Юрий Кругляк_Квантовое моделирование в квантовой химии на квантовых компьютерах_399_стр

так что действие CNOT на стандартные двукубитные базисные элементы будет:

Cnot : |00 → |00

|01 → |01 |10 → |11 |11 → |10

с симметричной матрицей преобразования

		1	0	0	0
C :		0 1		0	0	.
not		0	0	0	1
			0	1	0
	0

Убедитесь, что	матрица	Cnot	унитарна	и равна своей обратной:
Cnot = Cnot† , CnotCnot = I . Более того, вентиль Cnot				не может быть разложен в
тензорное произведение двух однокубитных вентилей.
Значение	вентиля Cnot	для	квантовых	вычислений связано с его

способностью изменять перепутанность между двумя кубитами. Например, он

переводит

неперепутанное

двукубитное

состояние

1

(| 0 + |1 ) | 0

в

2

перепутанное состояние

1

(| 00 + |11 ) :

2

C

1

(|0 +|1 ) |0

=C

1

(|00 +|10 )

=

1

(|00 +|11 ) ,

not

2

not

2

2

а поскольку преобразование Cnot совпадает со своим обратным, то оно может преобразовать перепутанное состояние в неперепутанное.

Увентиля Cnot есть свой графический образ

вкотором открытый кружок символизирует контролирующий бит, крестик – контрольный (целевой) бит, а линия между ними символизирует то, что отношение между ними обусловленное, зависящее от значения

180

контролирующего бита, как это описано выше. Некоторые авторы зачерняют кружок, имея в виду, что контроль носит характер, противоположный указанному выше, а именно: значение второго кубита изменяется, если значение первого кубита равно 0, а не 1.

Полезный класс двукубитных контролирующих вентилей, родственных Cnot , включает в себя вентили, выполняющие однокубитные преобразования Q

над вторым кубитом, если первый кубит соответствует |1 , и оставляют его неизменным, если первый кубит соответствует | 0 . Такие контролирующие вентили изображаются в виде

Мы используем следующее обозначение для такого преобразования:

ΛQ =|0 0| I +|1 1| Q .

В этих обозначениях вентиль Cnot , например, есть ΛX . В стандартном базисе двукубитный оператор ΛQ представляется матрицей 4 ×4

I	0
0	Q .

Познакомимся поближе с одним из таких вентилей Λeiθ , контролирующих фазовый сдвиг, где под eiθ имеется в виду eiθ I . В стандартном базисе вентиль Λeiθ изменяет фазу второго кубита только в том случае, если контролирующий бит равен единице:

Λeiθ =|00 00 | +|01 01| +eiθ |10 10 | +eiθ |11 11|.

Влияние этого вентиля на стандартные базисные элементы следующее:

Λeiθ : |00 →

|01 → |10 → |11 →

181

|00 eiθ |01|10 ,

eiθ |11

Cnot

а матричное представление таково:

		1	0	0	0
Λeiθ :		0	1	0	0		.
		0	0	eiθ	0
	0		0	0	eiθ

Контролирующий фазовый сдвиг вентиль в роли однокубитного преобразования применительно к одиночному кубиту меняет физически несущественную глобальную фазу, однако, в роли обусловленного преобразования фазовый сдвиг становится нетривиальным, меняя относительную фазу между элементами суперпозиции, например,

	1			(|00 +|11 ) →	1			(|00 +eiθ |11 ) .
	2				2

Объединение графических образов порождает квантовые схемы. Например, следующая схема изменяет значение двух битов:

Другими словами, схема обмена такова:

|00 |00

|01 |10 , |10 |01

|11 |11

а для всех однокубитных состояний |ψ и |φ имеет место замена

|ψ |φ |φ |ψ .

Сделаем два существенных замечания. Первое касается зависимости понятия кубитового контроля от базиса. Второе предлагает быть внимательным при интерпретации графических образов в квантовых схемах.

Замечание 1: Зависимость понятия кубитового контроля от базиса.

Понятия «контролирующий бит» и «контрольный бит» заимствованы из классической информатики и не должны в квантовом случае восприниматься слишком прямолинейно. В стандартном квантовом базисе вентиль ведет

себя в точности как классический вентиль с классическими битами. Однако, ошибочно думать, что контролирующий бит никогда не изменяется. Когда контрольные (целевые) биты не являются стандартными базисными элементами, влияние контролирующего вентиля может оказаться

182

Cnot

неожидаемым. Для примера рассмотрим действие вентиля Cnot на базис Адамара {| +, | −}. Результаты следующие:

Cnot : | ++	→	| ++
| +−	→	| −−
| −+	→	| −+
| −−	→ | +−

Как видим, в базисе Адамара неизменным остается второй бит, а состояние первого бита изменяется или не изменяется в зависимости от состояния второго бита. Таким образом, в этом базисе контролирующий бит и целевой бит поменялись местами. При этом мы не изменили само преобразование Cnot .

Более того, применительно к большинству базисов мы не различаем какой бит контролирующий, а какой целевой. Например, как мы видели, вентиль

	трансформирует	1		(| 0 + |1 ) | 0 в	1			(| 00 + |11 ) . В этом случае	Cnot
		2			2

перепутывает кубиты, так что невозможно говорить об их состояниях независимо друг от друга.

Еще один факт, следующий из проведенного рассмотрения и которым мы воспользуемся при построении квантовых алгоритмов и для квантовой коррекции ошибок, состоит в том, что следующие две схемы эквивалентны:

Замечание 2: Чтение квантовых схем.

Графическое представление квантовых схем может ввести вас в заблуждение, если вы недостаточно внимательны при их прочтении. В частности, невозможно определить влияние преобразования на входные кубиты, даже если все они в стандартных базисных состояниях, просто глядя на линию в схеме, соответствующую данному кубиту. Посмотрим на схему

,

действующую на входное состояние | 0 | 0 . Поскольку преобразование Адамара совпадает со своим обратным, поначалу кажется, что состояние первого кубита

183

останется неизменным при преобразовании. Но это не так. Из первого замечания следует, что вентиль Cnot не оставляет первый кубит неизменным в общем случае. На самом деле эта схема превращает входное состояние | 00 в

12 (| 00 + | 01 + |10 −|11 ) , результат, который сразу не очевиден и должен быть добросовестно вычислен.

5.4.Применение простых вентилей

Втечение многих лет ЭПР пары, или более общо перепутанные состояния, рассматривались как квантово-механические недоразумения и представляли в основном лишь теоретический интерес. Обработка квантовой информации изменила подобное представление, обнаружив практические приложения перепутанности. Два коммуникационных приложения – плотное (сжатое) кодирование и телепортация иллюстрируют полезность ЭПР пар в компании с несколькими простыми квантовыми вентилями.

Плотное кодирование использует один кубит вместе с привлекаемой ЭПР парой для кодирования и пересылки двух классических битов. Поскольку ЭПР пары могут быть подготовлены и переданы заранее, то для пересылки двух битов информации нужно подготовить лишь один кубит (частицу). Это несколько неожиданный результат, поскольку (§ 2.4) из одного кубита можно извлечь лишь один классический бит информации. Телепортация противоположна плотному кодированию в том смысле, что она использует два классических бита для передачи состояния одиночного кубита. Несмотря на запрет клонирования в квантовой механике, на самом деле фактически существует механизм передачи неизвестного квантового состояния. Телепортация также показывает, что двух классических битов достаточно для передачи состояния одного кубита, который может находиться в одном из неисчислимо возможных своих состояний.

Для обоих телекоммуникационных ситуаций существенным моментом является использование перепутанных частиц. Исходное состояние для обоих приложений одинаково. Алиса и Боб хотят общаться друг с другом. Каждому из них пересылается один из двух кубитов, приготовленных в запутанном состоянии и составляющих вместе ЭПР пару

	|ψ0 =	1			(| 00 +|11 ) .
		2

Предположим, что Алиса получает первую частицу, а Боб – вторую:

|ψ		=	1		(| 0		| 0		+|1	|1 ) .
	0		2			A		B	A	B
							184

K = 2k

До тех пор, пока частица не передана, Алиса может совершать преобразования только на своем кубите, а Боб – только на своем. Другими словами, пока частица не передана от одного к другому, Алиса может совершать преобразования на ЭПР паре вида Q I , где Q – однокубитное преобразование, а Боб – только вида I Q . В общем случае, для пусть I (K ) будет матрицей идентичности 2k ×2k . Если Алиса располагает n кубитами, а Боб – m кубитами, тогда Алиса может выполнять преобразования только вида U I ( M ) , где U есть n-кубитное преобразование, а Боб может выполнять преобразования только вида I ( N ) U .

5.4.1. Плотное кодирование

Алиса хочет переслать состояние двух классических битов, кодирующих одно из чисел от 0 до 3. В зависимости от значения этого числа, Алиса выполняет одно из преобразований Паули {I, X ,Y , Z} на своем кубите запутанной пары |ψ0 . Результирующие состояния показаны ниже.

		Преобразование		Новое состояние
	0	|ψ0 =(I I) |ψ0		1							(|00 +|11 )
				2
	1	|ψ1=(X I) |ψ0		1							(|10 +|01 )
				2
	2	|ψ2 =(Z I) |ψ0				1					(|00 −|11 )
				2
	3	|ψ3 =(Y I) |ψ0					1				(−|10 +|01 )
				2
		185

Алиса передает свой кубит Бобу.

Для декодирования Боб применяет преобразование Cnot к двум кубитам

запутанной пары, а затем применяет преобразование Адамара к первому кубиту:

		Начальное												C →				Первый				Второй	H I →
		состояние												not							кубит	кубит
1					(|00 +|11 )	1							(|00 +|10 ) =		1						(|0 +|1 )	|0	|00
2						2									2
1					(|10 +|01 )			1						(|11 +|01 ) =	1						(|1 +|0 )	|1	|01
2						2									2
	1				(|00 −|11 )		1						(|00 −|10 ) =			1					(|0 −|1 )	|0	|10
2						2									2
	1				(−|10 +|01 )				1					(−|11 +|01 ) =			1				(−|1 +|0 )	|1	|11
2						2									2

В конечном итоге Боб измеряет два кубита в стандартном базисе с целью получить двубитное кодирование числа, посланного Алисой.

5.4.2. Квантовая телепортация

Задача состоит в передаче квантового состояния частицы, используя классические биты, с последующим воссозданием точного квантового состояния у получателя. В связи с запретом клонирования квантовое состояние не может быть скопировано, состояние исходной частицы обязательно будет разрушено.

186

| 00 ,| 01 ,|10 ,|11

Итак, Алиса хочет передать состояние кубита |ψ = a | 0 +b |1 Бобу по классическому каналу. Как и в случае плотного кодирования, Алиса и Боб каждый владеет одним из битов запутанной пары

|ψ0 = 12 (|00+|11 ) .

Начальным состоянием является трехкубитное квантовое состояние:

	|ψ |ψ0 =	1			(a |0 (|00+|11 ) +b |1 (|00+|11 ))=
		2

=12 (a |000 +a |011 +b |100 +b |111 ),

вкотором Алиса контролирует первые два кубита, а Боб – последний кубит. Алиса применяет преобразование Cnot I , а вслед за ним H I I к этому

состоянию:

(H I I )(Cnot I)(|ψ |ψ0 ) =

=(H I I )(Cnot I) 12 (a |000 +a |011 +b |100 +b |111 )=

=(H I I) 12 (a |000 +a |011 +b |110 +b |101 )=

=12 (a(|000 +|011 +|100 +|111 ) +b(|010 +|001 −|110 −|101 ))=

=12 (|00 (a |0 +b |1 ) +|01 (a |1 +b |0 ) +|10 (a |0 −b |1 ) +|11 (a |1 −b |0 )).

Алиса производит измерение первых двух кубитов и получает одно из четырех стандартных базисных состояний с равной вероятностью. В зависимости от исхода ее измерения квантовое состояние кубита Боба проецируется в одно из состояний

a |0 +b |1 , a |1 +b |0 , a |0 −b |1 , a |1 −b |0 .

Алиса посылает результат ее измерения в виде двух классических битов Бобу. Отметим, что в результате измерения Алиса безвозвратно изменяет состояние |ψ своего исходного оригинального кубита, которое она хотела передать Бобу, и у нее нет никакой возможности реконструировать исходное состояние ее кубита. Фактически, в соответствии с запретом клонирования, только один партнер, Алиса или Боб, может реконструировать исходное квантовое состояние.

187

Cnot

Когда Боб получает два классических бита от Алисы, он знает, как сопоставить состояние своей половины запутанной пары с оригинальным состоянием кубита Алисы. Боб может реконструировать исходное состояние кубита Алисы |ψ путем применения соответствующего декодирующего преобразования к его кубиту, его половинке ЭПР пары. Следующая таблица показывает состояние кубита Боба перед декодированием и что именно декодер Боб должен использовать в зависимости от значения битов, полученных от Алисы.

Состояние

a |0 +b |1 a |1 +b |0 a |0 −b |1 a |1 −b |0

Полученные	Декодирование
биты	I
00
01	X
10	Z
11	Y

После декодирования кубит Боба будет в квантовом состоянии, в котором первоначально находился кубит Алисы. Этот декодирующий шаг есть кодирующий шаг плотного кодирования, а кодирующий шаг был декодирующим, так что телепортация и плотное кодирование в каком-то смысле обратны друг другу.

5.5. Реализация унитарных преобразований в виде квантовых схем

Покажем, как могут быть реализованы произвольные унитарные преобразования посредством набора примитивных преобразований, под которым подразумевается двукубитный вентиль и три однокубитных

вентиля. Используя только эти четыре вентиля, можно реализовать любое n-кубитное унитарное преобразование.

Фактически в этом разделе будет показано, что все квантовые преобразования могут быть реализованы с помощью простых вентилей; при этом речь не идет о том, насколько эффективны такие реализации. Большинство квантовых преобразований не могут быть эффективно реализованы посредством простых вентилей. Усилия сейчас направлены на то, чтобы понять какие квантовые преобразования эффективны, а какие нет при разработке тех или иных квантовых алгоритмов.

188

5.5.1. Декомпозиция преобразований одиночных кубитов

Сейчас покажем, что все однокубитные преобразования сводятся к комбинациям преобразований трех типов: фазовые сдвиги K(δ) , вращения R(β) и фазовые вращения T (α) :

K(δ) =		eiδ I,				(фазовыйсдвигнаδ)
R(β)	=	cosβ	sin β		,	(вращениена угол β)
		−sin β	cosβ
T (α)	=	eiα	0			(фазовоевращениенаα)
				,
		0	e−iα

причем

K(δ1 +δ2 ) = K(δ1)K(δ2 ),

R(β1 +β2 ) = R(β1)R(β2 ),

T (α1 +α2 ) = T (α1)T (α2 ),

и оператор K коммутирует с K , R и T .

Вместо K(δ) мы часто будем писать просто скалярный множитель eiδ . В случае преобразования однокубитной системы оператор K(δ) реализует изменение глобальной фазы, что просто эквивалентно операции идентичности одиночного кубита. Мы вводим этот оператор уже сейчас, поскольку позже при рассмотрении n-кубитных преобразований он будет соответствовать сдвигу

относительной фазы, что физически	уже существенно. Преобразования
R(α) и T (α) – это вращения на угол	2α соответственно вокруг осей y и z

блоховской сферы (§ 2.6.2).
Далее покажем,	что любое однокубитное унитарное преобразование Q
может быть представлено как		последовательность преобразований вида
Q = K(δ)T (α)R(β)T (γ) .	Поскольку	в случае однокубитных преобразований

оператор K(δ) соответствует сдвигу глобальной фазы и поэтому физически несущественен, то пространство всех однокубитных преобразований характеризуется только тремя реальными измерениями. Задавшись преобразованием Q в виде

u00	u01		,
Q = u	u
10	11

из условия унитарности QQ† = I следует, что

| u |2	+ | u |2	= 1,
00	01
u00u10 +u01u11		=	0,
| u |2	+ | u |2	=	1,
11	10

189