Информационные системы менеджмента - Бажин И.И

Глава 4. Стохастические модели управления

241

Таким образом, в данном случае математическая модель задачи принятия решений определяется множеством стратегий X = {Xj}, множеством состояний среды S = {Sk}, а также следующей матрицей полезности (матрицей доходов):

	S i	s2	sk
x i	\ .
Х1	fn	fl2	flk
х2	f2 i	f22	f2k
Хщ	fm1	fm2	fmk

где fjj = u(X|, Sj).

Существует несколько критериев для выбора оптимальной стратегии. Критерий Вальда (правило максимина - критерий осторожного наблюда­

теля). Этот критерий оптимизирует полезность (доход) в предположении, что среда находится в самом невыгодном для наблюдателя состоянии. По данному критерию решающее правило имеет следующий вид

maxminu(Xj, Sk),		(4.16)
x i	s k
Напомним, что наблюдателю	неизвестно распределение	вероятностей

p(Sk). Относительно состояния среды наблюдатель может высказывать опреде­ ленные гипотезы. Его предположения о вероятном состоянии среды называются субъективными вероятностями.

По критерию Вальда выбирают стратегию, которая дает гарантированный выигрыш при наихудшем варианте состояния среды.

Критерий Гурвица (компромиссный способ принятия решений) основан на следующих двух предположениях: среда может находиться в самом невыгодном состоянии с вероятностью (1 - а) и в самом выгодном - с вероятностью а, где а - коэффициент доверия.

Тогда решающее правило записывается так

max[a max u(x{ , S k ) + (1 -		а ) min u(x; , Sk )],	(4.17)
xi	sk	su

О < а < 1

Если а = О, получаем критерий Вальда.

Если a = 1, то приходим к решающему правилу максимакса, то есть к так назы­ ваемой стратегии "здорового оптимиста", (называемую иногда "подходом кар­ точного игрока"), который верит в удачу и, игнорируя возможные потери, рассчи­ тывает на максимально возможный доход.

Критерий Сэвиджа (правило минимакса - критерий минимизации макси­ мально возможных потерь, минимизации "сожалений"). "Сожаление" - это вели-

242	Часть 1. Новые принципы работы

чина, равная изменению полезности результата при данном состоянии среды относительно наилучшего возможного состояния.

Чтобы определить "сожаление", в каждом столбце матрицы полезности (доходов) находят максимальный элемент uk, затем вычитают его из всех эле­ ментов этого столбца. Таким образом получают матрицу "сожалений", каждый элемент которой представляет собой разность

Uik с = u ik — Uk,

где uik - элементы исходной матрицы полезности (доходов).

Искомую стратегию х,, которая минимизирует "сожаление" (возможные по­ тери или упущенный доход), определяют из условия

min max uc(Xj, Sk),		(4.18)
s k	\

где uc(xh Sk) = u(x,, Sk) - max u(x„ Sk).

Этот критерий минимизирует возможные потери при условии, что состояние среды наихудшим образом отличается от предполагаемого.

Рассмотрим использование описанных критериев в условиях неопределен­ ности для практической ситуации.

Пример. Фирма "Крона" решает построить отель в одном из курортных мест. Необходимо определить наиболее целесообразное количество мест или комнат в этой гостинице.

Составляют смету расходов по строительству гостиницы с различным коли­ чеством комнат, а также рассчитывают ожидаемый доход в зависимости от ко­

личества комнат, которые будут сняты.
В зависимости	от принятого решения - количества комнат в гостинице
х = 20, 30, 40, 50 -	и количества снятых комнат S = 0, 10, 20, 30, 40, 50, которое

зависит от множества случайных факторов и неизвестно фирме, получают сле­ дующую таблицу ежегодных прибылей (в тыс.долл.).

\ S k	0	10	20	30	40	50
Xi ^	\	62	245	245	245	245
20	-121
30	-168	14	198	380	380	380
40	-216	-33	150	332	515	515
50	-264	-81	101	284	468	650

Наиболее подходящее количество комнат в гостинице определим по выше­ приведенным критериям.

Глава 4. Стохастические модели управления

243

Критерий Вальда:

maxminfjk = -121;	Хопт = 2 0 .
x i s k

Судя по результатам, критерий Вальда неприменим, так как в этом случае от постройки гостиницы следует отказаться.

Критерий Гурвица:

max[a max fц. + (1 - а) min fik ]

Для разных а можно построить таблицу доходов по критерию Гурвица:

	0,1	0,2	0,5	0,9
Xi	\ ,	-47	62	206
20	-84
30	-114	-59	108	325
40	-143	-70	150	442
50	-172	-81	193	560

Тогда оптимальное количество комнат в гостинице, в соответствии с крите­ рием Гурвица, в зависимости от а:

	а	0,1		0,2		0,5	0,9
	Хопт	20		20		50	50
	Критерий Сэвиджа. Построим матрицу "сожалений".
	Xi \ ,	0	10	20	30	40	50
		0	0	0	-135	-270	-405
	20
	30	-47	-48	-47	0	-135	-275
	40	-95	-95	-95	-48	0	-135
	50	-145	-143	-144	-96	-47	0

В соответствии с приведенным выше критерием Сэвиджа получим
max min uik c = max { - 405, - 275, - 1 3 5 , - 1 4 5 } = - 135;	хопт = 40.
х; Sk

244	Часть 1. Новые принципы работы

Таким образом, предстоит сделать выбор между различными решениями:

•по критерию Вальда строить 20 комнат;

•по критерию Гурвица строить 20 комнат, если заказчик - пессимист, и 50 комнат, если он оптимист;

•по критерию Сэвиджа следует строить 40 комнат.

Какое из возможных решений предпочтительнее, определяется выбором соответствующего критерия. Выбор критерия является наиболее сложным и от­ ветственным этапом. При этом не существует каких-либо общих рекомендаций или советов. Выбор критерия должен производить управленец на соответст­ вующем уровне и в максимальной степени согласовывать этот выбор с конкрет­ ной спецификой задачи, а также со своими целями.

В частности, если даже минимальный риск недопустим, то следует приме­ нять критерий Вальда. Если, наоборот, определенный риск вполне приемлем, и заказчик намерен вложить в проект столько средств, чтобы потом он не сожа­ лел, что вложено слишком мало, то выбирают критерий Сэвиджа.

При отсутствии достаточной информации для выбора того или иного крите­ рия возможен альтернативный подход, который связан с вычислением шансов на успех и разорение на основе прошлого опыта.

4.5.2. ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИИ В УСЛОВИЯХ РИСКА

Здесь рассмотрим правила принятия решений с использованием численных значений вероятностей исходов. Эта задача возникает в том случае, когда с ка­ ждой принимаемой стратегией Х| связано целое множество (а не один) возмож­ ных результатов Оч, 02, . . . , О т с известными вероятностями р(0/Х|). Формаль­ но модель задачи может быть представлена в виде следующей матрицы, анало­ гичной приведенной ранее:

\	O j	о,	02	Oj	om
	Xi	\
	Xl	fn	fl2	fll	f-lm
L =	х2	f21	f22	f2i	f2m
	• . .
	Х|	fi1	fi2	f ii	flm
	Xn	fn1	fn2	fnj	'nm

где fjj - полезность результата Oj при использовании решения Xj.

При известных вероятностях p(0/Xi) используют два подхода к принятию решений.

1.Правило максимальной вероятности - максимизация наиболее вероятных доходов. При этом в приведенной матрице доходов выбирают элементы, имею­ щие наибольшие вероятности исходов, и среди этих элементов выбирается тот, который имеет наибольший доход. Рассмотрим эту задачу на примере.

Глава 4. Стохастические модели управления

245

Пример. Предположим, что вы, читатель, являетесь владельцем небольшой кондитерской "Сластена". В начале каждого дня вам нужно решить вопрос, сколько пирожных следует иметь в запасе, чтобы удовлетворить спрос. Каждое пирожное обходится вам в 2 руб., а продаете вы его по 3 руб. Продать невос­ требованные пирожные на следующий день невозможно, поэтому остаток рас­ продается в конце дня по 1 руб. за штуку. В таблице приведены данные по про­ дажам в предыдущие периоды.

Спрос на пирожные в	1	2	3	4	5
день (в сотнях штук)
Частота	5	10	15	15	5
Относительная частота
(вероятность)	0,1	0,2	0,3	0,3	0,1

Нужно определить, сколько пирожных должно быть закуплено в начале каж­ дого дня.

Прежде чем использовать какое-либо правило принятия решения, рассчи­ таем матрицу полезности, описывающую величины дохода (в рублях) для всех комбинаций возможных исходов (дневного спроса пирожных) и решений (числа закупленных для продажи пирожных)

Возможные исходы:	Возможные решения: число закупленных для продажи
спрос пирожных в		пирожных (в сотнях штук)
день (в сотнях шт.)	1	2	3	4	5
1	100	0	-100	-200	-300
2	100	200	100	0	-100
3	100	200	300	200	100
4	100	200	300	400	300
5	100	200	300	400	500

При использовании правила максимальной вероятности выберем исходы с наибольшей вероятностью. Наибольшая вероятность 0,3 соответствует спросу в 300 и 400 пирожных в день. Теперь рассмотрим доходы каждого из решений при этих исходах. Больший доход (400 рублей) соответствует количеству закупае­ мых пирожных, равному 400 штук, когда возможный исход равен 400 шт. и больше. Таким образом, фирма "Сластена" должна закупать 400 пирожных в день.

2.Оптимизация математического ожидания. Этот способ использования ве­ роятностей при принятии решения является наиболее распространенным.

Решающее правило для определения оптимальной стратегии хк в этом слу­ чае записывается так

M{u(xk)} = max M{u(Xi)},

(4.19)

x i

где M{u(Xi)} - математическое ожидание дохода для каждого исхода.

246	Часть 1. Новые принципы работы

Математическое ожидание рассчитывается для каждого решения либо для до­ ходов, либо для возможных потерь. Выбирается решение либо с наибольшим ожидаемым доходом, либо с наименьшими возможными потерями.

Вернемся к примеру о пирожных, закупаемых фирмой "Сластена". Ниже приведена знакомая уже читателю таблица доходов, дополненная вероятностя­ ми каждого из исходов.

Возможные исходы:	Возможные решения: число закупленных					Вероят­
спрос пирожных в	для продажи пирожных (в сотнях штук)					ность
день (в сотнях шт.)	1	2	3	4	5
1	100	0	-100	-200	-300	0,1
2	100	200	100	0	-100	0,2
3	100	200	300	200	100	0,3
4	100	200	300	400	300	0,3
5	100	200	300	400	500	0,1

Рассчитаем математическое ожидание дохода для каждого решения.

Возможные исходы:	Возможные решения: число закупленных для продажи
спрос пирожных в		пирожных (в сотнях штук)
день (в сотнях шт.)	1	2	3	4	5
1	10	0	- 1 0	- 2 0	- 3 0
2	20	40	20	0	- 2 0
3	30	60	90	60	30
4	30	60	90	120	90
5	10	20	30	40	50
Ожидаемый доход
в день всего, руб.	100	180	220	200	120

Итак, максимальное значение ожидаемого дохода составляет 220 рублей в день, следовательно, используя критерий максимизации математического ожи­ дания дохода, фирма "Сластена" должна закупать ежедневно триста пирожных.

Аналогично определяется оптимальная стратегия на основе минимизации математического ожидания возможных потерь. Предоставим читателю само­ стоятельно выполнить необходимые вычисления.

4.5.3. АНАЛИЗ РИСКА ДЛЯ ИНВЕСТИЦИОННЫХ ПРОГРАММ

В результате использования правила максимизации ожидаемых доходов (или минимизации ожидаемых возможных потерь) мы получаем оценку для каж­ дого исхода в виде таблицы доходов, чтобы выбрать наилучшее решение. В та­ кой таблице приводится разброс доходов для каждого варианта исхода. Анализ

Глава 4. Стохастические модели управления

247

этого разброса дает возможность оценить риск каждого решения. Альтернатив­ ный подход к оценке риска заключается в вычислении стандартного отклонения доходов, как это делается для любого другого вида распределений. Именно та­ ким образом часто сравнивают варианты инвестиций.

Нередко перед компанией возникает задача предстоящего инвестирования, связанная с получением банковского кредита или других заемных средств с по­ требностью в определении периода кредитования и окупаемости инвестиций и соответствующей стратегии. Несомненно, компания подвергается риску недос­ таточной рентабельности вкладываемого капитала и несвоевременности воз­ врата заемных средств в условиях неопределенности, которые побуждают предпринимателя к составлению альтернативных программ. Следовательно, ожидаемых результатов здесь может быть несколько, каждый из которых имеет разную вероятность и требует тщательного анализа.

Следует также иметь в виду, что неопределенность усиливается инфляци­ онными процессами; необходимо учесть, что если компания не получит ожи­ даемого размера прибыли и своевременно не погасит кредит, то сумма по про­ центам за его использование может непомерно возрасти, усложнив взаимоот­ ношения с кредиторами.

Поскольку при составлении математической модели в условиях неопреде­ ленности мы не располагаем точной информацией о будущем движении денеж­ ных средств, то мы будем опираться на прогнозы, когда планируемые величины принимают форму вероятностей.

Рассмотрим оценку риска для инвестиционных программ на примере срав­ нительного анализа двух вариантов инвестиций. Для оценок ожидаемых дохо­ дов, как и в предыдущем примере с закупками пирожных, используется матема­ тическое ожидание, однако между этими решениями существует значительная разница. Решение, принятое для закупки пирожных, остается неизменным изо дня в день (если только не появились новые данные наблюдений частот воз­ можных исходов), и идея ожидаемых (средних) доходов проста для понимания. Тогда как решение об инвестициях принимается лишь однажды, что затрудняет понимание значения ожидаемых доходов на практике.

Пример. Фирма "Каскад" оценивает риск, связанный с двумя вариантами инве­ стиций. В таблице приведены возможные чистые доходы и их вероятности для этих двух вариантов вложений.

Чистая прибыль, тыс.долл.		Сравнение вариантов решений
	- 3	- 2	- 1	0	1	2	3	4
Вероятности:
Инвестиция 1	0	0	0,1	0,2	0,3	0,2	0,2	0
Инвестиция 2	0,1	0,1	0,1	0,1	0,1	0,1	0,2	0,2

Для оценки вариантов решений рассчитываем математическое ожидание прибыли для каждого варианта инвестиций.

248	Часть 1. Новые принципы работы

Инвестиция 1:

М, = (-Зх0)+(-2х0)+(-1х0,1)+(0х0,2)+(1х0,3)+(2х0,2)+(Зх0,2)+(4х0) = 1200 $

Инвестиция 2:

М2 = (-Зх0,1)+(-2х0,1)+(-1х0,1)+(0х0,1)+(1х0.1)+(2х0,1)+(Зх0,2)+(4х0,2) = 1100 $

Если принимать во внимание только ожидаемую прибыль, то инвестиция 1, безусловно, лучше. Если бы решение об инвестициях принималось много раз при одних и тех же условиях, то тогда прибыль в среднем составляла бы 1200 $. Однако такое правило принятия решений не учитывает риск, связанный с инве­ стициями, то есть "разброс" возможных исходов. Этот риск может быть опреде­ лен с помощью дисперсии и стандартного отклонения прибыли.

Как известно, дисперсия ст2 определяется через математическое ожидание М(х) по формуле

а2 = Ерх2 -(М(х))2 ,

где х - прибыль на инвестиции; р - вероятность получения данной прибыли. Расчет средней прибыли и дисперсии для двух вариантов инвестиций по­

мещены в таблицу

Прибыль,		Инвестиция 1			Инвестиция 2
тыс.долл.		рх			рх
X	Р		РХ>	Р		рх2
- 3	0	0	0	0,1	-0,3	0,9
- 2	0	0	0	0,1	- 0,2	0,4
- 1	0,1	- 0,1	0,1	0,1	- 0,1	0,1
0	0,2	0	0	0,1	0	0
1	0,3	0,3	0,3	0,1	0,1	0,1
2	0,2	0,4	0,8	0,1	0,2	0,4
3	0,2	0,6	1,8	0,2	0,6	1,8
4	0	0	0	0,2	0,8	3,2
Всего	1,0	1,2	3,0	1,0	1,1	6,9

Инвестиция 1: Дисперсия

а2 = 3,0 - 1,2 2 = 1,56.

Следовательно, стандартное отклонение прибыли

а = (1,56)°'5 = 1250 долл.

Глава 4. Стохастические модели управления

249

Инвестиция 2: Дисперсия

а2 = 6,9-1,12 = 5,69.

Следовательно, стандартное отклонение прибыли

а = (5,69)0'5 = 2385 долл.

Риск для варианта инвестиции 1 меньше, так как дисперсия прибыли намно­ го меньше, чем для инвестиции 2.

Таким образом, и большая ожидаемая прибыль и меньший риск (разброс) говорят в пользу варианта инвестиции 1.

4.6. МОДЕЛИ ТЕОРИИ ИГР

Модели теории игр предназначены для принятия решений в условиях кон­ фликтных ситуаций или противодействия. В отличие от рассмотренных выше задач принятия решений в условиях неопределенности и риска, в которых внешняя среда (природа) предполагалась пассивной, конфликтные ситуации подразумевают наличие, по крайней мере, двух противодействующих сто­ рон, интересы которых противоположны. Эти стороны преследуют разные цели, а результаты любого действия каждой из сторон зависят от мероприятий партнера. Такие ситуации, возникающие, например, при игре в шахматы,

шашки и т.д., относятся к конфликтным: результат каждого хода игрока зави­ сит от ответного хода противника, цель игры - выигрыш одного из партнеров. В экономике конфликтные ситуации встречаются очень часто и имеют многооб­ разный характер. К ним относятся, например, взаимоотношения между постав­ щиком и потребителем, покупателем и продавцом, банком и клиентом. Харак­ терным примером является и довольно распространенная ситуация, когда не­ сколько фирм добиваются права у заказчика на получение выгодного заказа (конкурс проектов) или конфликтуют из-за овладения новыми рынками сбыта.

Во всех этих примерах конфликтная ситуация порождается различием инте­ ресов партнеров и стремлением каждого из них принимать оптимальные реше­ ния, которые реализуют поставленные цели в наибольшей степени. При этом

каждому приходится считаться не только со своими целями, но и с целя­ ми партнера, и учитывать заранее неизвестные решения, которые эти парт­ неры будут принимать.

Эти задачи и составляют проблематику теории игр, поскольку упрощенная математическая модель конфликтной ситуации представляет собой игру. Ос­ новные научные разработки теории игр связывают с именем американского ма­ тематика Джона фон Неймана (1903 - 1957) и его книгой "Теория игр и экономи­ ческое поведение". Игра может быть определена следующим образом:

1.Имеется п конфликтующих сторон (лиц), принимающих решения, интере­ сы которых не совпадают.

250 Часть 1. Новые принципы работы

2.Заданы правила, определяющие набор допустимых стратегий, известные игрокам.

3.Существует точно определенный набор конечных состояний, которыми за­ канчивается игра (например, выигрыш, ничья, проигрыш).

4.3аранее определены и известны всем игрокам платежи, соответствующие каждому возможному конечному состоянию. Обычно они заданы в виде некото­ рой матрицы А = | a,j |.

Игра называется парной, если количество сторон (игроков) равно двум, и множественной, если число игроков больше двух. Здесь мы будем рассматри­ вать только парные игры.

Игра называется игрой с нулевой суммой, или антагонистической, если выигрыш одного из игроков равен проигрышу другого, в противном случае она называется игрой с ненулевой суммой. Примером игры с ненулевой суммой является карточная игра с участием "банкира", т.е. лица, которое держит банк и забирает часть выигрыша себе. В играх с нулевой суммой для полного задания игры достаточно указать выигрыш одного из игроков. Если обозначить а - выиг­ рыш одного из игроков, b - выигрыш другого, то для игры с нулевой суммой b = = - а, поэтому достаточно рассматривать, например, а.

Выбор и осуществление одного из предусмотренных правилами действий называется ходом игрока. Ходы могут быть личными и случайными. Личный ход - это сознательный выбор игроком одного из возможных действий (напри­ мер, ход в шахматной игре). Случайный ход - это случайно выбранное дейст­ вие (например, выбор карты из перетасованной колоды).

Стратегией игрока называется совокупность правил, определяющих выбор его действия при каждом личном ходе в зависимости от сложившейся ситуации. Обычно в процессе игры при каждом личном ходе игрок делает выбор в зависи­ мости от конкретной ситуации. Однако в принципе возможно, что все решения приняты игроком заранее (в ответ на любую сложившуюся ситуацию). Это озна­ чает, что игрок выбрал определенную стратегию, которая может быть задана в виде списка правил или программы для компьютера. Игра называется конеч­ ной, если у каждого игрока имеется конечное число стратегий, и бесконечной - в противном случае.

Для того чтобы решить игру, или найти решение игры, следует для каждо­ го игрока выбрать стратегию, которая удовлетворяет условию оптимальности, то есть один из игроков должен получить максимальный выигрыш, когда вто­ рой игрок придерживается своей стратегии. В то же время, второй игрок должен иметь минимальный проигрыш, если первый игрок придерживается своей стратегии. Такие стратегии называются оптимальными. Оптимальные страте­ гии должны также удовлетворять условию устойчивости, то есть любому из иг­ роков должно быть невыгодно отказаться от своей стратегии в этой игре.

Если игра повторяется достаточно много раз, то игроков может интересо­ вать не выигрыш или проигрыш в каждой конкретной игре, а средний выигрыш (проигрыш) во всех партиях.

Таким образом, целью теории игр является определение оптимальной стра­ тегии для каждого игрока. При выборе оптимальной стратегии естественно