагаемых N ≤ 3, или, при числе слагаемых погреш­ностей N ≥4

где К— коэффициент зависимости отдельных неисключенных систематических погрешностей от выбранной доверительной вероятности Р при их равновероятном распределении.

Одной из современных характеристик точности измерений является неопределенность измерений (неопределенность) – параметр, связанный с результатом измерений и характеризующий рассеяние значений, которые можно приписать измеряемой величине. К определению, которое взято из VIM—93, приведены примечания, из которых следует, что параметром может быть стандартное отклонение (или число, кратное ему) или половина интервала, имеющего указанный доверительный уровень. Неопределенность, по мнению авторов документа, состоит (в основном) из мно­гих составляющих. Некоторые из этих составляющих могут быть оценены экспериментальными стандартными отклонениями в статистически распределенной серии результа­тов измерений. Другие составляющие, которые также могут быть оценены стандартными отклонениями, базируются, на данных эксперимента или другой информации.