Лабораторная №5 Решение смешанной задачи для для уравнения теплопроводности методом конечных разностей

Лабораторная работа № 5

РЕШЕНИЕ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ

ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ

1 Цель работы

Ознакомление с методами решения смешанных задач для дифференциальных уравнений параболического типа, с понятием устойчивости численных методов, а также со способами разработки экономных алгоритмов и программ. Работу можно считать расчетно-графической в связи с возможностью наглядного графического представления функции двух переменных.

2 Описание метода

Рассмотрим стержень из теплопроводящего материала с коэффициентом теплопроводности k. Предположим, что температура на концах стержня задана, а боковая поверхность стержня теплоизолирована. Пусть ось x направлена вдоль оси стержня, а его концы расположены в точках x=0 и x=L. Тогда задача сводится к определению зависимости от времени температуры u в точках стержня, то есть функции двух переменных u(x,t). Функция u(x,t) должна удовлетворять уравнению теплопроводности

(0<x<L), (1)

начальному условию

u(x,0)=f(x), (0<x<L), (2)

и условиям на концах стержня

u(0,t)=j₁(t), u(L,t)=j₂(t), (t³0). (3)

Значения u(0,0) и u(L,0), полученные из (2) и (3), должны совпадать. Это будет если j₁(0)=f(0), j₂(0)=f(L).

Следует отметить, что путем замены переменных t¢=a²t уравнение (1) можно преобразовать к виду

. (4)

Это означает, что решение задачи (1)-(3) путем замены переменных сводится к решению задачи (4),(2),(3). Далее будем полагать а=1.

Построим на плоскости (x,t) сетку с шагом h по переменной x (x_i = (i-1)h, i=1,..,n+1, h=L/n) и с шагом t по переменной t (t_j = (j-1)t). Обозначим u_ij = u(x_i,t_j). Производные в уравнении (1) аппроксимируем следующим образом:

, (5)

. (6)

Подставляя (5) и (6) в (1) при a=1, получим разностное уравнение:

(7)

В соответствии с (2) и (3) значения

u_i0 = f(x_i), u_0j = j₁(t_j), u_nj = j₂(t_j) (8)

являются известными. Тогда, подставляя в (7) j=0, получим систему n-1 линейных уравнений, решив которую можно определить u_i1, i=1,..,n-1. При этом, поскольку u₀₁=j₁(t₁), u_n1=j₂(t₁), известными оказываются все значения временного слоя j=1, (t=t₁). Затем, подставляя в (7) j=2, решаем систему уравнений относительно u_i2 и т.д. для всех j=2,..,m.

Из (7) следует, что в каждое i-тое уравнение (i=1,..,n-1) с ненулевыми коэффициентами входят только три неизвестных u_i-1,j; u_ij; u_i+1,j. Величина u_i,j-1 к этому моменту является известной и потому отнесена в правую часть уравнения. Таким образом, матрица системы уравнений является трехдиагональной и эту систему можно решить методом прогонки. Для этого представим ее в стандартном виде:

.(9)

Для данной задачи x_i=u_ij, a_i = l, g_i = l, b_i = 1-2l, b₀ = 1, g₀ = 0, j₀ = u_0j = j₁(t_j), j_n = u_nj = j₂(t_j), j_i = -u_i,j-1 (i=1,..,n-1).

Пусть на j-том шаге заданными являются параметры u_i,j-1 (i=1,..,n-1), u_0j, u_nj, l. Все неизвестные значения u_ij можно разместить в массиве x_i (x_i=u_ij, i=0,..,n). Ищем связь x_i-1 с x_i в виде рекуррентного соотношения

x_i-1=c_i-1x_i+n_i-1, i=1,..,n. (10)

Подставляя (10) в (7), получаем

lc_i-1x_i-(1+2l)x_i+lx_i+1 = -u_i,j-1-ln_i-1.

Отсюда

(11)

Сравнивая (11) с (10), находим рекуррентные соотношения ,

, (12)

c₀= 0, n₀ = u_0j .

Таким образом, алгоритм определения значений u_ij по известным u_i,j-1 состоит из двух этапов: прямого хода прогонки по формулам (12) при i=1,..,n-1 и обратного хода прогонки по формуле (10) при i=n,..,2.

а)

б)

Рис. 5.1

Необходимо отметить, что разностное уравнение (7) связывает одно известное значение U_i,j-1 (из предыдущего j-1 временного слоя) и три неизвестных U_i,j, U_i-1,j, U_i+1,j. Поэтому найти значения U_i,j (i=1,...,n-1) можно только все сразу путем решения системы уравнений. Такая схема связи переменных в разностном уравнении называется неявной. Шаблон неявной разностной схемы представлен на рис. 5.1а.

Наряду с неявной возможна организация явной разностной схемы. Для этого вместо выражения (5) для первой разностной производной по времени используют формулу

, (13)

Тогда разностное уравнение запишется в виде

(14)

В этом случае связываются три неизвестные значения, относящиеся к предыдущему временному слою (здесь j-тому) и только одно неизвестное U_i,j+1. Шаблон явной разностной схемы представлен на рис. 5.1а.

При использовании этой схемы неизвестные параметры определяются путем последовательного применения формулы (2.14) при i=1,...n-1. Поскольку при этом не надо решать системы уравнений, то процесс определения параметров одного временного слоя требует меньших затрат времени, чем в случае неявной схемы.

Однако, неявная схема устойчива (ошибка не возрастает от шага к шагу) при любых значениях =/h². Явная схема является устойчивой только при <1/2. В противном случае развивается экспоненциальный возрастания погрешности так, что обычно происходит аварийная остановка ЭВМ по переполнению порядка. Поэтому при использовании явной схемы вычисления приходится вести с очень малым шагом по времени.

В случае применения неявной схемы затраты машинного времени для расчета одного временного слоя больше, но возможность выбора значительно большего шага по времени t может обеспечить общее ускорение процесса расчета по сравнению с явной схемой.

При выполнении данной работы будем предполагать, что температура на концах стержня поддерживается постоянной, то есть

j₁(t)ºf(0), j₂(t)ºf(L).

3 Порядок выполнения работы на ПЭВМ

1. Составить программу решения смешанной задачи для уравнения теплопроводности, реализующую вышеприведенный алгоритм.

2. Исходные данные взять из таблицы 6.1 согласно номеру своего варианта.

3. Провести вычисления на ЭВМ.

4. Написать отчет о работе.

4 Варианты заданий

Решить смешанную задачу для уравнения теплопроводности с начальным u(x,0)=f(x) и граничными условиями u(0,t)=f(0), u(1,t)=b (L=1).

Таблица 6.1

№	а	b	c	d	f(x)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0	3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0 7.5	0.05 0.15 0.25 0.35 0.45 0.55 0.65 0.75 0.85 0.95		f b a 0 x c 1
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20	8.0 9.0 10.0 11.0 12.0 13.0 14.0 15.0 16.0 17.0	3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 11.0 12.0	20.0 21.0 22.0 23.0 24.0 25.0 26.0 27.0 28.0 29.0	0.05 0.15 0.25 0.35 0.45 0.55 0.65 0.75 0.85 0.95	f a c b x d 1

Продолжение таблицы 6.1

№	а	b	c	d	f(x)
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30	10.0 11.0 12.0 13.0 14.0 15.0 16.0 17.0 18.0 19.0	14.0 14.5 15.0 15.5 16.0 16.5 17.0 17.5 18.0 18.5	0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50	0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60 0.65 0.70 0.75	f b a 0 x c d 1

ЛИТЕРАТУРА

1. Плис А.И., Сливина Н.А. Лабораторный практикум по высшей математике.- М. : Высшая школа, 1994.

2. Волков Е.А. Численные методы.- М. : Наука, 1982.