gumen_kurs / Теория / mono_a4 / MONO_A4

Раздел 2. Геометрическая вероятность

2.1		Что это такое
			q		Рассмотрим какую-нибудь область в Rm (на прямой, на
'				$плоскости, в пространстве). Предположим, что «мера» (дли-
					на, площадь, объем, соответственно) конечна. Пусть случай-
	A				ный эксперимент состоит в том, что мы наудачу бросаем в
					эту область точку. Термин «наудачу» здесь означает,	÷òî
&				%

вероятность попадания точки в любую часть A не зависит от формы или расположения A внутри , а зависит лишь от «меры» области A (если A измеримо, см. замечание 6).

Определение 9. Эксперимент удовлетворяет условиям «геометрического определения вероятности», если его исходы можно изобразить точками некоторой области в Rm так, что вероятность попадания точки в любую часть A не зависит от формы или расположения A внутри , а зависит лишь от меры области A (и, следовательно,

пропорциональна этой мере):
P( 2 A) =	(A)	; ãäå	(A) обозначает меру области A:
	( )

«Мерой» мы пока будем называть длину, площадь, объем и т.д.

Если для точки, брошенной в область , выполнены условия геометрического определения вероятности, то говорят, что точка равномерно распределена в области .

Пример 7. Точка наудачу бросается на отрезок [0,1]. Вероятность точке попасть в точку f0:5g равна нулю, так как мера множества, состоящего из одной точки («длина точки»), есть 0. Вместе с тем попадание в точку f0:5g не является невозможным событием — это один из элементарных исходов эксперимента.

2.2Задача о встрече

Пример 8. Два лица X и Y условились встретиться в определенном месте между двумя и тремя часами дня. Пришедший первым ждет другого в течении 10 минут, после чего уходит. Чему равна вероятность встречи этих лиц, если каждый из них может прийти в любое время в течение указанного часа независимо от другого?

Р е ш е н и е. Будем считать интервал с 14 до 15 часов дня отрезком [0,1] длиной 1 час. Пусть («кси») и («эта»)´ — моменты прихода X и Y (точки отрезка [0,1]). Все возможные результаты эксперимента — множество точек квадрата со стороной 1:

= f( ; ) : 0 6 6 1; 0 6 6 1g = [0; 1] [0; 1].

Можно считать, что эксперимент сводится к бросанию точки

6

наудачу в квадрат. При этом

благоприятными

исходами

являются точки множества A =

f( ; ) : j j

6 1=6g (10

минут = 1/6 часа). То есть попадание в множество A наудачу

брошенной в квадрат точки означает, что X и Y встретятся.

Тогда вероятность встречи равна

2

5

1/6

1

P(A) = ( ) =

1 6

= 36:

-

(A)

1

11

2.3Задача Бюффона

Пример 9. На плоскости начерчены параллельные прямые, находящиеся друг от друга на расстоянии 2a. На плоскость наудачу брошена игла длины 2l < 2a. Какова

10

вероятность того, что игла пересечет одну из прямых?

Р е ш е н и е. Поймем, что означает здесь «наудачу брошена игла». Возможные положения иглы (отрезка) на плоскости полностью определяются положением середины иглы и углом поворота иглы относительно какого-либо направления. Причем две эти переменные (положение центра и угол поворота) меняются независимо друг от друга.

-

6

				l
					2a
	l				'
	x
					? -
x	6
a		x = l sin '

									-
0								'

Обозначим через x 2 [0; a] расстояние от середины иглы до ближайшей прямой, а через ' 2 [0; ] — угол между каким-то направлением прямых и иглой. Множество возможных положений иглы целиком определяется выбором наудачу точки из прямоугольника = [0; ] [0; a].

Игла пересекает ближайшую прямую, если координаты выбранной наудачу точки удовлетворяют неравенству: x 6 l sin '.

Площадь области A , точки которой удовлетворяют такому неравенству, равна

(A) =	Z0		= 2l:
		l sin ' d' = l cos ' 0

И так как ( ) = a , то искомая вероятность равна

P(A) = a2l .

2.4Парадокс Бертрана

Пример 10 ( Josef Bertrand, “Calcul des Probabilites", 1888).

В круге единичного радиуса наудачу выбирается хорда. Какова вероятность того, что ее длина будет больше, чем длина стороны вписанного в круг правильного треугольника?

«Р е ш е н и е». Есть по крайней мере три способа «выбрать наудачу хорду в круге».

sLEA

1. Зафиксируем одну точку (конец хорды) на окружности

ELA

и выберем наудачу на окружности другую точку (второй

s

EELALA

конец хорды). Здесь = [0; 2 ], а благоприятными явля-

E

LA

ются положения второй точки на интервале [2 =3; 4 =3]

E

LA

(хорды, помеченные на рисунке красным цветом). Ве-

E

LA

E

L

1

E

роятность получить «длинную» хорду равна 3.

	r	2. Существует ровно одна хорда, для которой данная точ-
		ка в круге является серединой1. Можно поэтому вы-

бирать наудачу хорду, бросая наудачу точку (середину

T					хорды) в круг. Здесь — круг радиуса 1, ( ) = , а
T
T					благоприятными являются положения середины хорды
TT		r
					внутри вписанного в треугольник круга (радиусом 1/2).
	T				Вероятность получить «длинную» хорду равна отноше-
T					1		.
					нию площадей кругов, то есть
						4

1Кроме того случая, когда брошенная наудачу точка попадет в центр круга. Но поскольку вероятность этого события равна нулю, то учет или неучет такого события не влияет на итоговую вероятность

11

											3. Наконец, можно ограничиться рассмотрением только
		b									хорд, перпендикулярных какому-либо диаметру (осталь-
		b
			b								ные могут быть получены поворотом). То есть экспери-
						b
	t						b				мент может состоять в выборе середины хорды наудачу
								b
								b
		"""									на диаметре круга — отрезке длиной 2. Благоприятными
		"									являются положения середины хорды на отрезке длиной
		"									1. Искомая вероятность для такого эксперимента равна
		"
		"									1

2.

Âчем причина разницы в ответах на, казалось бы, один и тот же вопрос? На самом деле формулировка задачи не корректна с математической точки зрения. «Выбор наудачу хорды в круге» может быть по-разному описан с помощью геометрического определения вероятности (что мы и сделали). То есть этот «эксперимент» можно поразному описать с помощью выбора наудачу точки в некоторой области.

Слово «эксперимент» взято в кавычки не напрасно: сказав «в круге наудачу выбирается хорда», мы еще не описали физического эксперимента. Действительно, каждому из трех предложенных способов выбора хорд можно сопоставить конкретный физиче- ский эксперимент (всякий раз другой).

Так что парадокс исчезает сразу, как только получен ответ на вопрос: что значит «в круге наудачу выбирается хорда»?

Заканчивая обсуждение понятия геометрической вероятности, сделаем очень важное для дальнейшего замечание.

Замечание 6. Если даже эксперимент удовлетворяет геометрическому определению вероятности, далеко не для всех множеств A вероятность может быть вычислена как отношение меры A к мере . Причиной этого является существование так называемых «неизмеримых» множеств, то есть множеств, мера которых не существует.

А если не для всех подмножеств мы можем определить их вероятности, следует сузить класс множеств, называемых «событиями», оставив в этом классе только те множества, для которых мы можем определить вероятность.

В следующей главе мы займемся построением (вслед за Андреем Николаевичем Колмогоровым) аксиоматики теории вероятностей: познакомимся с понятиями -алгебры (или поля) событий, вероятностной меры, вероятностного пространства, а также докажем сформулированные в параграфе 1.2 свойства вероятности.

12

Раздел 3. Аксиоматика теории вероятностей

3.1-алгебра событий

Пусть — пространство элементарных исходов некоторого случайного эксперимента (то есть, вообще говоря, множество произвольной природы). Мы собираемся определить набор подмножеств , которые будут называться событиями, и затем задать вероятность как функцию, определенную только на множестве событий.

То есть событиями мы будем называть не любые подмножества , а лишь подмножества из некоторого «множества подмножеств» F. При этом необходимо позаботиться, чтобы это множество F подмножеств было «замкнуто» относительно введенных в

параграфе 1.2 операций над событиями, то есть чтобы объединение, пересечение, дополнение событий (то есть элементов F) снова давало событие (то есть элемент F).

Определение 10. Множество F, состоящее из подмножеств множества (не обязательно всех!) называется -алгеброй событий, èëè -алгеброй подмножеств , если выполнены следующие условия:

(A1)	2 F	( -алгебра событий содержит достоверное событие);
(A2)	åñëè A 2 F, òî		A	2 F		(вместе с любым событием -алгебра содержит
	противоположное событие);
	åñëè A1; A2; : : : 2 F, òî				1
(A3)					S Ai 2 F		(вместе с любым конечным или счетным

i=1

набором событий -алгебра содержит их объединение).

Условия (A1)–(A3) часто называют «аксиомами -алгебры».

Проверим, что этого набора аксиом достаточно для замкнутости множества F относительно других операций над событиями.

Вместо первой аксиомы достаточно предположить, что F не пусто, то есть содержит хотя бы один элемент.

Свойство 1.

? 2 F

( -алгебра событий содержит невозможное событие).

Доказательство. Ïî (A1), 2 F, íî ? = n = 2 F â ñèëó (A2).

Свойство 2. При выполнении (A1),(A2) свойство (A3) эквивалентно свойству (A4)

	åñëè A1; A2; : : : 2 F, òî	1
(A4)		T Ai 2 F	(вместе с любым конечным или счетным

i=1

набором событий -алгебра содержит их пересечение).

Доказательство. Докажем, что при выполнении (A1),(A2) из (A3) следует (A4).

Åñëè A1; A2; : : : 2 F, то при всех i = 1; 2; : : : по свойству (A2) выполнено Ai 2 F.

1

S

Тогда из (A3) следует, что Ai 2 F, и, по (A2), дополнение к этому множеству также

			i=1
		1				1				1
è ò.ä.		S				S				iT
принадлежит F, то есть Ai 2 F. Но, в силу формул двойственности,						Ai =				Ai, ÷òî
	i=1					i=1				=1
Доказательство в обратную сторону выглядит совершенно аналогично.
Свойство 3.	Åñëè A; B 2 F, òî AnB 2 F.

13

Доказательство. AnB = A \ B 2 F, так как A 2 F, B 2 F, и по (A4) их пересечение тоже принадлежит F.

Пример 11. Пусть = f1; 2; 3; 4; 5; 6g — пространство элементарных исходов (например, при бросании игрального кубика). Следующие наборы подмножеств являются

-алгебрами (доказать!):

1.F = f ; ?g = ff1; 2; 3; 4; 5; 6g; ?g — тривиальная -алгебра.

2.F = f ; ?; f1g; f1gg = ff1; 2; 3; 4; 5; 6g; ?; f1g; f2; 3; 4; 5; 6gg.

3. F = f ; ?; A; Ag =				f1; 2; 3; 4; 5; 6g; ?; A; A					, где A — произвольное подмножество
(в предыдущем			примере A =		1	g	).
					f

4.F — множество всех подмножеств . Доказать, что если состоит из n элемен-

тов, то в множестве всех его подмножеств ровно 2n элементов.

Итак, мы определили специальный класс F подмножеств пространства элементарных исходов , названный -алгеброй событий, причем применение счетного числа любых операций (таких, как объединение, пересечение, дополнение) к множествам из F снова дает множество из F (не выводит за рамки этого класса). Множества A 2 F мы и назвали «событиями».

Определим теперь понятие «вероятности» как функции, определенной на множестве событий (то есть функции, которая каждому событию ставит в соответствие число). А чтобы читателю сразу стало понятно, о чем пойдет речь, добавим: вероятность мы определим как неотрицательную нормированную меру, заданную на -алгебре F подмножеств .

3.2Вероятность как нормированная мера

Определение 11.

Пусть — некоторое множество и F — -алгебра его подмножеств. Функция: F ! R [ f1g называется мерой на ( ; F), если она удовлетворяет условиям:

(M1) Для любого множества A 2 F его мера неотрицательна: (A) > 0.

(M2) Для любого счетного набора попарно	непересекающихся				множеств
A1; A2; A3; : : : 2 F (то есть такого, что Ai \ Aj		= ? ïðè âñåõ i 6= j) ìåðà
их объединения равна сумме их мер:	[	Ai! =	Xi	(Ai)	(«счетная
	1		1
аддитивность» или « -аддитивность» )	i=1		=1

Иначе говоря, мера есть неотрицательная, счетно-аддитивная функция множеств.

Определение 12. Пусть — некоторое множество и F — -алгебра его подмножеств. Мера : F ! R называется нормированной, если ( ) = 1. Другое название нормированной меры — «вероятность» èëè «вероятностная мера».

То же самое еще раз и подробно:

14

Определение 13.

Пусть — пространство элементарных исходов и F — -алгебра его подмножеств (событий). Вероятностью èëè вероятностной мерой на ( ; F) называется функция P : F ! R, обладающая свойствами:

(P1)	Для любого события A 2 F выполняется неравенство				P(A) > 0;
(P2)	Для любого счетного	набора	попарно несовместных событий
	A1; A2; A3; : : : 2 F имеет место равенство
		1 !	1
		[	X
	P	Ai	=	P(Ai);
		i=1	i=1
(P3)	Вероятность достоверного события равна единице:				P( ) = 1.

Свойства (P1)–(P3) часто называют «аксиомами вероятности».

Определение 14. Тройка h ; F; Pi, в которой — пространство элементарных исходов, F — -алгебра его подмножеств и P — вероятностная мера на F, называется

вероятностным пространством.

Докажем свойства вероятности, вытекающие из аксиом. Здесь и в дальнейшем под знаком вероятности появляются только события!

0.P(?) = 0.

Доказательство. События Ai = ?, i = 1; 2; : : : , попарно несовместны, и их объединение есть также пустое множество. По аксиоме (P2),

11

XX

P(?) = P(Ai) =	P(?):	Это возможно только в случае P(?) = 0.
i=1	i=1

1.Для любого конечного набора попарно несовместных событий A1; : : : ; An 2 F имеет место равенство

n ! n

[X

P	Ai = P(Ai):
i=1	i=1

Доказательство. Пусть Ai = ? при любом i > n. Вероятности этих событий, по предыдущему свойству, равны нулю. События A1; : : : ; An; ?; ?; ?; ?; : : : попарно несовместны, и, по аксиоме (P2),

P	n	Ai!	= P	1	Ai!	=	1	P(Ai) =	n	P(Ai):
	[			[			X		Xi
	i=1			i=1			i=1		=1

2.P(A) = 1 P(A).

Доказательство. A [ A = , и события A, A несовместны. По аксиоме (P3) и предыдущему свойству, 1 = P( ) = P(A) + P(A):

3.Åñëè A B, òî P(BnA) = P(B) P(A).

Доказательство. B = A [ (BnA), и события A, BnA несовместны. По аксиоме (P2),

P(B) = P(A) + P(BnA).

15

4.Åñëè A B, òî P(A) 6 P(B).

Доказательство. По предыдущему свойству, P(A) = P(B) P(BnA) 6 P(B). Последнее неравенство следует из (P1), т.к. P(BnA) > 0.

5.0 6 P(A) 6 1.

Доказательство. P(A) > 0 по (P1), и т.к. A , то по предыдущему свойству

P(A) 6 P( ) = 1.

6.P(A [ B) = P(A) + P(B) P(A \ B).

Доказательство. A \ B B, поэтому P(Bn(A \ B)) = P(B) P(A \ B). Но события A и Bn(A \ B) несовместны, поэтому

P(A [ B) = P(A [ Bn(A \ B)) = P(A) + P(Bn(A \ B)) = P(A) + P(B) P(A \ B):

7.P(A [ B) 6 P(A) + P(B).

Доказательство. Сразу следует из предыдущего свойства и аксиомы (P1).

n

P

8.P(A1 [ : : : [ An) 6 P(Ai). Доказать методом математической индукции.

i=1
9.	n
	X	X
P(A1 [ A2 [ : : : [ An) =		P(Ai) P(Ai \ Aj) +
+	i=1	i<j	(2)
	P(Ai \ Aj \ Am) : : : + ( 1)n 1P(A1 \ A2 \ : : : \ An):
X

i<j<m

Доказательство. Воспользуемся методом математической индукции. Базис индукции при n = 2 — свойство 6 выше. Пусть свойство 9 верно при n = k 1. Докажем, что тогда оно верно при n = k.

P

k Ai! = P

k 1

Ai

[ Ak! = P

k 1 Ai !

+ P (Ak) P

Ak \ k 1 Ai!

(3)

i[

[

[

[

=1

i=1

i=1

i=1

По предположению индукции, первое слагаемое в правой части (3) равно

P

k 1

Ai !

= k 1 P(Ai)

6

X

P(Ai \ Aj) +

[

X

i=1

i=1

1 i<j6k 1

16 X6

+

P(Ai \ Aj \ Am) : : : + ( 1)k 2P(A1 \ A2 \ : : : \ Ak 1):

(4)

i<j<m

k

1

Вычитаемое в правой части (3) равно

P Ak

\ k 1

Ai! = P

k 1

(Ai \ Ak)! = k 1 P(Ai \ Ak)

6 X

P(Ai \ Aj \ Ak)+

[

[

X

i=1

i=1

i=1

1 i<j6k 1

X6

+

P(Ai \ Aj \ Am \ Ak) : : : + ( 1)k 2P(A1 \ A2 \ : : : \ Ak 1 \ Ak):

(5)

16

k

1

i<j<m

Подставить (4),(5) в

(3) и довести до конца шаг индукции.

16

Приведем пример задачи, в которой использование свойства 9 — самый простой путь решения.

Пример 12. Есть n писем и n подписанных конвертов. Письма раскладываются в конверты наудачу. Найти вероятность того, что хотя бы одно письмо попадет в предназначенный ему конверт и предел этой вероятности при n ! 1.

Р е ш е н и е. Пусть событие Ai, i = 1; : : : ; n означает, что i-е письмо попало в свой конверт. Тогда

A = fхотя бы одно письмо попадет в свой конвертg = A1[ : : : [An:

И так как события A1; : : : ; An совместны, придется использовать формулу (2). Нетрудно убедиться, что

P(Ai) =

1

äëÿ âñåõ

i;

n

(n 2)!

1

P(A

\

A

) =

=

äëÿ âñåõ

i = j;

i

j

1)

n!

n(n

6

(n 3)!

1

P(A

\

A

j \

A

) =

=

äëÿ âñåõ i = j = m; : : : ;

n(n

1)(n

2)

i

m

1

n!

6 6

P(A1 \ : : : \ An) =

n!

Вычислим количество слагаемых в каждой сумме в

формуле (2). Например, в сум-

16

X

6

Cn3

ìå

ровно

слагаемых — ровно столько трех-элементных множеств можно

i<j<m

n

образовать из n элементов, и каждое такое множество fi; j; mg встречается в индексах данной суммы единажды.

Подставляя все вероятности в формулу (2), получим:

1

1

1

1

P(A) = n

Cn2

+ Cn3

: : : + ( 1)n 1

=

n

n(n

1)

n(n

1)(n

2)

n!

1

1

1

= 1

+

: : : + ( 1)n 1

2!

3!

n!

Выписать разложение e 1 в ряд Тейлора и убедиться, что P(A) ! 1 e 1 при n ! 1.

3.3О борелевской -алгебре и мере Лебега

Следующий параграф предназначен только для тех, кто не испугался всего сказанного выше и хочет познакомиться с понятиями « -алгебра борелевских множеств» è «мера Лебега».

Борелевская -алгебра на прямой

Пример 13. Пусть = R — вещественная прямая. Рассмотрим некоторые наборы множеств, не являющиеся -алгебрами, и увидим, как их можно дополнить до -алгебр.

1.Множество A = f ; ?; [0; 1]; f0gg = fR; ?; [0; 1]; f0gg не является -алгеброй, так как, например, [0; 1] = Rn[0; 1] = ( 1; 0)[(1; 1) 62A. Минимальный набор множеств, содержащий A и являющийся -алгеброй (минимальная -алгебра), получится, если включить в него всевозможные объединения, пересечения и дополнения множеств

17

èç A:

F = f R; ?; [0; 1]; f0g; ( 1; 0)[(1; 1); (0; 1]; ( 1; 0][(1; 1); ( 1; 0)[(0; 1) g

Более точно, минимальной -алгеброй, содержащей набор множеств A, называется пересечение всех -алгебр, содержащих A.

2.Найти минимальную -алгебру, содержащую A = fR; ?; [0; 1]; f3gg

3.Пусть множество A подмножеств вещественной прямой R состоит из всевозмож-

ных открытых интервалов (a; b), где a < b: A = f(a; b) : 1 < a < b < 1g.

(a) Проверить, что A ни в коем случае не является -алгеброй!

Указание: привести примеры двадцати множеств из A, дополнения к которым не принадлежат A; привести примеры пяти множеств из A, любые объединения которых не принадлежат A.

(b)Минимальная -алгебра, содержащая множество A всех интервалов на вещественной прямой, называется борелевской -алгеброй в R (Felix Edouard Justin Emile Borel) и обозначается B или B(R).

(c)Перечислим некоторые множества на прямой, содержащиеся в B. Таковы все привычные нам множества. Чтобы получить множество, не содержащееся в B, требуются специальные построения. Итак, мы знаем, что все интервалы на прямой принадлежат B, и B — -алгебра.

R принадлежит B. Это сразу следует из свойства (A1) -алгебры, но может быть доказано исходя из свойств (A2), (A3).

							1
Действительно,					R =		n=1( n; n).	Òàê êàê âñå	эти интервалы лежат в A, а
A		B	,	òî âñå	ýòè	интервалы		принадлежат B.	Íî	B — -алгебра, поэто-
							S
ìó îíà				содержит счетное объединение любых					своих	элементов.	Поэтому
R =		1
		=1( n; n) 2 B.
	nS

Любой интервал вида (a; b ]			( или [a; b), или [a; b ] ), где a < b, принадлежит B.
Действительно, (a; b ] =		1	a; b + 1	, и так как все эти интервалы лежат в B, то их
			n
		n=1
счетное пересечение	должно по свойству (A4) принадлежать B.
		T

Любое одноточечное подмножество fbg R принадлежит B.

Действительно, fbg = (a; b ]n(a; b), а разность двух множеств из -алгебры снова принадлежит -алгебре.

Докажите, что, например, любые множества вида (a1; b1)[(a2; b2) принадлежит B, множество натуральных чисел N принадлежит B, множество рациональных чисел Q принадлежит B.

4.Борелевская -алгебра в Rn строится совершенно так же, как в R. Это должна

быть минимальная -алгебра, содержащая все множества вида (a1; b1) : : : (an; bn) (уже не интервалы, как в R, а «прямоугольники» в R2, «параллелепипеды» в R3

èò. ä.).

18

Мера Лебега

Когда мы говорили о геометрической вероятности, мы использовали термин «мера области A в Rm», имея ввиду «длину» на прямой, «площадь» на плоскости, «объем» в трехмерном пространстве. Являются ли все эти «длины-площади-объемы» настоящими мерами в смысле определения 11? Мы решим этот вопрос для прямой, оставляя плоскость и пространство большей размерности читателю.

Если вам уже расхотелось читать дальше, сообщаем: мерой Лебега в задачниках и учебниках называют как раз «длину-площадь-объем», так что все в порядке.

Рассмотрим вещественную прямую с -алгеброй борелевских множеств. Эта - алгебра, по определению, есть наименьшая -алгебра, содержащая любые интервалы. Для каждого интервала (a; b) R число b a назовем «длиной интервала (a; b)». Мы не станем доказывать следующее утверждение:

Лемма 1.

Существует единственная мера (то есть неотрицательная и

-аддитивная функция) на (R; B), значение которой на любом интервале равно его

длине: (a; b) = b a. Эта мера называется мерой Лебега.

Это утверждение является следствием теоремы Каратеодори о продолжении меры с алгебры на -алгебру, применительно к (R; B). См. А.Н.Колмогоров, С.В.Фомин, Функциональный анализ или А.А.Боровков, Теория вероятностей.

Итак, мы ограничили набор событий только множествами из какой-нибудь -алгебры событий. Мы потребовали, чтобы вероятность была функцией только на множестве событий. Покажем, что это необходимо: построим пример множества на отрезке, мера Лебега которого («длина») просто не существует (множество Витали).

То есть: если рассмотреть бросание точки наудачу на отрезок, то вычислить вероятность попадания точки в указанное множество в соответствии с геометрической вероятностью нельзя. Значит, это множество нельзя считать событием — мы не умеем вычислить его вероятность!

Пример 14. Рассмотрим окружность единичного радиуса (реально это тот же отрезок [0; 2 ]). Возьмем любое иррациональное число . Поскольку оно иррационально, число n не является целым ни при каком целом n 6= 0 (то есть число 2 n равно 2 k лишь при n = k).

Поэтому если взять произвольную точку x 2 [0; 2 ], то есть точку на окружности, и перечислить все точки, которые получаются поворотом точки x на угол 2 n , n =1; 2; : : : , то мы ни разу не вернемся в точку x. Точек, получившихся из точки x такими поворотами, счетное число. Объединим их в один класс. С любой другой точкой окружности можно тоже связать класс точек, получающихся из нее поворотом на угол 2 n при каком-то n 2 Z.

То есть вся окружность разбивается на классы точек. В каждом классе счетное число точек, и все точки в одном классе получаются друг из друга такими поворотами. Причем эти классы не пересекаются.

Множество A0 определим так: возьмем из каждого такого класса ровно по одной точке. Пусть множество An получается поворотом всех точек множества A0 íà óãîë

2 n , n = 1; 2; : : : .

Так как все точки одного класса можно получить, поворачивая любую из них на угол 2 n , n = 1; 2; : : : , а в множестве A0 собрано по одной точке из каждого класса, то поворачивая это множество, получим все точки окружности.

19