- •Механика, молекулярная физика и термодинамика Учебное пособие
- •Омск 2007
- •Введение
- •Разделы содержания теоретического курса, представленные в пособии
- •1. Физические основы механики
- •2. Молекулярная физика и термодинамика
- •I. Механика и элементы специальной теории относительности
- •1. Кинематика поступательного и вращательного движений материальной точки
- •1.1. Кинематические характеристики движения материальной точки
- •1.2. Тангенциальная и нормальная составляющие ускорения
- •1.3. Основная задача кинематики
- •1.4. Вращательное движение и его кинематические характеристики
- •2. Динамика поступательного и вращательного движений
- •Законы Ньютона Первый закон Ньютона: всякое тело находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения, пока воздействие со стороны других тел не выведет его из этого состояния.
- •Третий закон Ньютона: силы, с которыми действуют друг на друга взаимодействующие тела, равны по величине и противоположны по направлению:
- •2.2. Динамика вращательного движения твердого тела
- •3. Работа и механическая энергия
- •3.1. Работа и мощность при поступательном и вращательном движениях
- •3.2. Консервативные и неконсервативные силы
- •3.3. Кинетическая энергия при поступательном и вращательном движениях
- •3.4. Потенциальная энергия
- •4. Законы сохранения в механике
- •4.1. Закон сохранения механической энергии
- •4.2. Закон сохранения импульса. Центральный удар двух тел
- •4.3. Закон сохранения момента импульса
- •5.3. Релятивистские масса и импульс. Взаимосвязь массы и энергии
- •Примеры решения задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Контрольное задание №1
- •II. Основы молекулярной физики и термодинамики
- •1. Молекулярно-кинетическая теория идеальных газов
- •1.1. Уравнение состояния
- •1.2. Уравнение состояния Ван-дер-Ваальса
- •1.3. Внутренняя энергия
- •1.4. Статистические распределения
- •1.4.1. Распределение Максвелла
- •1.4.2. Распределение Больцмана
- •1.5. Среднее число столкновений и средняя длина свободного пробега молекул
- •1.6. Явления переноса в газах
- •2. Основы термодинамики
- •2.1. Первое начало термодинамики
- •2.2. Работа газа при изменении его объема
- •2.3. Теплоемкость
- •2.4. Применение первого начала термодинамики к изопроцессам
- •2.5. Адиабатический процесс
- •2.6. Обратимые и необратимые процессы. Коэффициент полезного действия теплового двигателя
- •2.7. Второе начало термодинамики
- •2.8. Цикл Карно и теорема Карно
- •2.9. Термодинамическое неравенство Клаузиуса. Энтропия
- •2.10. Фазовое пространство. Микро- и макросостояния системы
- •2.11. Статистический вес (термодинамическая вероятность) макросостояния и его связь с энтропией
- •Примеры решения задач
- •Для расчета средней квадратичной скорости выражение (1) удобно преобразовать, умножив числитель и знаменатель на na:
- •На основании первого начала термодинамики
- •Так как точки в и с принадлежат адиабате вс, то
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Контрольное задание №2
- •Библиографический список
- •Содержание
- •Разделы содержания теоретического курса, представленные в пособии...…4
1.4.1. Распределение Максвелла
В состоянии теплового равновесия как бы не изменялись скорости молекул при столкновениях, средняя квадратичная скорость молекул в газе, при Т=cоnst, остается постоянной и равной . Это объясняется тем, что в газе устанавливается некоторое стационарное статистическое распределение молекул по значениям скоростей, называемое распределением Максвелла. Распределение Максвелла описывается некоторой функциейf(),называемой функцией распределения молекул по скоростям.
,
где N– общее число молекул,dN() – число молекул, скорости которых принадлежат интервалу скоростей отдо+d.
Таким образом, функция Максвелла f() равна вероятности того, что величина скорости наугад выбранной молекулы принадлежит единичному интервалу скоростей вблизи значения. Или она равна доле молекул, скорости которых принадлежат единичному интервалу скоростей вблизи значения.
Явный вид функции f() был получен теоретически Максвеллом:
.
График функции распределения приведен на рис. 12. Из графика следует, что функция распределения стремится к нулю при 0 ии проходит через максимум при некоторой скоростиВ, называемойнаиболее вероятной скоростью. Этой скоростью и близкой к ней обладает наибольшее число молекул. Кривая несимметрична относительноВ. Значение наиболее вероятной скорости можно найти, используя условие для максимума функцииf().
.
На рис. 13 показано смещение Вс изменением температуры, при этом площадь под графиком остается постоянной и равной 1, что следует изусловия нормировкифункции Максвелла
.
Условие нормировки следует из смысла данного интеграла – он определяет вероятность того, что скорость молекулы попадает в интервал скоростей от 0 до . Это достоверное событие, его вероятность, по определению, принимается равной 1.
Знание функции распределения молекул газа по скоростям позволяет вычислять средние значения любых функций скорости, в частности средней арифметической скорости<>.
.
Рис.12 Рис. 13
По функции Максвелла можно определить долю молекул, скорости которых принадлежат заданному интервалу скоростей или превышают некоторое значение скорости, например вторую космическую, что определяет рассеяние атмосферы.
.
1.4.2. Распределение Больцмана
Тепловое движение частиц тела приводит к тому, что положение их в пространстве изменяется случайным образом. Поэтому можно ввести функцию распределения частиц по координатам, определяющую вероятность обнаружения частицы в том или ином месте пространства.
где плотность вероятности, т.е. вероятность обнаружения частицы в единичном объеме вблизи точки с радиус-вектором.
При отсутствии внешних силовых полей существует равномерное распределение частиц идеального газа по координатам, при этом можно записать
,
где nконцентрация частиц,Nполное число частиц газа.
Внешнее силовое поле изменяет пространственное распределение частиц, при этом концентрация частиц и функция распределения зависят от координат. Если внешнее силовое поле является потенциальным, то концентрация частиц вблизи точки пространства с радиусом-вектором зависит от потенциальной энергии частиц в данном месте:
где noконцентрация частиц в том месте, гдеEp=0.
В этом случае вероятность обнаружить частицу в объеме dVвблизи точки с радиусом-векторомопределяется выражением
.
Этот закон называется распределением Больцмана.
Для идеального газа давление связано с концентрацией соотношением Р=nkT. В поле земного тяготения концентрация изменяется с высотой над поверхностью Земли, и если газ находится в равновесном состоянии при температуре Т, то изменение давления с высотой происходит по закону
.
Последнее соотношение называется барометрической формулой. В действительности земная атмосфера не находится в равновесном состоянии, ее температура меняется с высотой, и барометрическую формулу следует применять к участкам атмосферы, в пределах которых изменением температуры можно пренебречь. Из барометрической формулы следует, что давление различных газов изменяется с высотой по-разному. На рис. 14 показано изменение давления газа с высотой для различных газов при T = const, а на рис. 15 – изменение давления газа (=const) при разных температурах.