Vorob'evaEA.Vorob'evaEV_Lineinaya__algebra,Vectornaya_algebra,Analit_geometriya

ТЕМА 2

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

				1	Вектор
					(определение)
2		Основные понятия:	Геометрический вектор. Длина вектора. Коллинеарные векторы. Противоположные

векторы. Орт вектора. Проекция вектора на ось.

3

а) Сумма векторов:

R a

R
b	R
	c

R a

б) Разность векторов:

R

R b d

Линейные операции над векторами:

R	R	R
a	+ b	= c;
R	R	R		R
a	+ b	= b	+ a;
	R	R		R		R
λ(a + b )= λa					+ λb;
R	R	R		R		R	R
a	+ b	+ c	= (a		+ b )+ c.
R	R	R
a	− b	= d ;
R	R	R			R	R	R
d	= a	− b	a			= b	+ d ;
R	R		R
b	- a	= -d

R a

в) Умножение вектора на число:

R b

R R a = 2b

R R c = -2b

R

R

a

= λb

.

R

R

a

−− b, λ > 0;

R

R

a

−↓ b, λ < 0;

R

=

λ

×

R

.

a

b

4	Линейная зависимость и независимость векторов

Базис на прямой

(R1 )

, на плоскости

(R 2 )

и в пространстве

(R3 )

. Разложение вектора относительно базиса.

Координаты вектора. Декартова система координат (ДСК): - базисные орты, образующие правую тройку;

R

R

R

R

=

R

=

R

= 1

.

i

^ j ^ k ;

i

j

k

5

Теорема о свойстве линейных операций над векторами: все линейные операции над векторами сводятся к таким

же операциям над их координатами.

Если

R

R

R

R

, то

R

- декартовы координаты вектора

R

.

a = xi

+ yj

+ zk

a = {x, y, z}

a

,

, то

AB = {x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1}

.

Если

A(x1 , y1 , z1 )

B(

x2 , y

2 , z2 )

R

(x1 , y1 , z1 )

R

= (x2 , y2 , z2 )

R

R

x

y

z

Если

a

=

//

b

, то

a

= λb

,

1

=

1

=

1

= λ

- необходимое и достаточное условие

коллинеарности векторов

R

R

x2

y2

z2

a

и b .

6

7

R

ϕ

b

R

a

11

8

R c

R b

ϕ

R

-c

R R R a ´b = c

S

R a

Векторное произведение векторов

- вектор!

1.

R

R

,

R

R

;

c

a

c ^ b

2.

R

R R

- правая тройка;

a, b , c

3.

R

=

R

×

R

sin ϕ

;

c

a

b

R

R

R

R

a

´b = -b

´ a

;

R

R

R

R

R

;

a

´ (b + c )

= a

´b + a

´ c

R

R

R

R

= 0

;

a

// b a

´b

a × a = 0

.

R

R

ДСК:

R

R

R

R

i

j

k

R

xa

ya

z a

a

×b =

;

xb

yb

zb

S =

R

=

R

R

;

c

a

´b

R

R

R

R

=

= k ´ k = 0

;

i

´ i

j

´ j

R

R

R

R

R

R R

´ k

i

´ j

= k ; j ´ k = i ; k

´ i

=. j; i

R

R

R

R

.

j

´ i

= -k ; k ´ j

= -i

9

R

= - j ;

10

R ´ R a b

R

c R b

ϕ

R a

Смешанное произведение векторов

R

R

R

- число!

(a

´b )×c

R

R

R

R

R

R

R R R

;

(a

´b )×c

= a ×

(b

+ c )= abc

R R R R R R R R R

R R R

R R R

R R R

;

abc = cab = bca = -b ac = -acb

= -cba

1

=

R R R

,

=

;

Vпар−да

abc

Vпир

Vпар−да

6

R

R

R

R

.

a, b, c - компланарны Û (a, b, c )= 0

R RR

=

xa

ya

za

xb

yb

zb

ДСК:

abc

.

xc

yc

zc

Задачи по теме «Векторная алгебра»

Задача 1.	Даны векторы	R	-1, 4} и b = {- 2, 0, 5}. Найти вектор			R		R	- 2b .
		a = {3,				c	= 3a
Решение.	Так как вектор	R		R	и b	3		, используем теорему о свойстве линейных
		c - линейная комбинация векторов		a

операций над векторами 5 , т.е. сведем данные в задаче линейные операции над векторами к таким же операциям над их координатами:

xc = 3xa - 2xb = 3×3 - 2 ×(- 2) = 13 ; yc = 3ya - 2 yb = 3×(-1)- 2 × 0 = -3 ; zc = 3za - 2zb = 3× 4 - 2 ×5 = 2 .

R

Ответ: c = {13, - 3, 2}.

Задача 2.

R

R

Выяснить, можно ли принять векторы

R

Даны векторы a = {1, 2} ,

b = {- 2, 3}, c = {8, - 5}.

a и b за

базисные, и если можно, то выразить вектор

R

через них. Найти координаты вектора

R

R

c

c

относительно базиса a и b .

Решение.

R

5 ,

составив и сравнив

отношения их одноименных

а) Вначале проверим коллинеарность векторов a и b

координат -

1

¹

2

.

Из этого неравенства следует, что векторы

R

R

неколлинеарны, значит,

линейно независимы, т.е.

a

и b

2

3

могут быть приняты за базис 4 .

R

R

R

R

R

R

б) В базисе

a

и b выразим вектор

c ,

как их линейную комбинацию: c = λ1a + λ2b , где λ1 и λ2

- неизвестные пока

коэффициенты 4

. Используя теорему о свойстве линейных операций над векторами

5 , перейдем в полученном равенстве

к координатам:

8 = λ1 ×1 + λ2 (- 2)

× 2 + λ2

×3.

- 5 = λ1

Решив эту систему, получим λ1 = 2 , λ2 = -3 , подставим их в линейную комбинацию:

R

R

R

c =

2a - 3b - это разложение

R

R

R

R

R

R

вектора c в базисе

a

и b , а коэффициенты справа – координаты вектора c в базисе

a

и b .

R

R

R

R

Ответ: c = 2a -

3b , или

c = {2, - 3}.

12

Задача 3. Доказать, что точки A (3, -1, 2) , B (1, 2, -1) , C (-1, 1, - 3) и D (3, - 5, 3) служат вершинами трапеции. Выяснить, которое из оснований трапеции длиннее другого, во сколько раз.

Решение. Найдем координаты векторов, последовательно соединяющих данные точки

5 .

AB = (- 2, 3, - 3) ,

BC = (- 2, -1, - 2) ;

CD = (4, - 6, 6),

DA = (0, 4, -1).

Легко

увидеть,

что

векторы

AB

и

CD

удовлетворяют

условию

- 2

3

- 3

x1

y1

z1

= λ

Следовательно, λ = -

1

1

коллинеарности

5

:

=

=

,

=

=

.

,

значит,

AB = -

CD , т.е.

AB -¯ CD ,

а

4

- 6

6

y2

z2

2

2

x2

AB

=

1

CD

. Проверим коллинеарность векторов BC и DA :

- 2

¹

-1

¹

- 2

. Значит четырехугольник ABCD - трапеция.

2

0

4

-1

Задача 4.

Найти орт и направляющие конусы вектора AB , если A (1, 0, -1),

B (3, 1, - 3).

AB = {2, 1, - 2}. Его длина по формуле

R

Решение. Найдем координаты вектора

AB

5

:

7

=

x2 + y 2 + z 2

:

a

R

AB 2 1

2

2

2

2

RO

a

O

AB = 2

+1 + (- 2) = 3 . Так как орт вектора определяют по формуле

=

,

=

=

,

, -

, по

7

a

AB

6

R

a

AB

3

3

3

R

a O = {cosα , cos β , cosγ }.

O

=

2

1

- 2

cosα =

2

β =

1

, cosγ = -

2

Ответ: AB

,

,

;

cos

.

R

R

R

3

3

3

R R

3

R

3

3

R R

R

R

R

R

Задача 5.

На материальную точку действуют силы F1 = 2i - j

+ k ;

F2

= -i

+

2 j

+ 2k ; F3

= i

+ j -

2k . Найти работу

равнодействующей этих сил

R

при перемещении точки из положения M (2, -1, 0)

в положение N (4, 1, -1) .

R

Решение.

R

:

R

× MN (механический смысл скалярного

Работа силы

R

на пути MN вычисляется по формуле

6

A = R

R

R

R

R

R R

R

R

R

R

R R

R

R

= {2, 2, 1}, а

произведения).

Найдем

вектор

R

= F1 + F2

+ F3

= (2i - j

+ k ) + (- i

+

2 j

+

2k )+ (i + j - 2k ), т.е.

R

вектор пути

MN = {2, 2, -1}

R

R

= x1

× x2 + y1 × y2 + z1 × z2

5

. По

формуле

скалярного

произведения

векторов

в

ДСК

7

a

×b

получим

A = 2 × 2 + 2 × 2 +1× (-1) = 7 .

Ответ: A = 7 .

Задача 6.

R

R

R

R

R

на направление вектора

Даны векторы a

= {1, -1, 2} и b = {2, - 2, 1}. Найти проекцию вектора

c

= 3a

- b

R

b .

R

R

Решение.

Чтобы воспользоваться формулой проекции вектора на вектор

6 :

R

=

b

×c

, найдем координаты

ПрR c

R

b

b

R

R

R

R

= {1, -1, 5} 5 , длину вектора

=

22 + (- 2)2 +12

= 3

7

= 1× 2 + (-1)× (- 2)+1×5 = 9

вектора c

b

и скалярное произведение c

×b

R

R

9

7

R

=

b

× c

=

= 3 .

. Теперь подставим в формулу найденные значения ПрR c

R

b

b

3

R

Ответ: ПрR c = 3 .

b

Задача 7. Найти острый угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах

R

{2, 1, 0}

и

a =

R

= {0, -1, 1}.

b

Решение.

Найдем,

например,

косинус

угла

α = ÐCMD ,

который образует векторы

AC

и

BD ,

координаты

которых

R

R

R

R

находим по формулам 3

и

5

:

+ b

- b = {2, 2, -1}.

AC = a

= {2, 0, 1}; BD = a

Далее используем формулу

6

:

B

a

C

cosα =

AC × BD =

3

=

1

, где

R

M

AC

×

BD

×3

b

5

5

R

A

R

D

AC × BD = 2 × 2 + 0 × 2 +1×(-1) = 3 ;

a

7

=

= 3 .

7

AC

=

22 + 02 +12

=

5

,

BD

22 + 22 + (-1)2

13

Замечание: т.к. cosα оказался положительным, то α - острый угол; косинус угла, смежного с углом α , отличается от cosα знаком.

Задача 8. Даны вершины четырехугольника A (1, 2, 3) , B (7, 3, 2), C (- 3, 0, 6) и D (9, 2, 4) . Доказать, что его

диагонали взаимно перпендикулярны.

Решение. Если два вектора взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю 6 . Найдем векторы, совпадающие с диагоналями четырехугольника 5 : AC = {- 4, - 2, 3}, BD = {2, -1, 2}. Вычислим скалярное произведение этих векторов 7 : AC × BD = -4 × 2 + (- 2)× (-1)+ 3 × 2 = 0 . Диагонали прямоугольника взаимно перпендикулярны

7 .

Задача 9.

R

и b образуют угол ϕ =

π

. Зная, что

R

= 3 ,

R

= 4 , найти длину вектора

Векторы a

3

a

b

Решение.

Используем формулу

6 :

R R

R

1

R

R

R 2

R

R

c

=

c 2

=

(3a

+ 2b )

=

9a 2

+

12ab

+ 4b 2

= 9

×32 +12 ×3× 4 ×

+ 4 × 42

= 217 ,

2

т.к.

R

=

R

2

R

=

R

2

R

R

R

×

R

cosϕ .

a 2

a

, b 2

b

,

a

×b =

a

b

R R R c = 3a + 2b .

R

Ответ: c = 217 .

Задача 10.

Найти площадь треугольника с вершинами в точках A (1, 2, 0),

B (3, 0, - 3) , C (5, 2, 6) .

Решение. Рассмотрим векторы AB и AC , совпадающие со сторонами данного треугольника

5 :

AB = {2, - 2, - 3}

и AC = {4, 0, 6} . Используя геометрический смысл векторного произведения двух векторов 8

: S

=

1

S =

1

AB ´ AC

,

R

R

R

2

2

i

j

k

R

R

R

- 24, 8} - это вектор. Теперь

вычислим сначала векторное произведение 9 : AB ´ AC =

2

- 2

- 3

= -12i

- 24 j

+ 8k = {-12,

4

0

6

=

= 28 .

найдем его модуль :

AB ´ AC

(-12)2 + (- 24)2 + 82

S= 1 × 28 = 14 . 2

Ответ: S

= 14 кв.ед.

Задача 11.

Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах

R

R

R

R

R

R

где

R

= 1

,

R

= 2 ,

a = p

+ 2q

и b = 2 p + q ,

p

q

R

R

равен

π

а угол между векторами p

и q

.

3

Решение.

По формулам

9 :

π

R

R

R

R

R R

R R R R

R R

R R

R R

R R

R

R

3

S =

a

´b

=

(p + 2q )´

(2 p + q )

=

2 p ´ p + p ´ q

+ 4q ´ p - 2q ´ q

=

- 3 p ´ q

= 3

p ´ q

= 3

p

×

q

×sin

= 3×1× 2 ×

= 3

3

кв. ед.

3

2

В решении задачи использован распределительный закон, которому подчиняется векторное произведение векторов и

R R

R R

R R

R R

=

R

×

R

R R

8 .

свойства векторного произведения: p

´ p = 0 и

p ´ q

= -q

´ p , а также формула

p ´ q

p

q

×sin(p q )

Ответ: S = 3

3 кв. ед.

Задача 12. Вычислить объем пирамиды, вершины которой находятся в точках

A (1, 1, 2), B (2, 3, -1) ,

C (2, - 2, 4)

D (-1, 1, 3).

Решение. Найдем координаты векторов, совпадающих с ребрами пирамиды, прилежащими к одной из вершин ее,

например AB = {1, 2, - 3},

AC = {1, - 3, 2}, AD = {- 2, 0, 1}

5 . Используя геометрический смысл смешанного произведения

10 , найдем объем параллелепипеда, а затем – объем пирамиды, который равен

1

объема параллелепипеда. По формуле 10 :

6

1

1

1

2

- 3

5

VПИР =

VПАР =

1

- 3

2

=

куб. ед.

6

6

- 2

0

1

6

14

Ответ: VПИР = 5 куб ед. 6

Задача 13. Доказать, что четыре данные точки A (1, 0, 7), B (-1, -1, 2) , C (2, - 2, 2) D (0, 1, 9) лежат в одной

плоскости.

Решение. Чтобы решить задачу, достаточно доказать, что три вектора, соединяющие данные точки, компланарны, т.е. лежат в одной плоскости. Смешанное произведение компланарных векторов равно нулю 10 . Введем в рассмотрение

векторы AB = {- 2, -1, - 5}, AC = {1, - 2, - 5}, AD = {-1, 1, 2}и вычислим их смешанное произведение:

		- 2	-1	- 5				- 2	-1 - 5
AB × AC × AD =		1 - 2		- 5		=		5	0	5		= 0 ,
		-1	1	2				- 3	0	- 3

что и требовалось доказать.

15

					ТЕМА 3
				АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
					3.1 Прямая на плоскости
					F (x, y) = 0	- линия	l	на плоскости.
1				Общее уравнение прямой на плоскости:
					R
		l	: Ax + By + C = 0 , где N = {A, B, C}^ l ;

1.C = 0 Ax + By = 0 0(0, 0)Îl ;

2.A = 0 By + C = 0 y = - C ; l // 0xy = 0 - ось 0x ;

B

3. B = 0 Ax + C = 0 x = - C ; l // 0 yx = 0 - ось 0 y . A

2

Расстояние от точки

M (x

0

, y

0

)

до прямой

+ C = 0

(l ) Ax + By

:

d =

Ax0 + By0 + C

A2 + B2

3

Уравнение прямой

,

l

проходящей через точку

M (x0 , y0 ) ^	R
	вектору N = {A, B}:

A(x - x0 ) + B(y - y0 ) = 0 (l ) .

4 Уравнение прямой, проходящей через данную точку M (x0 , y0 ) с

данным угловым коэффициентом

k = tgα		,				- угол наклона прямой			l
				α
						y - y0 = kx - x0		(l	)
к оси	0x		:

6

Уравнение прямой

l

в отрезках

x

y

на осях :

+

= 1

(l )

,

,

b

-

a

a

b

отрезки, отсекаемые на осях

координат.

7

Уравнение прямой

l

, проходящей

через данную точку

M (x0 , y0 )

параллельно вектору

R

= {m, n}

:

s

x - x0

=

y - y0

(l )

- каноническое

m

n

уравнение.

8

Уравнение прямой

l

, проходящей

M (x1 , y1 )

через две данные точки

и

M (x2 , y2 )

:

x - x1

=

y - y1

(l )

y2 - y1

x2 - x1

5 Угол между двумя прямыми на плоскости:

(l1 ) y = k1 x + b1 ; (l2 ) y = k2 x + b2 :

tgθ = k1 - k2 1 + k1k2

9 Уравнение прямой l с угловым коэффициентом:

(l ) y = kx + b

10

Условие // прямых: l1 // l2 k1 = k 2 Условие прямых: l1 ^ l2 k1 × k2 = -1

11

Точка пересечения двух прямых

l1

и

l2

:

(l1 ) A1 x + B1 y + C1 = 0

0 (x0 , y0 )

(l )

A x + B

y + C

= 0 - это точка

M

,

2

2

1

2

где (x0 , y0 ) - решение системы уравнений l1 и l2 .

Задачи по теме «Прямая на плоскости»

Задача 1. Через точку M 0 (1, - 4) провести прямые, параллельные осям координат.

Решение.

16

а) Если l1

// 0x , то по

1

уравнение l1 :

y = c , а так как M 0 Îl1 , то y = −4 (координаты

M 0 должны удовлетворять

уравнению l1 ).

б)

Если

l2

// 0 y ,

то

по

1

уравнение

l2 :

x = m , а

так как

M 0 (1, - 4)Î l2 , то

x = 1

(координаты M 0 должны

удовлетворять уравнению l2 ).

Ответ: l1 : y = −4 ;

l2 : x = 1 .

Задача 2. На каком расстоянии от начала координат проходит прямая 3x − 4 y −15 = 0 ?

Решение.

Воспользуемся формулой 2

d =

Ax0 + By0 + C

. Чтобы найти расстояние от точки O(0, 0)

- начала

A2 + B2

координат –

до данной прямой

3x − 4 y −15 = 0 ,

подставим в левую часть этого уравнения, вместо текущих координат,

R

координаты точки O(0, 0), возьмем полученное число по модулю и поделим его на длину нормального вектора N = {A, B},

т.е. на N =

A2 + B2 , имеем d =

3× 0 - 4 ×0 -15

= 15 = 3 .

R

5

32 + 42

Ответ: d = 3 .

Задача 3.

Найти площадь треугольника, образованного прямой 3x − 7 y + 21 = 0 и осями координат. Построить эту

прямую.

Решение.

Приведем уравнение данной прямой к виду «в отрезках на осях»

6

:

x

y

x

y

= 1 , где a = −7 ,

y

+

= 1, т.е. к виду -

+

a

b

7

3

b = 3 - отрезки, отсекаемые прямой на осях координат.

Треугольник, образованный данной прямой и осями

B(0, 3)

координат, - прямоугольный, а катеты его равны 3 и 7. Тогда:

1

1

21

b

S =

×

a ×b

=

×7

×3 =

кв.

ед.

S

2

2

2

x

a

0

A(- 7, 0)

Ответ: S = 10,5 кв.ед.

Задача 4.

Даны точка

M 0 (2, - 3) и вектор

R

=

{- 4, 7}.

Через точку

провести две прямых, одна из которых

a

M 0

параллельна, а другая перпендикулярна вектору

R

a .

Решение.

а)

x - x0

=

y - y0

- воспользуемся уравнением

7

,

где

x0

и

y0

- координаты точки, лежащей на прямой, а

m

n

R

R

x - 2

y + 3

S = {m, n} - направляющий вектор прямой. Приняв за него вектор

a

, получим:

=

или 7x + 4 y − 2 = 0 .

- 4

7

б)

A(x - x0 )+ B(y - y0 ) = 0 –

воспользуемся уравнением

3

, где точка M 0 (x0 , y0 )

принадлежит прямой, а вектор

R

R

- 4(x

- 2)+ 7(y + 3) = 0 или 4x − 7 y − 29 = 0 .

N = {A, B} –

нормаль к прямой, за которую примем вектор a :

Ответ: l1 : 7x + 4 y − 2 = 0 ; l2 : 4x − 7 y − 29 = 0 .

Задача 5. Какие углы с осью 0x образуют прямые, проходящие через точки:

а) M1 (4, - 4) и M 2 (- 3, 3) ; б) M 3 (4, - 8) и M 4 (- 3, - 8) ; в) M 5 (2, - 3) и M 6 (2, 3) ?

Решение.

Используем уравнение прямой, проходящей через две данные точки 8 :

x - x1

=

y - y1

.

x2 - x1

y2 - y1

а)

x - 4

=

y + 4

или

y = −x , где k = -1 , т.е. tgα = −1 ,

α1 = -

3π

.

- 3 - 4

3 + 4

4

б)

x - 4

=

y + 8

или y = −8 , где k = 0 , т.е. tgα = 0 ,

α 2

= 0 .

- 3 - 4

- 8 + 8

в)

x - 2

=

y + 3

или x = 2 , где k = tgα не существует, т.е. tgα = −1 , α3 = π .

2 - 2

3 + 3

2

17

Ответ: α1 = -

3π

; α 2

= 0 ; α3

= π .

4

2

Задача 6.

Найти углы, которые получатся при пересечении двух данных прямых (l1 )

5x + 6 y −1 = 0

и

(l2 )

x − y + 3 = 0 .

Решение.

Воспользуемся формулой 5 : tgα =

k1 - k2

,

k1 и k2

- где угловые коэффициенты данных прямых

1 + k1k2

соответственно. Преобразуем уравнение данных прямых

к

виду

y = kx + b : (l1 ) y = -

5

x +

1

k1

= -

5

;

(l2 )

6

6

6

y = x + 3 k2 = 1 . Тогда tgθ =	1	+ 5 6	=	11 6	= 11 т.е. угол,	который образует первая прямая со второй, θ1 = arctg 11 ; второй,
		- 5 6
1			1 6
смежный с ним, который образует вторая прямая с первой, θ 2 = arctg (-11) .
								Ответ: θ = arctg(±11).
Задача 7. Через точку пересечения прямых (l1 )						x + 4 y − 5 = 0 и (l2 )		7x + 5 y + 11 = 0 провести две прямые, одна из
которых параллельна, а другая перпендикулярна прямой (l3 ) 6x + y − 7 = 0							( 11 , 10 ).
Решение. Воспользуемся уравнением 4 y - y0						= k(x - x0 ), где	k	- угловой коэффициент прямой, а M 0 (x0 , y0 ) -

точка, через которую проходит искомая прямая. Вначале найдем точку, как точку пересечения данных прямых, решив совместно их уравнения:

- 7 x + 4 y - 5 = 0

а) первая из искомых прямых параллельна прямой

l3 , следовательно, ее угловой коэффициент

+ 5 y +11 = 0

7x

− 23y + 46 = 0

k = k3 = -6 , т.к. уравнение l3 можно

записать

так:

y = −6x + 7

9 . Подставив в уравнение 4 ,

y0 = 2x0 = -3

найденные параметры

получим: y - 2 = -6(x + 3) или 6x + y + 16 = 0 .

M 0 (- 3, 2)

б) вторая

из искомых

прямых

перпендикулярна

l3 ,

следовательно, ее угловой коэффициент

k = -

1

=

1

10 . Тогда уравнение второй - искомой прямой: y - 2 =

1

(x + 3) или x − 6 y +15 = 0 .

k3

6

6

Ответ: 6x + y + 16 = 0 (l4 ) ; x − 6 y +15 = 0

(l5 ).

Задача 8.

Показать, что точки M1 (2, 1) ,

M 2 (- 3, 3) и M 3 (7, -1)

лежат на одной прямой.

Решение.

Через точки M1

и M 2 проведем прямую :

x - x1

=

y - y1

8 , или

x - 2

=

y -1

, или 2x + 5 y − 9 = 0 .

y2 - y1

x2 - x1

- 3 - 2 3 -1

Чтобы убедиться, что точка

M 3 тоже лежит на этой прямой,

подставим координаты этой точки в полученное уравнение

прямой 2 ×7 + 5 ×(-1)- 9 = 0 . Задача решена.

Задача 9.

Даны координаты вершин треугольника: A(-1, 1) , B(1, 5) , C(3, 1) .

Найти уравнение медианы

AM ,

проведенной из вершины A к стороне BC , и вычислить ее длину.

Решение.

а) Найдем координаты точки M - середины отрезка BC(BM = MC ) по формулам:

B

xM =

xB + xC

;

yM =

yB + yC

;

M

C

2

2

A

xM =

1+ 3

= 2 , yM =

5

+1

= 3 ; M (2, 3) .

2

2

Уравнение медианы

AM составим, используя уравнение прямой, проходящей через две данные точки

и M

8 :

x +1

=

y -1

, 2x + 2 = 3 y − 3 или 2x − 3y + 5 = 0 .

2 +1

3 -1

б) Длину медианы AM вычислим по формуле:

длина отрезка

AM =

(xM - xA )2 + (yM - y A )2

.

AM =

(2 +1)2 + (3 -1)2

=

13

.

Ответ: а) 2x − 3y + 5 = 0 ; б)

=

AM

13 .

Задача 10.

Найти точку B , симметричную точке A(- 2, 4) относительно прямой (l )

3x + y − 8 = 0 .

A(−2, 4)

Решение. Искомая точка B симметрична точке

A

относительно прямой l ,

если

она лежит на одном с ней перпендикуляре к прямой l : AB ^ l , и на одинаковом расстоянии

от прямой l : AM = MB .

M

	l		18
		B

а) Составим уравнение прямой AB ^ l 4 :

y - y0 = k(x - x0 ), где k =

1

, т.к.

kl = -3 и

kl

× k = -1 10 ; y - 4 =

1

(x + 2)

3

3

или x − 3y +14 = 0 .

б) Найдем точку M – точку пересечения прямых l и AB 11 , решив систему их уравнений:

3x + y - 8 = 0

M (1, 5) - проверьте!

- 3y +14 = 0

x

в)

Так как

AM = MB M - середина

отрезка AB . Воспользуемся

формулами

деления отрезка пополам,

приведенными в предыдущей задаче. Подставив в них известные величины (xA , yA ) и

(xM , yM ), получим уравнения

1 =

- 2 + xB

, 5 =

4 - yB

. Отсюда xB = 4 , yB = 6 .

2

2

Ответ: B(4, 6) .

3.2 Кривые второго порядка

1 Ax2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 -

общее уравнение кривой II порядка

	2							Окружность
			(x - a)2 + (y - b)2 = R2
					C (a, b)
	1.			,		- центр,	R	- радиус -
			каноническое уравнение окружности;

2.x2 + y 2 = R2 - нормальное уравнение;

3.A = C , B = 0 , x2 + y 2 + mx + ny + p = 0 -

общее уравнение окружности.

y

R M (x, y)

C(a, b)

(x − a)2 + (y − b)2 = R2

0	R	x

x 2 + y 2 = R 2

3
		x2		+	y 2	= 1	- каноническое уравнение:
		a2			b2

a- большая полуось;

b- малая полуось;

c- полуфокусное расстояние;

a2 = b2 + c2 ; ε = c - эксцентриситет, 0 < ε a

Эллипс

y

M (x, y )

B1 (0, b )

a

b

c

(− a, 0)

F (c, 0)

A (a, 0)

A1

F (− c, 0)

0

< 1 .

x

1

2

2

B2 (0, − b )

MF1

+ MF2 = 2a

	4
		x2		+	y 2	= 1	- каноническое уравнение:
		a2			b2

a- действительная полуось;

b- мнимая полуось;

c- полуфокусное расстояние;

c2 = a2 + b2 ; ε = c - эксцентриситет, ε > 1 . a

y = ± b x - асимптоты гиперболы a

Гипербола

y

B1 (0, b )

M (x, y)

A1 (− a, 0)

A2 (a, 0)

c

b

F1 (− c, 0)

0

F2 (c, 0)

a

x

B2 (0, − b )

MF1 − MF2 = 2a

19

5

y 2 = 2 px - каноническое уравнение;

p = KF - параметр параболы;

(y − b)2 = ±2 p(x − a) ; (x − a)2 = ±2 p(y − b) ;

			P
	C(a, b)
		- вершина;	F		, 0	- фокус;
				2

DD1 - директриса параболы.

Парабола

y

D

C(a, b)

N

M (x, y)

K

0

P

x

2

F

, 0

(x − a)

= −2 p(y − b)

2

y 2

= 2 px

D1

MF = MN

Задачи по теме «Кривые второго порядка»

Задача 1. Привести уравнение кривой к каноническому виду и построить ее.

Решение.

а)

x2 + y 2 + 4x - 2 y + 4 = 0 2

. Выделим полные квадраты по x и по y :

(x2 + 4x + 4)+ (y 2 - 2 y +1)= 4 - 4 +1 или

(x + 2)2 + (y -1)2

= 12 - каноническое уравнение окружности с центром в точке C(- 2, 1) и радиусом R = 1 .

б) x2 + y 2 - 5x + 3y - 4 = 0 .

a)

y

25

9

25

9

2

2

x

- 5x

+

+ y

+ 3y +

= 4 +

+

.

4

4

4

4

2

3 2

3

1

5

50

5

5

x

-

+

y +

=

-

окружность,

C

, -

,

2

2

2

4

2

2

x

−2

0

−

3

R =

50

=

5 2

.

2

C (

5

,−

3

)

б)

2

2

4

2

Задача 2.

а) Найти точки пересечения прямой y = x + 2 и окружности x2 + y 2 - 4x -12 = 0 .

Решение.

Чтобы

найти точки пересечения двух линий, нужно решить систему их уравнений

y = x + 2 и

x2 + y 2 - 4x -12 = 0 .

Для

этого

подставим

y = x + 2

в

уравнение

окружности:

x2 + (x + 2)2 - 4x -12 = 0 2x2

= 8 x2 = 4x1 = -2x2 = 2 , осталось найти y1 = -2 + 2 ;

y2 = 2 + 2 .

Ответ: M1 (- 2, 0) , M 2 (2, 4) .

б) Показать, что прямая y = 2x + 5 и окружность x2 + y 2 = 1 не пересекаются.

Решение.

Для

этого достаточно показать, что система уравнений y = 2x + 5

и x2 + y 2 = 1

решений не имеет.

Подставим

y = 2x + 5 в

уравнение

окружности:

x2 + (2x + 5)2

= 1 5x2 + 20x + 24 = 0 ,

дискриминант

уравнения

D = (- b)2 - 4ac = 400 - 5 × 4 × 24 < 0 . Решений у системы нет точек пересечения у линий нет.

Задача

3.

Окружность касается осей координат и проходит через точку. Составить уравнение этой окружности.

Решение.

Так как окружность касается осей координат, то a = b в уравнении

2

(x - a)2 + (y - b)2 = R 2 , т.е. C (a, a)

y

и

R =

a

(почему?). Таким образом,

каноническое уравнение окружности

(x - a)2 + (y - a)2 = a 2 . Чтобы найти

a , подставим в это уравнение

координаты

точки M (- 2, - 4), через

которую проходит окружность:

(−2, 0)

(−10,

0)

(- 2 - a) + (- 4 - a) =

C2′

( 0, − 2)

x

0

2

2

M

= a 2 a 2 +12a + 20 = 0a1,2 = -6 ±

, a1 = -10 , a2 = -2 .

36 - 20

(0,−10)

C ′

1

Ответ: (x +10)2 + (y +10)2 = 100 ; (x + 2)2 + (y + 2)2 = 4 .

Задача

4.

Вычислить кратчайшее расстояние от точки B (7, 6) до окружности x2 + y 2 - 2x + 4 y - 20 = 0 .

20