31. Непрерывные случайные величины и законы их распределения.

СВ, возможные значения которых заполняют целый конечный или бесконечный промежуток оси Ох – непрерывные СВ. .

32. Функция распределения вероятностей св и ее свойства.

Функция распределения – вероятность того, что СВ Х примет значение, меньшее, чем заданное х, т.е. F(x)=P(X<x). Свойства – 1) F(x) – вероятность, значит ; 2) Для любых х₁ и х₂ ϵ R, связанных соотношением x₁<x₂, F(x₁)F(x₂), т.е. F(x) – неубывающая функция; 3) Имеет место равенство ; 4) F(x) всегда непрерывна слева, т.е. ; 5), .

33. Дифференциальная функция распределения непрерывной св (плотность распределения св) и ее свойства.

НСВ можно задать функцией, которую называют плотностью вероятностей или дифференциальной функцией распределения – функция f(x)=F’(X). Свойства – 1) , F(X) неубывающая, значит ; 2) . Геометрически, вероятность f(x)=F’(X) = площади заштрихованной криволинейной трапеции.

3) Если f(x) – плотность вероятностей СВ Х, то ; 4) Имеет место соотношение – условие нормировки. График плотности распределения – кривая распределения – 1) Всегда лежит в верхней координатной полуплоскости; 2) Площадь, заключенная между этой кривой и осью Ох=1

34. Математическое ожидание св и ее свойства.

Математическое ожидание (среднее значение) ДСВ – сумма всех произведений, значений СВ на соответствующие им вероятности, . Свойства – 1) М(Х) постоянной величины = самой постоянной, т.е. М(С)=С, С=const; 2) Постоянный множитель можно выносить за знак МО, т.е. M(kX)=kM(X), k=const; 3) М(Х) алгебраической суммы конечного числа СВ = алгебраической сумме их М(Х), т.е. ; 4) М(Х) произведения независимых СВ = произведению их М(Х), т.е. M(XY)=M(X)M(Y); 5) М(Х) отклонения СВ от ее М(Х) всегда =0, т.е. М(Х-М(Х))=0. МО СВ характеризует ее в среднем, центр ее распределения 2-ая отличительная особенность СВ – степень разброса значений этой величины по отношению к ее центру.

35. Дисперсия св и ее свойства. Среднее квадратическое отклонение.

Дисперсия – оценка разброса, МО квадрата отклонения СВ от ее МО, т.е. . Если ДСВ Х, то . Дисперсия обладает тем недостатком, что ее размерность не совпадает с размерностью СВ, поэтому вводится еще и среднее квадратическое отклонение . Свойства дисперсии – 1) Дисперсия постоянно величины всегда =0, т.е. D(C)=0, C=const. Действительно, ; 2) Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, но сначала возведя в квадрат, т.е. ; 3) Дисперсия алгебраической суммы 2-х независимых СВ = сумме их дисперсий, т.е. ; 4) Дисперсия СВ = разности между МО квадрата СВ и квадратом ее МО т.е. .

36. Биномиальное распределение и его числовые характеристики.

Биномиальным называют распределение вероятностей, определяемое формулой Бернулли. Закон назван биномиальным потому, что правая часть равенства – общий член разложения бинома Ньютона – … Первый член разложения pⁿ определяет вероятность наступления события n раз в n независимых опытах, 2-ой член np^n-1q определяет вероятность наступления события (n-1) раз, … , qⁿ – последний член определяет вероятность того, что событие не появится ни разу.

Теорема – МО биномиального распределения с параметрами n и р = произведению np, т.е. M(X)=np. Теорема – Дисперсия биномиального распределения с параметрами n и p = произведению npq, т.е. D(X)=npq.