Теория вероятностей. Чудесенко. 3 Вариант

Ч _ 2 _ 01_ 03

N = 5

		1, 2	1,3	1, 4	1,5				.	ru
1,1						1,6
	2,1	2, 2	2,3	2, 4	2,5	2,6		antiGTU
	3,1	3, 2	3,3	3, 4	3,5	3, 6
Ω =	4,1	4, 2	4,3	4, 4	4,5	4,6
	5,1	5, 2	5,3	5, 4	5,5	5,6
	6,1	6, 2	6,3	6, 4	6,5	6,6

Т.о. длясуммычиславыпавшихочков мыимеемследующиепространство элементарныхсобытий

ΩA ={2,3,3, 4, 4, 4,5,5,5,5, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7,8,8,8,8,8,9,9,9,9,10,10,10,11,11,12},

адляпроизведениявыпавшихочков

ΩB ={1, 2, 2,3,3, 4, 4, 4,5,5,6, 6,6,6,8,8,9,10,10,12,12,12,12,15,15,16,18,18, 20, 20, 24, 24, 25,30,30,36}

поклассическомуопределениювероятностинайдемискомыевероятности a) A ={2,3,3, 4, 4, 4,5,5,5,5},

P= 1036 = 27.77%(сумма≤ N )

б) A ={1, 2, 2,3,3, 4, 4, 4,5,5}

P= 1036 = 27.77%(произведение≤ N )

в) A ={5,5,10,10,15,15, 20, 20, 25,30,30}

P =	11		с
		= 30.55% (произведениекратно N )
	36
Скачано

Ч _ 2 _ 02 _ 03			.	ru
n1 =2;n2 =3;n3 = 4;n4	=1
m1 =1;m2 =2;m3 =3;m4 =1		antiGTU
n =n1 + n2 + n3 + n4 =	10

m = m1 + m2 + m3 + m4 =7

неупорядоченныйнабориз m изделийсостоитиз{1,2,...,m1} первосортных изделий,{m1 +1,m1 + 2,...,m1 + m2 } второсортныхизделий,

{m1 + m2 +1,...,m1 + m2 + m3} третьесортныхизделий, и{m1 + m2 + m3 +1,...,m}изделийчетвертогосорта.

Кол −вовсехнаборовизделий1сорта равноСnm1 ;2 сорта −Cnm2 ;3 сорта −Cnm3 ;
1	2	3

4 сорта−Cm4

n4

Таккакдля получениянабораиз m изделий, содержащегоm1 , m2 ,m3 ,m4 соответсвующихсортов, можносоединить любойнаборизсоответствующих сортов кол −воэлементарныхсобытий, благоприятствующих

рассматриваемомусобытию равноСm1 Cm2				Cm3	Cnm4
		1	2	3	4
искомаявероятностьсоставляет P =			Сnm1 Cnm2 Cnm3 Cnm4					С1	C2	C3	C1
			1	2	3	4	=	2	3	4	1	=
		с		Сm					С7
					n					10
= 2 3 4 1	= 20%
120
Скачано

Ч _ 2 _ 03_ 03		.	ru
n =10;l =	3;m =5;k =7
k − кол −
	вовыйгрышныхбилетов (n − k) − кол −вопройгрышныхбилетов

неупорядоченныйнабориз n билетовсостоитиз{1,2,..., k} выйгрышныхбилетов
	antiGTU
и{k +1,k + 2,..., n} пройгрышныхбилетов. Кол −вовсехнабороввыйгрышных
l		m−l
билетов равноCk	;кол −вовсехнаборовпройгрышныхбилетов равноCn−k .

Таккакдляполучениянабораиз n билетов, содержащегоl выйгрышныхи (m −l) пройгрышных можносоединить любойнаборизl выйгрышныхи

(m −l) пройгрышных, токол−воэлементарныхсобытий, благоприятствующих рассматриваемомусобытию равноCkl Cnm−−kl искомаявероятностьсоставляет

P =	Cl	Cm−l	=	C3	C2	=	35 3	= 41.66%
	k	n−k		7	3
		Cm		C5			252
		n			10

Скачано	с

Ч _ 2 _ 04 _ 03	.	ru
k =8;n =5
тк. . пассажирыневыходятнапервомэтаже, токол −воэтажей, накоторых

они могутвыйдти равно(k −1) общеечисловозможныхисходов равно(k −1)n =
=75 =16807	antiGTU

A ={всепассажирывышлина разных этажах}

B ={хотябыдвоесошлинаодномэтаже}

рассмотримсобытие А. Еслипроизошло А, тоэтоозначает, тоневсепассажиры вышлина разныхэтажах хотябыдвоесошлинаодномэтаже B = А

P(B) = P( А) =1 − P( A).

Длясобытия Ачислоспособов, которыми можно распределитьn пассажировпо

	(k −1) этажам равно Аn							= A5 = 2520(числоисходов, благоприятствующихсобытию A)
							k−1	7
	поклассическомуопределениювероятности
	P( A) =	Аn		=	2520		=14.99% P(B) =1 − P( A) =85.00%
		k−1
		(k −1)n			16807
	замечание Аn			=Cn		n!=		(k −1)!
		k−1			k−1			(k −1 − n)!
	Скачано							с

Ч _ 2 _ 05 _ 03	ru
k = 6

чтобыпроизошлоинтерисующеенассобытие, необходимо, чтобыточкабылана участке

	−2	1		.Общаядлиннаотрезка равна1
MN, длиннакоторого 1
		k		antiGTU

поопределениюгеометрическойвероятности искомаявероятность равна

LMN

1

−

2

=1− 1

.

P =

k

=

= 66.66%

L

1

3

общ

1/ k

1/ k

A

B

M

N

Скачано

с

закрашеннаячастьграфика.

второесобытиеначалосьна

Ч _ 2 _ 06 _ 03

T	=1000 ;T =1100	;t =10	ru
1	2	.

пространствоэлементарныхисходов можнопредставитьнаплоскостиввидеквадратасо стороной (T2 −T1 ). Площадьквадрата равна (T2 −T1 )2

встречапроизойдет, еслипервоесобытиеначалосьнаt1 (t1 [0;10] мин) раньшевторогоили t2 (t2 [0;t] мин) раньшепервого. Этим условиямсоответствует

A={событияперекрываютсявовремени}

B={событиянеперекрываютсявовремени}

рассмотримсобытие A. Если Анепроизошло, тоэто значит, чтособытиянеперекрываютсяA = B P(B) = P( A) =1 − P( A); поопределениюгеометрическойвероятности

	Sнезаш			1	(T2	−T1 −10)2 +			1	(T2 −T1 −t)2		1	(60	−10)2 +	1	(60 −10)2
P(B) =				2				2				2			2
			=								=						= 69.44%
	S	квадр				(T	−T )2							602
						2		1

P( A) =1 − P(B) = 30.55%

τ2

T2	10 мин			antiGTU
	t мин
T1
T1	T2	с	τ1
Скачано

Ч _ 2 _ 07 _ 03

.

ru

R

S1

S2

13

2.49

3.52

antiGTU

тк. . фигурынепересекающиеся, топопаданиевкаждую

изних−независемыесобытия

вероятностьпопаданиявпервуюфигуру

(поопределениюгеометрическойвероятности) : P

=

S1

=

S1

=0.4689%

S0

πR2

1

вероятностьпопаданиявовторуюфигуру

(поопределениюгеометрическойвероятности) : P

=

S2

=

S2

=0.6629%

S0

πR2

2

вероятностьпопаданияводнуфигуру равна (поаксиоматическомуопределениювероятности) P′= P1 + P2 =1.1319%

Скачано	с

A −изпервойпартиивыбралибракаванное	ru
B −извторойпартиивыбралибракаванное
события A и B попарнонезависемы
a)хотябы1бракованное
этособытиесостоитизсуммыследующихсобытий
1) из1 партиивыбралибракованное; из 2 партиивыбранобракованное

	Ч _ 2 _ 08 _ 03		.
	k1	k2
	87	31

вероятностьвыборадоброкачественногоизделия равна k (1 − k) −вероятность выборабрака

2) из1 партиивыбралибракованное; из 2 партиивыбранодоброкачественное

3) из1 партиивыбралидоброкачественное; из 2 партиивыбранобракованное

PA = P( AB) + P( AB) + P( AB) = P( A) P(B) + P( A) P(B) + P( A) P(B) =

=(1 − k1 )(1 − k2 ) + (1 − k1 ) k2 + k1 (1 − k2 ) =73.03%
б)2 бракованных
этособытиесостоитизпроизведениясобытий A и B
PB = P( AB) = P( A) P(B) =(1 − k1 ) (1 − k2 ) =8.97%
в)1бракованноеи1доброкачественное
					с
этособытиесостоитизсуммыследующихсобытий
2) из1 партиивыбралибракованное; из 2antiGTUпартиивыбранодоброкачественное
3) из1 партиивыбралидоброкаче твенное; из 2 партиивыбранобракованное
Скачано										− k1 ) k2	+ k1 (1 − k2 ) =64.06%
PA = P( AB) + P( AB) = P( A) P(B) + P( A) P(B) =(1

Ч _ 2 _ 09 _ 03				.	ru
p1	p2	n1	n2
0.63	0.53	2	3
A ={послевсехвыстреловцельнепоражена}
			antiGTU

B ={первыйстрелок, сделав n1 выстреловнепоразилцель} D ={второйстрелок, сделав n2 выстреловнепоразилцель} очевидно, чтособытия B и D попарнонезависемы

поформулеБернулливероятность Pn (m) того, чтовпоследовательностииз n выстреловсобытие D ={стрелокпопал} наступит ровноm раз, равна

P	(m) =Cm pm (1 − p)n−m , где p −вероятностьнаступлениясобытия D
n	n
m =0 P (0)		=C0 p0	(1 − p)n
	n	n
		0	0		n1		n1
	P(B) = Pn1			(1 − p1 )		=(1 − p1 )
		(0) =Cn1	p1
		− p )n2
	P(D) =(1
		2
событие A заключаетсявтом, чтовначалепроизойдетсобытие B,
апотомсобытие D P( A) = P(B)						P(D) =(1		− p )n1	(1 − p )n2 =
								1	2
=(1 −0.63)2 (1 −0.53)3 =1.42%
Скачано				с

Ч _ 2 _10 _ 03

.

k =6

Ci −{наi − мброскевыпалгерб}

antiGTU

P(Ci ) = P(

) =1 / 2

Ci

тогдавероятностьвыйгрышаигрока A

P( A) = P(C )

+

P(

) P(

) P(C ) + P(

) P(

) P(

)

P(

C

C

C

C

C

C

1

1

2

3

1

2

3

4

1

k −1

1

5

1

= 1

+ 1 1

1

+

1 1

1 1 1

=

∑

= 1 ∑

=66.65%

i

i

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 i=0 4 2 i=0 4

прискольдлительнойигреk →∞

1 k−1 1

1

k−1 1

1

4

2

lim

∑

=

lim

∑

=

=

= P( A)

i

i

2

3

3

k→∞

2 i=0 4

2 k→∞

i=0 4

P(B) =1 − P( A) = 1

3

Скачано

с

ru ) P(C5 ) +... =