3. Теория игр в управлении рисками

Формализация процесса расчета риска с помощью теории игр способствует улучшению понимания проблем предпринимателем в целом. Таким образом, теория игр в определенном смысле – это наука о риске. Теория игр помогает решать многие экономические проблемы, связанные с выбором, определением наилучшего положения, подчиненного только тем ограничениям, вытекающим из условий самой проблемы.

Теория игр – это раздел математической экономики¹⁴, изучающий решение конфликтов между игроками и оптимальность их стратегий. Для каждого игрока существует определенный набор стратегий, которые он может применить. Пересекаясь, стратегии нескольких игроков создают определенную ситуацию, в которой каждый игрок получает определенный результат, называемый выигрышем, положительным или отрицательным.

Теория игр – это теория математических моделей, интересы участников которых различны, причем они достигают своей цели различными путями.

Сущность теории игр состоит в установлении оптимальной (в том или ином смысле) стратегии поведения игрока в конфликтных ситуациях.

Целью теории игр является предсказание результатов стратегических, оперативных игр, когда участники не имеют полной информации о намерениях друг друга.

Упрощенная модель конфликтной ситуации называется игрой. При этом под игрой понимают определенный процесс, состоящий из ряда действий, или «ходов».

Решить игру – означает найти цену игры и оптимальные стратегии игроков. Правила игры определяют возможные варианты действий игроков, объем информации каждой стороны о действиях другой, результат игры, к которому приводит соответствующая последовательность ходов.

В большинстве игр предполагается, что интересы участников поддаются количественному описанию, т.е. результат игры (выигрыш) определяется некоторым числом.

Ходом в теории игр называется выбор одного из допустимых правилами игры действий и его осуществление.

Главным в игровой модели является то, что другая сторона – противник активно противодействует игроку в выборе оптимального решения, учитывая отмеченное, необходимо объективно оценивать его деятельность.

От реальной конфликтной ситуации игра отличается тем, что ведется по определенным правилам.

Стороны, участвующие в конфликте, называют» игроками», итог «конфликта» – «выигрышем».

Конфликт – ситуация, в которой сталкиваются интересы двух или более сторон, преследующих разные (иногда противоположные) цели.

Классификация игр в соответствии с выбранными критериями. Игры могут различаться в зависимости от количества игроков, количеству стратегий, по свойствам функций выигрыша, возможностей взаимодействия между игроками и тому подобное.

В зависимости от количества игроков выделяют парные и множественные игры. Если в игре принимают участие два игрока, то такая игра называется парной (игрой двух лиц). Игры, в которых принимают участие много сторон, называются множественными.

В зависимости от количества стратегий различают конечные и бесконечные игры. В конечных играх число возможных стратегий является конечным числом (подбрасывание монеты – две стратегии, подбрасывание кубика – шесть стратегий). Стратегии в конечных играх называют чистыми стратегиями. В бесконечных играх количество стратегий является бесконечной.

В зависимости от ограничений на сумму выигрыша различают игры с нулевой суммой и игры с произвольной суммой. Если выигрыш одного игрока равен проигрышу другого, то имеем игру с нулевой суммой. Такие игры характеризуются противоположными интересами сторон, а выигрыш одним игроком определенной суммы означает проигрыш другим игроком (совокупностью других игроков) той же самой суммы, то есть ситуацией конфликта. Поэтому такие игры часто называют антагонистическими.

По виду функций выигрыша игры делятся на: матричные, биматричные, непрерывные, выпуклые и др.

Для матричных игр доказано, что любая из них имеет решение, оно может быть легко найдено путем сведения игры к задаче линейного программирования.

Матричная игра¹⁵ – это конечная игра двух игроков с нулевой суммой, в которой задается выигрыш игрока 1 в виде матрицы (строка матрицы соответствует номеру применяемой стратегии игрока 1, столбец – номеру применяемой стратегии игрока 2; на пересечении строки и столбца матрицы находится выигрыш игрока 1, соответствующий применяемым стратегиям) случаях, когда задача сведена к матричной форме, можно ставить вопрос о поиске оптимальных стратегий. Для этого необходимо рассмотреть понятие верхней и нижней цены игры.

Нижняя цена игры показывает, что хотя бы какую стратегию применял игрок В, игрок А гарантирует себе выигрыш, не меньший А.

Верхняя цена игры гарантирует для игрока В, игрок А не получит выигрыш, больший β.

Решением матричной игре есть седловая точка. В этой точке наибольший из минимальных выигрышей игрока А точно равна наименьшему из максимальных проигрышей игрока В, то есть минимум в каком-нибудь строке матрицы совпадает с максимумом в любом столбце.

Во время анализа платежной матрицы возможны два случая оценки выбора:

платежная матрица имеет седловую точку. Поскольку мы приняли условие максимальной разумности игроков, то именно эти строка и столбец представляют собой оптимальные стратегии игроков. При использовании одним из игроков оптимальной стратегии, то другому игроку невыгодно отступать от своей оптимальной стратегии. То есть стратегии, соответствующие седловой точке, являются наиболее выгодными для обоих игроков;

платежная матрица не имеет седловой точки. Это, конечно, самый распространенный случай. В этой ситуации теория предлагает руководствоваться так называемыми смешанными стратегиями, то есть теми стратегиями, в которых случайным образом чередуются личные стратегии. Этот метод широко используется на интуитивном уровне.

Биматричная игра – это конечная игра двух игроков с ненулевой суммой, в которой выигрыши каждого игрока задаются матрицами отдельно для соответствующего игрока (в каждой матрице строка соответствует стратегии игрока 1, столбец – стратегии игрока 2, на пересечении строки и столбца в первой матрице находится выигрыш игрока 1, во второй матрице – выигрыш игрока 2).

Непрерывной считается игра, в которой функция выигрышей каждого игрока является непрерывной. Доказано, что игры этого класса имеют решения, но на сегодня приемлемых методов их нахождения не разработано.