Информационные системы менеджмента - Бажин И.И

		Глава 3. Математические модели в менеджменте							131
Ф =100Х! + 60Х2			->	max		лХ2
X, + Х2	< 100
2Х, + 2Х2		< 300				\	дг(Х1, х2) = 0
X, + 0,4Х2		< 60				^Y^x.ailxi, x2) = о
X, > 0 , Х2 > 0
Пусть,	например,		координаты			х2*	Ль/ /	/>>^Г^^Х 1 ' *2* = °
		0		0
точки Хч = Xi , Хг			= Х2 тако­					7 — С* Y	4. О Y
вы, что для этой точки выпол­
						^	" \	Z.1 — 1>1Л1 + *->2Л2
няются	все ограничения. Та­				0			ч
кая точка		называется		допус­			\
тимым	решением. Множест­							Рис.3.4
во допустимых решений назы­
вается	допустимой			обла­
стью.	Решение		задачи ли­

нейного программирования состоит в отыскании наилучшего решения в допус­ тимой области. Лучшее допустимое решение задачи называется оптимальным. Значение целевой функции, соответствующее оптимальному решению, называ­ ется оптимальным значением задачи математического программирования.

При использовании графического метода решения для изображения допус­ тимой области следует начертить графики всех ограничений (прямые линии). Каждая прямая разделяет область на две полуплоскости (допустимую и недо­ пустимую). Пересечение допустимых полуплоскостей определяет многоуголь­ ник, который и представляет собой множество допустимых решений задачи (допустимую область). Эта область, образованная ограничениями gi(xi,x2) - 9з(Х1,х2), на рис.3.4 показана заштрихованным треугольником.

Если зафиксировать значение целевой функции Z = С1Х1 + C2X2, то соот­ ветствующая этому значению точка будет лежать на некоторой прямой. При из­ менении величины Z эта прямая подвергается параллельному переносу. Пусть (м и С2 таковы, что при удалении прямой от начала координат значение целе­ вой функции увеличивается. Двигая прямую вверх параллельно самой себе, приходим к такому положению Zmax, когда прямая и допустимое множество бу­ дут иметь только одну общую точку А. Очевидно, что точка А с координатами ХЛ = Х-Г и Х2 = Х2* и есть оптимальное решение, так как она лежит на прямой с максимально возможным значением Zmax- Пользуясь изложенным методом, ре­ шим графически нашу задачу.

Преобразуем систему ограничений к виду

XW100+	Х2 /100	< 1
XW150+	Х2 /150	< 1
Х , / 6 0 +	Х2 /150	< 1

X, > 0 , Х2 > 0 ,

132 Часть 1. Новые принципы работы

а целевую функцию запишем в виде

100Х1/Ф + 60Х2/Ф = 1

Пусть Ф(1) = 100x60. Тогда для этого фиксированного значения Ф уравнение прямой имеет вид

X W 6 0 + Х 2 / 1 0 0 = 1

10 ' 20 ' 30 ' 40 ' 50 ' 60 гч 70

80

90 ' 100 ' 110 ' 120 ' 130 ' 140 ' x i

Рис.3.5

Прямая, соответствующая полученному выражению, представлена на рис.3.5 штрих-пунктирной линией. Здесь же изображены прямые, соответствующие сис­ теме ограничений: (1) - труд рабочих; (2) - управление; (3) - сырье. Жирными линиями выделена допустимая область, очерченная прямыми, соответствую­ щими ограничениям по труду рабочих и сырью, а также осями абсцисс и орди­ нат, что соответствует требованию неотрицательности оптимизируемых пара­ метров. Оптимальным решением является точка А, лежащая на пересечении двух ограничений - (1) и (3).

Глава 3. Математические модели в менеджменте

133

3.4.ВЫБОР КРИТЕРИЯ ЭФФЕКТИВНОСТИ

Водной из сказок говорится о юноше, который мог загадать любые три же­ лания. Загадав два из них, он ухитрился попасть в такую беду, что вынужден был загадать последнее желание, чтобы вернуться к своему первоначальному состоянию. Услышав один из многочисленных вариантов этой сказки, смышле­ ные дети говорят, что они смогли бы лучше распорядиться даже однимединственным желанием - для этого надо сразу же загадать исполнение всех последующих желаний.

Целеустремленным системам (а человек является именно такой системой) по своей природе свойственно иметь желания и при этом иметь возможность их удовлетворять.

Мы уже говорили о том, что при подготовке" к решению любой задачи приня­ тия решения как операции должна быть, прежде всего, четко сформулирована цель операции. Очевидно, что при решении проблем важно знать, каковы наши цели. Если решение данной проблемы зависит не только от нас, но еще от како­ го-то лица (или группы лиц), то важно знать, каковы его цели. Кроме того, необ­ ходимо выяснить, как взаимосвязаны преследуемые нами цели с целями, к ко­ торым стремятся другие заинтересованные лица.

3.4.1. АНАЛИЗ ЦЕЛЕЙ

Рассмотрим, прежде всего, наши собственные цели. Проблемы бывают двух видов: одни из них связаны с разрушением, устранением или ограниче­ нием того, что существует, но нежелательно; другие - с достижением или приобретением того, что желательно, но не существует. Решение проблем первого типа означает избавление от источника неудовлетворенности су­

ществующим положением дел (например, от болезни, отвлекающего шу­ ма) - это негативные (отрицательные) цели. Решение проблем второго типа означает получение доступа к источнику удовлетворения (например, это

может быть общение с другом, приобретение нужной книги и т.п.) - это позитивные (положительные) цели.

Позитивные и негативные цели (или утверждение и отрицание) - понятия относительные. Например, желание избавиться от шума можно рассматривать как желание добиться тишины; желание избавиться от болезни можно рассмат­ ривать как желание стать здоровым. Однако к подобному отождествлению сле­ дует подходить осторожно. Если, например, кто-то просто не хочет слушать му­ зыку, звучащую по радио, то «избавление» от нее представляет собой негатив­ ную цель, но если это кто-то хочет слушать другую музыку, то это уже позитив­ ная цель.

Следует отметить важное обстоятельство, что позитивная цель предпо­

лагает достижение и негативной цели, однако обратное утверждение не­ верно. В большинстве случаев избавление от того, что нежелательно, не рав-

134	Часть 1. Новые принципы работы

носильно достижению того, что желательно. Так, например, избавление от зуб­ ной боли приемом лекарства или удалением зуба не может обеспечить полного здоровья организма человека. В то же время на пути достижения позитивной цели - обеспечения полного здоровья - автоматически достигается избавление от зубной боли. Это обстоятельство представляется важным при разрешении руководителем всевозможных конфликтов в организации, как правило, связан­ ных с недовольством существующим положением и желанием от него избавить­ ся (нежелательный руководитель, конфликтный коллега и т.п.). Усилия, направ­ ленные на достижение негативной цели, - это путь борьбы, развития конфлик­ та, в конечном счете - разрушения. Вместе с тем, можно переформулировать проблему в терминах позитивных целей, таких, например, как расширение де­ ла, которым занимается организация. Это приведет к необходимости привлече­ ния новых специалистов, повышения профессионализма сотрудников, что авто­ матически устранит конфликт, так как в более широкомасштабном деле на пер­ вый план выдвинутся истинные профессионалы, а необоснованные амбиции ис­ чезнут сами по себе. Следует отметить, что такая новая формулировка пробле­ мы не всегда просто может быть найдена и всегда требует перехода на бо­ лее высокий уровень системы, в рамках которой только и может произойти автоматическое достижение негативной цели. То есть автоматическое решение проблемы, сформулированной как негативной, может быть осуществлено толь­ ко в системе более высокого ранга по отношению к той, где эта негативная цель поставлена.

Результат решения проблемы всегда можно рассматривать как средство для достижения более отдаленного результата (новой цели). Например, покупка автомобиля - это приобретение в личное пользование одного из средств пере­ движения, которое при этом выступает в качестве цели. Собственный автомо­ биль, в свою очередь, можно рассматривать как средство для поездок на рабо­ ту, которые теперь становятся целью. Каждую промежуточную цель можно рас­ сматривать как средство для достижения последующих целей.

Ранее мы подчеркивали, что лицо, принимающее решение, интересует эф­ фективность имеющихся средств для достижения поставленных целей. Таким образом, эффективность средства является мерой его внешней ценности или мерой его полезности. Внешняя ценность любого объекта (в том числе и ин­ формационного) определяется тем, для чего он может быть использован. На­ пример, внешняя ценность денег определяется их покупательной способностью, и для большинства из нас деньги практически не имеют иной ценности. Однако для нумизмата ценность монет связана не с их покупательной способностью, а с той ценностью, которую эти монеты представляют сами по себе (в конечном счете - на рынке нумизматики). А для Скупого Рыцаря, например, деньги сами по себе являлись источником наслаждения.

Если бы средства и используемые совместно с ними орудия для достиже­ ния цели (деньги, книги, автомобили, язык, математика и т.п.) имели только внешнюю ценность, то в случае одинаковой эффективности этих средств по от­ ношению к одним и тем же целям их выбор был бы безразличен. Так, например, рубашки, одинаковые во всех отношениях, за исключением цвета, имеют равную эффективность как предмет одежды. И все же для нас будут предпочтительны-

Глава 3. Математические модели в менеджменте

135

ми только некоторые из них, так как какие-то цвета нам нравятся больше, а ка­ кие-то меньше. Следовательно, можно сказать, что желание приобрести рубаш­ ку определенной расцветки представляет собой самоцель. Ценность, которую мы приписываем определенному цвету, является внутренне обусловленной, т.е. внутренней ценностью, и не определяется полезностью.

Внутренняя ценность связана непосредственно с получаемым удовлетво­ рением, а внешняя - с ожидаемыми результатами.

Внутренняя ценность средств редко может быть выражена в явном виде, так как, помимо всего прочего, в любой ситуации может существовать целая систе­ ма ценностей. Кроме того, внутренняя ценность - понятие весьма субъективное, и довольно часто ее трудно или даже невозможно обосновать.

Очевидно, что то, к чему мы стремимся (наши цели), влияет на выбор средств. Менее очевиден тот факт, что имеющиеся средства влияют на наш выбор целей. Наше представление о возможных исходах влияет на то, к каким исходам мы стремимся. Тем самым наша способность решать проблемы огра­ ничивается нашими же представлениями о том, какие цели недостижимы. По этой же причине может быть ограниченным даже наше представление о харак­ тере проблемы.

Как уже отмечалось, многие наши формулировки проблем направлены на избавление от того, что нежелательно. Усилия, направленные на избавление от того, что нежелательно (негативные цели), представляет собой ретроспек­ тивное, ориентированное на анализ прошлого, решение проблем. Усилия, на­ правленные на достижение того, чего нет, но что необходимо (позитивные це­ ли), представляют собой перспективное, устремленное в будущее, решение проблем. При таком решении проблем мы устанавливаем рубежи, которых должны достичь, и стараемся это сделать. Хотя и при таком подходе можно упустить важные последствия наших решений, однако вероятность этого мала. Чем скорее же мы хотим избавиться от источника неудовлетворенности, тем меньше вероятность того, что мы будем учитывать важные последствия. Ярким примером этого являются последствия применения химического препарата ДДТ. Поэтому вероятность не обратить внимания на важные последствия ми­

нимальна, когда проблема формулируется в терминах приближения к од­ ному или нескольким идеалам.

Когда мы сосредотачиваем внимание на недостатках существующего поло­ жения дел (негативные цели), то неизбежно рассматриваем эти недостатки не­ зависимо друг от друга. При таком подходе оказывается, что многие из них трудно устранить. Поскольку при стремлении к идеалу (позитивные цели) обна­ руживается взаимосвязь между различными будущими событиями, это застав­ ляет нас рассматривать одновременно множества взаимосвязанных опасностей и благоприятных возможностей как единое целое, как систему проблем.

Целостная система всегда обладает свойствами, которые отсутствуют у ее частей. Например, человек может читать, писать, бегать и т.п., но ни одна часть его тела или совокупность таких частей не могут делать это самостоятельно. Та­ ким образом, система решений взаимосвязанных проблем всегда обладает свойствами, которые отсутствуют у ее частей, а ее части, объединенные в сие-

136 Часть 1. Новые принципы работы

тему, приобретают свойства, которыми они не обладали.

Учет целей других лиц. Решение большинства проблем, особенно затра­ гивающих группы, организации или общество в целом, оказывает влияние как на лицо, принимающее решение, так и на других лиц, которые, как правило, реаги­ руют на любое предполагаемое или осуществляемое решение. Их реакция оп­ ределяется тем, в какой степени решение проблемы повлияет на достижение их собственных целей.

Те, кто имеет власть над другими, обычно считают, что они понимают дру­ гих и знают, каковы их цели. Однако такое мнение часто оказывается ошибоч­ ным, и нередко руководители приписывают окружающим цели, которых у тех в действительности нет. Именно различия в целях между заинтересованными сторонами и лицом, принимающим решение, могут порождать конфликт, и при формировании критерия эффективности операции необходимо учитывать раз­ личия в целях различных участников (сторон) проблемы.

3.4.2. ВСЕЛЕННАЯ КАК ЦЕЛЕУСТРЕМЛЕННАЯ СИСТЕМА

Указанная предпочтительность позитивных целей, практически очевидная при изучении приведенных выше конкретных примеров, имеет между тем общий характер. Эта предпочтительность, если допустить общность этого свойства применительно к абсолютно всем объектам, по сути, означает, что в мире, во Вселенной нет привычного для традиционного понимания Мироздания равнове­ сия между "положительным" и "отрицательным", между "инь" и ян" - продолжая ряд, можно сказать: между "добром" и "злом". То есть Мироздание не обладает симметрией, а имеет вектор "предпочтительного" развития, связанный с пред­ почтительностью и большей общностью позитивных целей. Докажем это, сфор­ мулировав Закон позитивной динамики Вселенной*.

Закон позитивной динамики Вселенной

Вселенная является целеустремленной метасистемой, имеющей век­ тор развития, направленный в сторону осуществления позитивных целей, и из всех возможных альтернативных процессов, происходящих во Все­ ленной, только процессы, реализующие позитивные цели, снижают ее эн­ тропию.

Доказательство проведем методом полной математической индукции.

1.На ряде частных примеров при решении проблем, формулируемых в тер­ минах позитивных или негативных целей, установлено, что позитивная цель

предполагает достижение и негативной цели, однако обратное утвержде­ ние неверно. Для реализации этого свойства позитивных целей в каждом слу-

Открытый и доказанный автором Закон зарегистрирован Международной регистрационной палатой информационно-интеллектуальной новизны, регистрационный номер № 000379, 24 марта 1999 г.

Глава 3. Математические модели в менеджменте

137

чае решения проблемы при новой формулировке цели как позитивной требуется переход в систему более высокий ранга, в которой должна рассматриваться более общая проблема. Достижение этой позитивной цели приведет к автома­ тическому достижению ранее сформулированной негативной цели. В соответст­ вии с этим, можно записать

М(Х,) е М(Х2)

(3.4)

M(Xi) в формуле (3.4) обозначает множество, в котором находятся все решения Xi проблемы, сформулированной в первой системе (индекс 1 у переменной Х-0 как негативной. При переходе на более высокий ранг системы (индекс 2 у пере­ менной Хг) цель переформулирована как позитивная. Формула (3.4) означает, что множество решений, содержащихся в системе ранга 1, полностью входит во множество решений системы ранга 2. То есть, если решена проблема в системе более высокого ранга 2, то состоялось и решение проблемы в системе ранга 1, где была сформулирована негативная цель

2. На более высоком уровне, в системе ранга 2 могут снова возникать про­ блемы, целевые установки которых формулируются как негативные. Тогда необ­ ходим переход в систему более высокого ранга 3, где будет сформулирована позитивная цель (цели), имеющая вектор решений Хз. Для такой ситуации мож­ но привести запись, имеющую тот же смысл, что и формула (3.4)

М(Х2) е М(Х3)

(3.5)

Таким образом, при возникновении проблем, формулируемых в терминах негативных целей, всегда можно найти систему более высокого ранга, где может быть сформулирована позитивная цель, множество решений которой поглощает множество решений системы более низкого ранга с негативной целью.

З.В соответствии с методом математической индукции предположим спра­ ведливость установленной закономерности для любого члена последователь­ ности

М(ХМ) е М(Х„)

(3.6)

4. Метод полной математической индукции требует в предположении (3.6) доказательства справедливости этой зависимости применительно к следующе­ му (к+1) члену последовательности, то есть

М(Хк) е М(Хк+1)

(3.7)

Доказательство. Предположим, что условие (3.7) не выполняется, то есть M(Xk) & M(Xk+i). Это означает, что на некотором k-том шаге решения проблем не может быть найдена система более высокого ранга для формулирования пози­ тивной цели. Такое предположение может быть справедливым только в ограни­ ченных системокомплексах, высший ранг которых определяется рамками по­ ставленной проблемы. Однако это предположение не может быть справедли­ вым применительно к Вселенной в силу ее бесконечности. Неоспоримый факт бесконечности Вселенной приводит к тому, что всегда может быть найдена сие-

138	Часть 1. Новые принципы работы

тема более высокого ранга по отношению к любой, сколь угодно высокого ранга системе или системокомплексу.

Таким образом, выдвинутое предположение M(Xk) г М(Хк+1) не может быть справедливым. Следовательно, (3.7) доказано, а вместе с тем доказанным яв­ ляется постулат о целеустремленности Вселенной по направлению вектора по­ ложительных целей.

Это приводит к доказательству второго постулата закона. Так как в разви­ вающейся Вселенной поддерживается уровень энтропии, обеспечивающий ее существование, то в соответствии с доказанным законом, в силу определенной целеустремленности Вселенной восполнение потерь (то есть снижение энтро­ пии) может достигаться только процессами, реализующими позитивные цели.

На основании приведенного закона могут быть сформулированы четыре важных следствия.

Следствие 1. Поскольку Вселенная является целеустремленной системой, то существует Высший Разум (Логос, Господь, Бог, Провидение), Чья Воля эту цель формирует. Этот Высший Разум является внесистемной субстанцией, вы­ ходящей за "границы" безграничной Вселенной, и в этом смысле непознаваем. Таким образом, доказанный Закон о целеустремленности Мироздания является одновременно и научным доказательством существования Высшего Разума.

Следствие 2. Целеустремленность любой системы в направлении вектора пози­ тивных целей обеспечивает, в конечном счете, успех решению проблем на основе формулирования позитивных целей, поскольку только в этом случае усилия разработчика (руководителя, бизнесмена и т.д.) совпадают с направле­ нием цели Провидения. При формулировании же негативных целей разработчик сталкивается с противодействием Провидения, так как вектор управленческих усилий (как физических, организационных, так и мысленных, информационных) направлен в сторону, противоположную вектору направленности Вселенной.

Следствие 3.Формальное переформулирование целей из негативных в пози­ тивные без перехода в систему более высокого ранга не может привести к авто­ матическому достижению негативных целей. Для достижения этого обязателен переход в систему следующего, более высокого уровня. Этот переход представляет собой перспективное, устремленное в будущее, решение про­ блем в отличие от ретроспективного, основанного на прошлой информацион­ ной базе, решения на уровне негативных целей. Однако такой переход не при­ водит автоматически к легкому решению проблемы: как правило, такой переход сопряжен с большим объемом требуемых ресурсов, включая ресурсы времени.

Следствие 4. Когда при решении проблем возникают ситуации, в которых разра­ ботчик не может найти формулировки позитивной цели, это означает, что, преж­ де всего, им не найдена необходимая система более высокого ранга, охваты­ вающая множество решений проблемы в существующей системе. Поскольку та­ кая система более высокого уровня, в соответствии с доказанным законом, все­ гда существует, необходима трансформация проблемы, обеспечивающая

выход в такую систему.

Глава 3. Математические модели в менеджменте

139

3.4.3. ТРЕБОВАНИЯ К КРИТЕРИЮ ЭФФЕКТИВНОСТИ

Таким образом, проблема определения истинной цели операции представ­ ляется весьма важной, так как в соответствии с этим определяется в математи­ ческой модели критерий эффективности, который должен полностью соответст­ вовать цели операции.

Вследствие такой чрезвычайной важности правильного выбора критерия эффективности, сформулируем основные требования, предъявляемые к крите­ риям. Важнейшими требованиями являются следующие:

•представительность;

•критичность к исследуемым параметрам;

•максимально возможная простота;

•объединение в себе, по возможности, всех основных элементов ис­ следуемой операции;

•правильный учет стохастичности (случайности) процесса. Представительность критерия означает, что критерий должен прямо отра­

жать цель операции, полностью ей соответствовать, позволять оценивать эф­ фективность решения основной задачи операции, а не второстепенных задач.

Здесь можно привести классический пример из событий второй мировой войны. Торговый флот союзников вследствие бомбардировок авиации противни­ ка нес большие потери. В целях защиты этих судов от атак авиации на торговые суда начали ставить зенитные артиллерийские орудия. Через какое-то время провели оценку этой операции. Статистические данные показали, что только 4% самолетов, атаковавших корабли, были сбиты установленными на судах зенит­ ными орудиями. Эти данные показали, что орудия не окупали затрат даже на их установку. Встал естественный вопрос о целесообразности установки этих ору­ дий.

Таким образом, по критерию ущерба, наносимого самолетам (т.е. по числу сбитых самолетов), такая установка была явно нецелесообразной. Однако этот критерий являлся непредставительным, так как не отражал основной цели опе­ рации. Основная цель, очевидно, состояла не в уничтожении самолетов против­ ника, а в защите торговых кораблей. Следовательно, представительным в дан­ ном случае должен быть-критерий, отражающий главную цель операции, то есть уменьшение потерь торговых судов.

Анализ результатов операции по другому критерию - проценту потопленных судов из числа атакованных - дал следующие результаты. Процент потоплен­ ных судов из числа атакованных при наличии зенитного прикрытия составил 10%, а при его отсутствии - 25%. Экономический анализ показал, что, судя по этим цифрам, расходы на установку зенитных орудий окупаются стоимостью со­ храненных судов, и поэтому установка зенитных орудий на торговые суда была продолжена.

Критичность к исследуемым параметрам означает чувствительность крите­ рия к изменениям исследуемых параметров; чем эта критичность выше, тем лучше.

140 Часть 1. Новые принципы работы

Критерий должен быть максимально простым. Введение в него второсте­ пенных величин может усложнить исследования, не приводя ни к каким уточне­ ниям выводов. Это одна из самых больших опасностей в исследовании опера­ ций - «за деревьями не видеть леса».

Крайне желательно, чтобы критерий был единым, по возможности, объеди­ нял в себе все основные требования операции, так как решение задачи при на­ личии двух (или более) критериев затруднено, и вместо математических расче­ тов в этих случаях зачастую используют всякого рода необоснованные предпо­ ложения.

Виды критериев

По способу достижения цели можно различать два вида целей и соответст­ вующих им критериев эффективности:

1. «Качественные» цели, которые могут быть только достигнуты или не достигнуты. Все результаты операций, приводящих к достижению цели, одина­ ково хороши; точно так же все результаты, не приводящие к достижению цели, одинаково неудовлетворительны.

При этом критерий эффективности должен принимать только два значения: 1 - в случае успеха и 0 - в противоположном случае. Другими словами, успеш­ ность операции оценивается по схеме «да - нет» (все или ничего). Это может быть, например, получение 2-х очков в футбольном матче, разрушение (или не­ разрушение) моста, прием или неприем на работу какого-то сотрудника и т.д. Часто в этих случаях используют не два крайних значения критерия (0 или 1), а выбирают показатель эффективности в виде вероятности достижения желае­ мого результата, или короче, вероятности выполнения задачи операции.

Если обозначить А событие, состоящее в том, что цель операции достигнута, то показатель эффективности есть вероятность события А:

W = Р(А)

Такой переход от критерия типа «да - нет» (0 или 1) к критерию, характеризую­ щемуся различными количественными значениями, связан с тем, что наличие, например, случайных факторов делает случайным и .исход операции, которая вначале формулировалась «качественно»; поэтому совершается переход к дру­ гой, «более достижимой», цели операции - вероятности выполнения задачи.

2. Второй вид целей - количественный - заключается в стремлении уве­ личить (или уменьшить) значение некоторой величины, зависимость которой от фазовых координат и составляет критерий эффективности операции. Это, на­ пример, стоимость продукции (задача минимизации), максимально возможная вместимость автобуса (задача максимизации), минимальная длина маршрута в задачах перевозок и т.п.

Стремление к увеличению (или уменьшению) критерия эффективности яв­ ляется математическим описанием цели операции. В данной конкретной модели операции он (критерий эффективности) полностью заменяет собой цель, и ис­ следователь операции имеет дело только с ним. Поэтому правильный выбор