Haustova_Kichigina-alg

Министерство образования и науки Российской Федерации Омский государственный технический университет

КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ ПО ЛИНЕЙНОЙ И ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЕ

Методические указания для студентов технических специальностей

заочной формы обучения

Омск - 2004

Cоставители: Кичигина Раиса Сергеевна, старший преподаватель, Хаустова Нина Михайловна, старший преподаватель

2

Линейная алгебра

Матрицей называется произвольная система элементов, расположенных в виде таблицы, имеющей m строк и n столбцов.

Если элементы матрицы - числа, то матрица называется числовой. Обозначается матрица

a		a		...	a
	11		12			1n
a	21	a 22		...	a 2n			или A =(a ij ),
A =
...
		a m 2		...
a m1					a mn
где i =1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n , i		- номер строки,						j - номер столбца.
Матрица, имеющая m строк		и n столбцов, называется матрицей размером

m × n . Если m ¹ n , то матрица называется прямоугольной, а если m = n , то матрица называется квадратной.

Матрица размером m ×1 называется матрицей-строкой; матрица размером 1× n называется матрицей-столбцом.

Матрица, у которой все элементы равны нулю, называется нулевой. Ее обозначают О.

Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов, стоящих по главной диагонали равны нулю, называется диагональной.

Диагональная матрица, у которой элементы, стоящие на главной диагонали равны единице, называется единичной. Ее будем обозначать буквой Е.

	1	0 ...	0
		1 ...	0
Е =	0
		...		.
	...
		0 ...	1
	0

Матрица Aт , полученная из данной матрицы А заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется транспонированной. Если матрица А раз-

мером m × n , то матрица Aт будет размером n × m .

Чтобы сложить две матрицы одинакового размера, нужно сложить элементы, стоящие на одинаковых местах. Если Am×n = (aij ) и Bm×n = (bij ), то A + B = C , причем Cm×n = (aij + bij ) .

Чтобы умножить матрицу на число, нужно каждый элемент этой матрицы умножить на это число. Если Am×n = (a ij ), то A × a = B , причем Bm×n = (a × aij ).

Умножить можно не любые две матрицы, а лишь такие, у которых количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй матрицы.

Если Am×n ,	Bn×k и C =A × B , то	Cm×k , т. е. (m ´ n)×(n ´ k)=m ´ k . Пусть
Cm×n =(cij ). Чтобы	получить элемент cij	в матрице произведения, надо элементы

3

i-й строки первой матрицы умножить на элементы j-го столбца второй матрицы и полученные произведения сложить.

Начнем с умножения матрицы-строки A = (1 0 − 2 3) на матрицу-столбец

		5
B =	11			´ 4	(одна строка, 4 столбца), матрица В –	раз-
		7	. Матрица А имеет размер 1
		4
мер		4 ×1. Произведение A × B существует, т. к. число столбцов первой матрицы

совпадает с числом строк второй. Результирующая матрица С будет иметь размер 1´1, т. е. состоять из единственного элемента. Найдем этот элемент. c11 =1× 5 + 0 ×11 + (- 2)× 7 + 3 × 4 = 3. Для этого умножим первый элемент матрицыстроки на первый элемент матрицы-столбца, прибавим произведение второго элемента матрицы-строки на второй элемент матрицы-столбца, затем прибавим произведение третьего элемента матрицы-строки на третий элемент матрицы-столбца и произведение соответствующих четвертых элементов.

	5
(1 0 - 2 3)×	11	= (5 + 0 -14 + 12) = (3) .
7
4
Пример 1. Найти произведение матриц
- 2		3	1		3	-1	2
					1	4	1		.
			×
	4	-1
			2		- 2	3
							-1

	− 2	3	1				3	−1	2
Матрица А=				имеет размер	2 × 3 , матрица В=		1	4	1		имеет
		-1
	4		2				- 2	3
									-1
размер 3 × 3. Произведение A × B существует, в результате получится матрица С
размером 2 × 3. Элемент				cij этой матрицы будет равен единственному элементу

матрицы, которая получается, если i -ю строку, рассматриваемую как матрицустроку, матрицы А умножить на j-й столбец (матрицу-столбец) матрицы В.

К примеру, чтобы найти c23 , нужно умножить вторую строку матрицы А на третий столбец матрицы В.

	2
(c23 ) = (4 -1 2)	1 = (4 × 2 -1×1 + 2(-1)) = (5), c	23 = 5.
	-1

Таким же образом можно найти остальные элементы матрицы С.

4

												3
				(c11 ) = (- 2 3 1)								1 = (- 6 + 3 - 2) = (- 5), c11 = -5.
										- 2
										-1
				(c12 ) = (- 2 3 1)								4 = (2 + 12 + 3) = (17),							c12	=17.
												3
											2
			(c13 ) = (- 2 3 1)								1		= (- 4 +3 -1) =(-2),						c13 = -2.
											-
												1
													3
				(c21 ) = (4 -1 2)									1 = (12 -1 - 4) = (7), c11 = 7.
												- 2
											-1
				(c22 ) = (4 -1 2)									4 = (- 4 - 4 + 6) = (- 2), c22 = -2.
													3
								− 5					17	− 2
							C =							.
									7				- 2
														5
	Задача 1. Найти произведение матриц.
	1	2 3		1		1	1									1 2 1			2	− 1
1.			×		1 2 4									2.			×		1 3
	4	5 6				3	9									3 1 2			0		1
				1
							1	2														3	1
	3	-1 2 1					3	4								2 -1 5			6			1 3
3.						×								4.							×
							-1 -
	1	4 3 5							2						- 5 3 2				1			2 4
							- 3	-														5
									4														2

5

												1 − 2				1
5.	7	2 - 2 1								×		3 2 -1
	3	- 3 2 4										2 2				2
												1		3
																4
									4				2
7.	5	1 0 3					- 2						4
						×
	2	4	5 3						1				3
									1
													- 5
										2			− 1		1
9.	2	- 2 1 1						×		3			2 -1
										1			2		2
	3	4 2 1
													1
									2						1
									1				2	2
11.	2	4 5 3					×		3				2 -1
												- 2 1
	7	1 3 2							2
													1
								4						4
												3		1
	4	5	- 5			2						4		3
13.										×
												2 - 2
	6	2 - 3 -1
												5
														3
											4		1	4
15.			- 2
		2							×		2		1	1
	3				5
	4	6 - 7 8									5		1 3
													2
									3					- 2
	2	1	-1		1						2
				×						- 2
							1
17.
	0	3	5								3
					1

											3		1
		6	2	- 2			3				1		3
	6.									×
			- 5
		4		1 2							2		4
										5			2
										1			2
		2	-1	1	3					3			4
	8.						×
									-1
		5 4		1 2									- 2
									- 3
													- 4
											2		− 2		1
	10.		-1
				2			3		×		2		1		1
		7
											3
		1 2		- 3 5									2 -1
													2
										1					2
												4	1		4
		6 2		- 2 - 3								2 1 1
	12.									×
													2 - 2
		4 5		- 5 1								3
													1
										5					3
												4		3
		- 2 3		1			4					2		5
	14.									×
		5 6		- 6 3								4		3
										7			- 8
		1	2	3		1				1			1
										- 2			- 4
							1
	16.		- 5		×
		4		6						3			- 9
						1

	3	0	1			1	0
		- 2
18. 1			-1		× 5		1
	2	0	1			2
							- 3

6

	1		- 2		1					2			-1
								×					- 3
										1
19.				-
	3		1			2				2				1
		1	2				3				1			1		1
										×
													1	2		4
21.		- 4	- 5
						- 6					1			3		9
		0	3				1			2			-1
		-1
23.			2		×
	1		- 2			3				0				1
		1	2	1				2				-1
25. 5			- 7	×				3					0
	3		- 4	1
													1		2
		3	- 2	5			4						3		4
27.
								×
												- 4			3
	1		4 3 5
													2
															1
		1	− 10			3			- 4					- 5
					×
29.		2	13
		4	5			1				5				2

		2	-1			1	2			1
20. 1			3 ×
	0		1			3	1			2
		1	2	- 7				0			3
											2
22.		3	0			× -1
				15			1				- 2
		1	2	3			7	- 7
24.						× 3			4
	7		8	6		2		- 5
		3	- 4				11			10		9
		5
26.			6			×
		- 3	1			-1 2						-1
												2	− 1
28.	- 7			1 2 5								- 3 4
											×
			- 4 1 -
	2								5			1	4
												2
													7
										2		1
	- 3		1		2		3			4		3
30.								×
										- 2		1
	7		8 6 1
										5
												6

Задача 2. Матрица A−1 называется обратной для квадратной матрицы А, если А × А−1 =А−1 × А =Е. Если определитель матрицы А не равен нулю, то матрица А

называется невырожденной.
Матричное уравнение вида A × X = B , где	А и В – заданные матрицы, а Х –
искомая матрица, имеет решение X = A−1 × B,	если матрица А – квадратная и

невырожденная. Решение матричного уравнения X × A = B имеет вид X = B × A−1. Обратная матрица A−1 может быть найдена следующим образом.

7

Aij = (− 1)i+ j

1) Найдем A - определитель матрицы А.

Если

a

a

,

то

A

=

a

a

= a

× a

- a

× a

.

A =

11

12

11

12

11

22

21

12

a 21

a

22

a 21

a 22

2) Найдем AT , т. е. транспонируем матрицу А, заменив каждую строку на столбец с соответствующим номером.

~

3) Найдем AT , т. е. матрицу, составленную из алгебраических дополнений к элементам матрицы AT . Алгебраические дополнения находятся по формуле

Mij , где Mij - определитель, полученный из определителя матрицы AT вычеркиванием i -й строки и j-го столбца.

	A−1 =		1		~
4). Найдем							AT .
				A
Пример 2.	Решить матричное уравнение							1	2	-1		0		и сделать
								X ×		=
											- 9	-10
								3	4

проверку.

Пусть	1	2		,	-1		0		. Матричное уравнение имеет вид
	A =				B =
		4				- 9	-10
	3

X × A = B, решение которого находится по формуле X = B × A−1. Найдем A−1.

1)			A		=	1	2		=1× 4 - 2 × 3 = -2.
						3		4		T
2)						1		2			=	1	3
	AT =													.
								4					4
						3						2

								3)	Найдем					Aij = (-1)i+ j Mij .
	AT		=		1 3		A11 = (-1)1+1 × (4) = 4 A12 = (-1)1+2 × 2 = -2
					2 4		A21 = (-1)2+1 × 3 = -3 A22 = (-1)4 ×1 =1.
								4) A−1 = -			1			4 - 2			- 2	1
																=		.
																	3/ 2 -
												2		- 3 1				1/ 2
Найдем					X = B × A			-1			0			- 2		1
								−1 =						×			.
									- 9	-10
														3/ 2	-1/ 2

~ T		4	- 2
A	=			.
		- 3	1

8

	Матрицы А и В размером						2 × 2, следовательно, Х имеет размер 2 × 2.
x11		= (-1)×(- 2) + 0 ×	3	= 2 ,				x12 = (-1)×1 + 0 ×		-	1		= -1,
		2								2
		= (- 9) × (- 2) + (-10)×			3				= (- 9)×1 + (-10)× -				1	= -4 ,	2	-1
x						= 3 , x									X =		.
	21							22
		2											2			- 4
															3

Выполним проверку, подставив Х в исходное уравнение:

2	-1	1	2		= C ,
	- 4		4
3		3

c = 2 − 3 = −1,	c = 4 − 4 = 0 ,	-1
		С =	- 9
11	12
c21 = 3 − 12 = −9 ,	c22 = 6 − 16 = −10 ,

.

10

Матрица совпадает с матрицей В.

Ответ:	2	-1
	X =		.
		- 4
	3

Контрольные варианты к задаче 2. Решить матричное уравнение и сделать проверку.

		2			- 2		1		- 3			2. X ×				1 - 8		-1	- 2
1. X ×						=											=
		3			5		4		- 2							4 - 7		1	- 3
3.	2			- 8			- 2		- 3			4. Y ×				- 3 -1		7	11
						× Y =												=
				-					-
	1				3		1			1						- 2 3		13	- 2
5.	5			- 2			3		4							3 - 2		11	12
						× Y =						6. X ×						=
				-
	3				4		1		2							- 3 - 4		1	- 2
		-1				- 3		2	- 7			8.	- 2			- 3		-1	- 3
7. X ×							=										× Y	=
		4				5		5	-1				4				7	5	- 6
9. X ×		- 2				3		4	5			10.		3			5	7	- 2
						=											× X =
			- 3					- 5						- 2
						1			1								- 4	3	4
11. X ×				7		- 2			1	2		12. X×				- 3 - 5		7	11
								=										=
				- 3						-						2
						4		- 3			4						1	2	3

9

	2	− 7			11		13
13.			× X		=
3		- 5			10		2
− 7			− 11			− 1		− 2
15.				× X =
2			- 3				3 - 4
		3	− 2			4	1
17. X ×			-		=
	1			2	-1 3
		5	− 6			1	− 2
19. X ×					=
	7		8		3		4
− 6			7	× X	− 2		3
21.					=
2			3		5		6
	3	− 1			11		2
23.			× Y =
3		15			7		-1
	− 5			6		10	3
25. Х ×					=
						-1
	- 2			1			2
	1		11				2	− 5
27.				× Y =
	-13		-
				2		- 4		9
		3	− 2			10	2
29. Y×					=
						- 2
	5		- 4				7

14. X ×		− 1		− 2		11			7
				=
		5		6		2			- 3
16. X ×		2	− 5			9	− 5
				=			-
		3 -1			7				3
4		1			3		− 2
18.			× Y =		1 -
-1 3								2
5		− 6		× Y =	− 2			1
20.
9		8			4				3
2		− 3		× Y =	− 1			− 2
22.		-
3			5		3				4
24. X×	11		− 2		10				2
				=
		3 4			-1				2
26. X×		− 2		5		1		11
				=
		4 9			13			2
28. X×		− 2		11			1		− 2
					=
		-10					- 3
				9					4
5		− 2					6		− 5
30.				× X =
13			1		-1				3

Задача 3. Определитель четвертого порядка будем вычислять, пользуясь свойствами определителя и теоремой Лапласа. По теореме Лапласа, определитель равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на соответствующие им алгебраические дополнения. Прежде чем применить эту теорему, желательно в выбранной строке (или столбце) получить три нуля, используя свойство: определитель не изменится, если к элементам какой-либо строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число.

10