Молекулярная физика и термодинамика

Методические указания по решению задач

Омск 2004

Составители:

Ласица Александр Михайлович;

Кондратьева Тамара Николаевна;

Павловская Ольга Юрьевна.

Печатается по решению редакционно-издательского совета Омского государственного технического университета.

Молекулярная физика и термодинамика – разделы физики, в которых изучаются макроскопические процессы, связанные с огромным числом содержащихся в телах атомов и молекул. Для исследования этих процессов применяются два качественно различных метода: статистический и термодинамический. Первый лежит в основе молекулярной физики, второй – термодинамики.

Основные положения молекулярной физики

Молекулярная физика – раздел физики, изучающий строение и свойства вещества, исходя из молекулярно–кинетических представлений, основывающихся на том, что все тела состоят из молекул, находящихся в непрерывном движении.

Наиболее полное описание любой системы состояло бы в определении уравнений движения всех тел, входящих в нее, однако из-за большого числа частиц входящих в макроскопическую систему, данная задача является принципиально неразрешимой. Состояние системы в молекулярной физике определяется небольшим набором величин, называемых параметрами состояния (термодинамическими параметрами) характеризующих свойства системы в целом. В качестве основных параметров состояния выбирают температуру Т, давление р и объем V. Если система находится во внешнем поле, то к параметрам состояния добавляются характеристики поля.

Параметры состояния в большинстве случаев не являются независимыми, они связаны между собой некоторым уравнением, называемым уравнением состояния. Одной из основных задач молекулярной физики является установление явного вида уравнения состояния и установление связи между параметрами состояния и усредненными характеристиками движения частиц, входящих в систему. Для решения такой задачи приходится прибегать к рассмотрению различных физических моделей вещества. Одной из самых простых моделей является модель идеального газа.

Идеальным называют газ, удовлетворяющий следующим условиям:

1. собственный объем молекул газа пренебрежимо мал по сравнению с объемом сосуда;

2. потенциальной энергией взаимодействия молекул можно пренебречь;

3. столкновения молекул между собой и со стенками сосуда абсолютно упругие.

Модель идеального газа можно использовать при изучении реальных газов, так как в условиях, близких к нормальным, а также при низких давлениях и высоких температурах они близки к идеальному газу. Кроме того, внеся поправки на собственный размер молекул и действующие молекулярные силы, можно перейти к теории реальных газов.

Уравнение состояния идеального газа носит название уравнение Менделеева -Клапейрона и имеет вид

где =m/число молей газа, R=8,31 Дж/(мольК)универсальная газовая постоянная. Данное уравнение является обобщением установленных экспериментально законов поведения идеального газа к которым относятся законы:

1. Бойля-Мариотта: pV = const при Т, m = const;

2. Шарля: при V, m=const;

3. Гей-Люссака: при P, m=const;

4. Дальтона  давление смеси идеальных газов равно сумме парциальных давлений входящих в нее газов:

p = p₁ + p₂ + p₃ +,

(р₁, р₂,…- парциальные давления – давления, которые оказывали бы газы смеси, если бы они одни занимали объем, равный объему смеси при той же температуре);

5. Авогадро - моли любых газов при одинаковых температуре и давлении занимают одинаковые объемы (при нормальных условиях p = 1,01310⁵ Па, Т = 273,15 К, для одного моля этот объем V = 22,4110^-3 м³).

По определению, в одном моле различных веществ содержится одно и то же число молекул, называемое постоянной Авогадро: N_A = 6,02210²³ моль^-1.

Уравнение Менделеева - Клапейрона может быть переписано в другом виде:

,

где n – концентрация молекул газа,– постоянная Больцмана.

Основным уравнением молекулярно кинетической теории идеального газа называется уравнение связывающее давление, оказываемое идеальным газом на стенки сосуда с характеристиками его молекул:

(m₀ – масса молекулы газа; - средняя квадратичная скорость молекул, -средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы). Принимая во внимание уравнение Менделеева–Клапейрона, получаем

.

Средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы идеального газа пропорциональна термодинамической температуре и зависит только от нее.

Более детальное описание системы заключается в определении не только средней скорости, но и закона распределения молекул по скоростям. Этот закон теоретически выведен Максвеллом. Закон Максвелла описывается некоторой функцией f(), называемой функ­ци­ей распределения молекул по скоростям. Если разбить диапазон скоростей молекул на малые интервалы, то на каждый интервал скорости будет приходиться некоторое число молекул dN(), имеющих скорости в интервале от  до +d , пропорциональное ширине интервала d.

и , где N – число молекул газа.

Таким образом, функция f() определяет относительное число молекул , скорости которых лежат в интервале от  до +d. Можно также сказать, что функция f() определяет вероятность попадания скорости молекулы в интервал от  до +d.

.

График функции представляет собой немонотонную кривую обращающуюся в ноль при  = 0 и  = . При увеличении температуры максимум функции распределения становится более пологим и смещается в область больших скоростей. Скорость при которой достигается максимум функции распределения называется наиболее вероятной скоростью _В. Этой скоростью и близкой к ней обладает наибольшее число молекул. Кривая несимметрична относительно _В. Расчеты показывают, что

.

С помощью функции распределения можно установить среднее значение любой величины X зависящей от скорости

Например, среднее значение скорости

,

среднее значение квадрата скорости

.

Если газ находится в поле внешних сил, то кроме распределения по скоростям устанавливается распределение по координатам. В случае поля тяготения Земли это приводит к тому, что концентрация молекул и давление газа изменяются с высотой. Закон изменения установлен Больцманом для изотермической атмосферы:

где p₀ и n₀-давление и концентрация молекул на высоте h = 0. Первая из формул называется распределением Больцмана, вторая - барометрической формулой.

Молекулы газа, находясь в состоянии хаотического движения, непрерывно сталкиваются друг с другом. Между двумя последовательными столкновениями молекулы проходят некоторый путь , который называется длиной свободного пробега. В общем случае длина пути между последовательными столкновениями различна, поэтому можно говорить о средней длине свободного пробега молекул <  >. За единицу времени молекула проходит путь, равный <> и, если <z> - среднее число столкновений за единицу времени, то .Расчеты показывают, что

(d  эффективный диаметр молекулы).

В термодинамически неравновесных системах возникают особые необра­ти­мые процессы, называемые явлениями переноса, в результате которых происходит про­странственный перенос энергии (теплопроводность), массы (диффузия), импульса (внутреннее трение). Уравнения, описывающие явления переноса называются:

1. законом теплопроводности Фурье:

(  коэффициент теплопроводности, с_V  удельная теплоемкость при постоянном объеме),

2. законом диффузии Фика:

(  коэффициент диффузии),

3. законом внутреннего трения Ньютона:

(  коэффициент внутреннего трения (вязкость)).

Знак минус в уравнениях показывает, что перенос энергии, массы и импульса идет в направлении противоположном направлению возрастания температуры, плотности и скорости соответственно. Коэффициенты , D и  связаны простыми соотношениями: