Цветков Е.Н.

группа Н-30

Изучение кинетики гравитационного осаждения

1. Введение

В химической технологии многие процессы приводят к об­разованию неоднородных систем. Такими системами являются пыли - взвеси частиц твердого вещества в газе; туманы - взвеси мелких капель жидкости в газе; эмульсии - взвеси капель жид­кости в других жидкостях; суспензии - взвеси твердых частиц в жидкости. Для дальнейшей обработки возникает необходи­мость разделения таких систем.

Разделение неоднородных систем может быть осуществлено различными методами, в том числе путем гравитационного осаждения.

Гравитационное осаждение является простейшим методом разделения, отличающимся малыми энергозатратами. Аппара­ты для проведения этого процесса называют отстойниками. Расчет геометрических размеров отстойника требует знания скорости осаждения частиц.

2. Элементы теории

Рассмотрим процесс осаждения твердой шарообразной час­тицы диаметром d, плотность которой ρ_T в жидкости с плот­ностью ρ_ж. В данном случае примем ρ_T > ρ_ж .

Если частицу вводят в жидкость и начальная скорость ее движения будет равна нулю, то она вначале будет двигаться ускоренно, и баланс сил, действующих на нее (рис. 1), можно представить уравнением

T – A – R = J (1)

где T=(πd³/6)ρ_Tg - сила тяжести, равная весу частицы;

Рис. 1.1. Силы, действующие на частицу в гравитационном поле

A=(πd³/6)ρ_Tg - выталкивающая сила, равная по закону Архимеда весу объема вытесненной частицей жидкости;

R=φ(πd²/4)(Woc²/2)ρ_ж - сила сопротивления, отнесенная к поперечному сечению частицы F= πd²/4

J=m(dW_oc/dτ) - силa инерции;

m - масса частицы;

φ - коэффициент сопротивления;

W_oc - скорость осаждения частицы;

τ - время.

С увеличением в начальный момент скорости возрастает сила сопротивления, которая уменьшает ускорение частицы. Через некоторый момент времени можно считать ускорение равным нулю.

При условии постоянства скорости осаждения уравнение действующих на частицу сил будет иметь вид

Т – А – К = 0 (2)

Можно с достаточной для технических расчетов точностью период движения частицы с ускорением исключить из даль­нейшего рассмотрения, так как начальный момент времени движения с ускорением мал по сравнению с общей длительно­стью процесса осаждения.

С учетом этого обстоятельства уравнение (2) можно запи­сать в развернутом виде

(πd³/6)ρ_Tg - (πd³/6)ρ_жg - φ(πd²/4)(W_oc²/2)ρ_ж = 0 (3)

Из уравнения (3) можно получить скорость осаждения

W_oc = 4(ρ_T - ρ_ж)dg/3ρ_жφ (4)

Скорость осаждения твердой частицы непосредственно из уравнения (4) рассчитать нельзя, так как неизвестно значение коэффициента сопротивления φ, который зависит от режима осаждения.

Исследования показывают, что можно выделить три режима осаждения: ламинарный, переходный и турбулентный. Каждый режим осаждения имеет свой характер обтекания твердой час­тицы жидкостью.

Область существования того или иного режима осаждения определяют величиной критерия Рейнольдса

Re = W_ocdρ_ж/μ_ж (5)

При малых числах Rе жидкость плавно «обтекает» частицу без образования вихрей в кормовой части. Коэффициент со­противления в этой области описывают уравнением

φ = 24/Re (6)

Эта зависимость хорошо аппроксимирует опытные данные до Rе=1,85. В этой области силу сопротивления определяют, в основном, сопротивлением трения на поверхности частицы, и она пропорциональна первой степени скорости.

Вторая область - область переходного режима осаждения частицы - лежит в пределах изменения числа 1,85 < Rе < 500.

С увеличением числа Rе в кормовой части осаждающейся частицы образуется «застойная зона», в которой существует замкнутое циркуляционное (вихревое) движение. Пока значе­ния числа Rе невелики, вихри устойчивы. При дальнейшем увеличении числа Rе возрастает интенсивность движения вих­рей, течение становится неустойчивым и начинает наблюдать­ся периодический срыв вихрей с поверхности частицы, кото­рые образуют вихревой след. Если в начале переходной облас­ти основная часть сопротивления приходится на силы трения, то в конце основную часть составляет лобовое сопротивление.

Коэффициент в этой области может быть рассчитан по уравнению

φ = 18,5/Re^0,6 (7)

При увеличении числа Rе от 500 и выше коэффициент со­противления остается практически постоянным, не зависящим от числа Rе (автомодельная область).

В этом случае в кормовой части частицы наблюдается регу­лярный отрыв вихрей. Такой режим осаждения называется турбулентным. Сила сопротивления в этом случае пропорцио­нальна скорости во второй степени. Коэффициент сопротивле­ния определяется, в основном, лобовым сопротивлением и со­ставляет

φ = 0,44 (8)

Используя уравнение (4) и уравнения (6-8), можно оп­ределить скорость осаждения методом последовательных при­ближений. Сопоставляя полученное значение W_oc с предвари­тельным, повторяют расчет до получения необходимой точно­сти.

Неудобства и трудоемкости такого расчета можно избежать, преобразовав уравнение (4) в критериальное. Для этого из уравнения (4) определим φ как функцию остальных пара­метров

φ = (4/3)[(ρ_T - ρ_ж)/ρ_ж](gd/W_oc²) (9)

Умножим левую и правую части на Rе², после преобразо­ваний получим выражение

φ Rе² = (4/3)[gd³ρ_ж(ρ_T - ρ_ж)/μ_ж³] (10)

Безразмерный комплекс правой части является критерием Архимеда

Ar = gd³ρ_ж(ρ_T - ρ_ж)/μ_ж³ (11)

Из уравнения (10) получаем

Re = 1,15(Ar/φ)^0,5 (12)

Подставляя в полученное уравнение значение φ из уравне­ний (6)-(8), получим критериальные уравнения для расчета скорости осаждения.

В ламинарном режиме:

Re = Ar/18 (13)

В переходном режиме:

Re = 0,152(Ar)^0,715 (14)

В турбулентном режиме:

Re = 1,74(Ar)^0,5 (15)

Режим осаждения частицы можно определить и по значе­нию критерия Архимеда.

Так, верхней границей ламинарного режима осаждения служит значение Rе = 1,85, что соответствует значению Аr =33.

Следовательно, при выполнении условия Аг ≤ 33 обеспе­чивается ламинарный режим осаждения. Верхнее предельное значение критерия Архимеда для переходного режима соответствует значению Rе=500, определяется по уравнению (14) и равно 8,3*10⁴.

Переходный режим осаждения ограничивается изменением значений критерия Аr в следующих пределах:

33 < Аr < 8,3*10⁴.

Турбулентный режим осаждения возможен при Rе>500 или при Аr > 8,3*10⁴.

Удобство расчета по уравнениям (13)-(15) заключается в том, что неизвестная величина W_oc входит в определяемый критерий, а параметры, входящие в определяющий критерий Аr, обычно известны по условиям задачи (d, ρ_т, ρ_ж, μ_ж). Уста­новив значение Аr, можно судить о режиме осаждения. Ис­пользуя необходимое уравнение, находим значение Rе, а затем скорость осаждения:

W_oc = (Re/d)( μ_ж/ ρ_ж) (16)

Для случая ламинарного осаждения уравнение (13) после несложных преобразований приводится к виду

Woc = (1/18)[gd2(ρ_T-ρ_ж)/ μ_ж] (17)

Эта формула носит название формулы Стокса.

Для определения скорости осаждения частиц неправильной формы необходимо учитывать отклонение формы от шарооб­разной, введя в расчет коэффициент формы ψ.

Коэффициент формы ψ представляет собой отношение по­верхности частицы шарообразной формы f_щ к поверхности частицы шарообразной формы f_ч, того же веса.

Для шарообразных частиц ψ = 1 (так как f_щ = f_ч), а для частиц любой иной формы ψ <1.

С учетом коэффициента ψ уравнения (13-15) имеют вид

Re = ψAr/18 (18)

Rе=0,152(ψАr)^0,715, (19)

Rе=1,74(ψАr)^0,5. (20)

Рассмотрим физический смысл критериев Rе и Аr .

Критерий Рейнольдса является мерой отношения инерцион­ных сил в жидкостном потоке (в данном случае при обтекании частицы) и вязкостных сил. При малых значениях Rе наблю­дается преобладание вязкостных сил над силами инерции и при обтекании частицы не происходит образования вихрей. При больших значениях Rе, наоборот, преобладает действие инер­ционных сил. Возникшие при обтекании частицы возмущения жидкостного потока вязкостные силы погасить не могут, и за частицей возникает цепочка вихрей.

Критерий Архимеда является мерой отношения подъемной силы (являющейся разностью силы тяжести и архимедовой си­лы) к вязкостным силам.

Таким образом, критериальные уравнения учитывают не только действующие на частицу, в процессе осаждения, силы (уравнение (2), но и характерные особенности обтекания час­тицы жидкостью.