gumen_kurs / Теория / mono_a4 / MONO_A4

Действительно, зафиксируем произвольное " > 0. Для всех n начиная с некоторого n0 такого, что n70 > ", верно равенство ( ) ниже

P j n 0j > "	>0	P n > "	( )	P n = n7		1
	n=		=		=			! 0 ïðè n ! 1:
						n

Итак, случайные величины n с ростом n могут принимать все большие´ и большие´ значения, но со все меньшей и меньшей вероятностью.

А сходится ли данная последовательность к нулю «почти наверное»? Вопрос не слишком корректный, поскольку заданы не случайные величины, а лишь их распределения, и ответ на него, как правило, зависит от того, как сами величины взаимосвязаны. Если, скажем,n(!) = 0 для ! 2 [0; 1 1=n] и n(!) = n7 для ! 2 (1 1=n; 1], то сходимость «почти наверное» имеет место, так как для всякого ! начиная с некоторого n0 все n(!) равны нулю.

Попробуйте задать случайные величины n на [0; 1] так, чтобы сходимость «почти наверное» не имела место. Для этого нужно заставить отрезок длины 1=n, на которомn(!) = n7, «бегать» по отрезку [0; 1], чтобы любая точка ! 2 [0; 1] попадала внутрь этого отрезка бесконечное число раз. Воспользуйтесь тем, что гармонический ряд расходится. Если вам мешают концы отрезка, их можно склеить в окружность :)

Заметим однако, что если вероятности P( n = n7) сходятся к нулю достаточно быстро (например, равны 1=n2), то сходимость к нулю п. н. всегда имеет место (см., например, теорему 2 §1 гл. 6 на стр. 134 учебника А.А.Боровкова «Теория вероятностей»).

Замечание 23. Сходимость по вероятности не обязательно сопровождается сходи-

										p
мостью математических ожиданий или моментов других порядков: из n ! не следу-
ет, ÷òî E n ! E .										p
Действительно, в примере						47 имеет место сходимость n ! = 0, íî E n = n6 6!
E = 0.
Если вместо значения n7 взять, скажем, n (с той же вероятностью 1=n), получим
E n = 1 6!E = 0.
À åñëè n	принимает значения 0 и p									с теми же вероятностями, что и в примере 47,
								n
òî E n = 1=p			! E = 0, но уже вторые моменты сходиться ко второму моменту не
		n
будут: E n2 = 1 6!E 2 = 0.
Сходимость по вероятности обладает обычными для сходимостей свойствами. На-
пример, такими.
Свойство	16.				p		p
		p		Åñëè n	!	è	n !		, òî
1. n + n	!			+ ;
	p
2. n n !				.

Доказательство при первом прочтении можно пропустить.

1. В доказательстве мы будем пользоваться естественным свойством вероятности: если из события A следует событие B (всегда, когда выполнено A, выполнено и B), то вероятность A не превосходит вероятности B:

åñëè A B; òî P(A) 6 P(B):

Здесь я категорически требую остановиться и ответить на следующие «глупые вопросы»:

–верно ли, что модуль суммы не превосходит суммы модулей?

–верно ли, что если a > b, и c > a, то c > b?

–верно ли, что если a + b > 2, то хоть одно из чисел a; b больше единицы?

–верно ли, что вероятность объединения двух событий не превосходит суммы их вероятностей?

–верно ли, что вероятность пересечения двух событий не превосходит вероятности любого из них?

70

Если на все вопросы вы ответили «да», можно двигаться дальше. Если не на все — ваш контрпример ошибочен. Если вы вообще не поняли, о чем это, лучше вернуться сюда ...

Пусть " > 0. Требуется доказать, что P(j n + n j > ") ! 0 ïðè n ! 1. Íî

a) j n + n j 6 j n j + j n j, поэтому

á) åñëè j n + n j > ", òî è j n j + j n j > ", и вероятность первого события не больше вероятности второго. Далее,

â) åñëè j n j + j n j > ", то хотя бы одно из слагаемых больше, чем "=2.

Получаем следующую цепочку неравенств:				> "=2)
6	P(j n	j	> j"=2) + P( n				0
P(j n + n j > ") 6	P( n		+ n j > ") 6 P		j n j > "=2 èëè j n j > "=2			6
	j	j	j	j		!
p		p
ïðè n ! 1, òàê êàê n ! è n ! .

2. Нам понадобится «хорошее свойство»: для любой случайной величины , просто по свойствам функций распределения, P(j j > M) ! 0 при M ! 1.

Представим j n n j êàê j( n )( n )+ ( n )+ ( n )j. Затем, как в 1, получим

P(j n n j > ") 6 P(j n j j n j > "=3) + P(j j j n j > "=3) + P(j j j n j > "=3):

Подумайте, что делать с первым слагаемым в правой части, а мы пока рассмотрим второе слагаемое (третье такое же). Обозначим за An = fj j j n j > "=3g событие под знаком вероятности. Зафиксируем некоторое M > 0 и разобьем событие An по полной группе событий fj j > Mg и fj j 6 Mg.

P(An) = P(j j j n j > "=3) = P An \ fj j > Mg + P An \ fj j 6 Mg

6 :::

Первую вероятность оцениваем в соответствии с последним «глупым вопросом», вторую — пользуясь тем, что из j j j n j > "=3 и j j 6 M следует, что M j n j > "=3.

::: 6 P( > M) + P M n j > "=3 = P(j j > M) + P j n j > "=3M :
Осталось для любогоj j	фиксированногоj	M > 0 устремить n к бесконечности,	получив	äëÿ

верхнего предела оценку lim P(An) 6 P(j j > M), после чего мы можем устремить к

n!1

бесконечности M, пользуясь «хорошим свойством».

Упражнение 25. Восполнить все пропущенные подробности в доказательстве.

Сходимость по вероятности, так же как и любая другая сходимость, не портится под действием непрерывной функции.

Свойство 17.

Åñëè n	!	!
	p	è g — непрерывная функция, то g( n) p	g( ).
	p	p

Åñëè n ! c è g непрерывна в точке c, òî g( n) ! g(c).

Доказательство. Простое доказательство первого утверждения можно предложить в двух случаях (которыми мы и ограничимся, предоставив все остальное читателю, знакомому, например, с теоремой Егорова): если = c = const (и тогда достаточно, чтобы

71

g была непрерывна в точке c) или если функция g равномерно непрерывна (а что это

значит?).

Èв том, и в другом случае для любого " > 0 найдется такое > 0, что для любого !, удовлетворяющего условию j n(!) (!)j < , выполняется неравенство jg( n(!))

g( (!))j < ".				jg( n(!)) g( (!))j < " . Следовательно,
То есть событие		j n j <	влечет событие
вероятность	первого не больше, чем вероятность второго. Но, какое бы ни было >

0, вероятность первого события стремится к единице по определению сходимости по

вероятности:

1P j n j < 6 P jg( n(!)) g( (!))j < " 6 1:

Следовательно, и вероятность второго события также стремится к единице. Предлагаю поразмышлять на тему: в каком месте доказательства используется, что

либо g равномерно непрерывна, либо — постоянная. И над тем, как доказывать первую часть свойства 17 в общем случае.

Чтобы доказывать сходимость по вероятности, можно просто уметь вычислять P (j n j > ") при больших n. Но для этого нужно знать распределение n, что не всегда возможно. Скажем, n может быть суммой (или еще хуже :-) нескольких других с. в., распределения которых не устойчивы по суммированию, и вычислить распределение их суммы по формуле свертки или как-то еще бывает слишком сложно.

Если бы мы имели неравенства, позволяющие оценить P (j n j > ") сверху чемлибо, что мы умеем устремлять к нулю и что проще вычисляется, то сходимость по вероятности мы получили бы по лемме о двух милиционерах: 0 6 P(:::) 6 ::: ! 0. Итак, неравенства П. Л. Чебыш¸ва.

13.2Неравенства Чебыш¸ва

Все неравенства в этом параграфе принято относить к одному классу, называемому «неравенствами Чебыш¸ва». Следующее неравенство часто называют собственно неравенством Чебыш¸ва, хотя в такой форме оно появилось впервые, видимо, в работах

À.А. Маркова (например, Исчисление вероятностей, 1913 ã.).

Теорема 28 (Неравенство Маркова).

Åñëè E j j < 1, то для любого положительного x

E j j

P j j > x 6 x :

Доказательство. Введем новую случайную величину x, называемую «срезкой» с. в. j j на уровне x:

x =	(x;j j		åñëè j j		> x:	Äëÿ íå¸	2)	E x 6j		Ej	:
		;	åñëè		6 x;		1)	x 6	;		и, следовательно,
			j	j						j	j

Нам потребуется следующее понятие.

Определение 50. Пусть A — некоторое событие. Назовем индикатором события A случайную величину I(A), равную единице, если событие A произошло, и нулю, если A не произошло.

По определению, I(A) имеет распределение Бернулли Bp с параметром p = P(I(A) = 1) = P(A), и ее математическое ожидание равно вероятности успеха p = P(A).

72

Случайную величину x можно представить в виде x = j j I(j j 6 x) + x I(j j > x)

(проверьте!). Тогда

E x = E	j j I j j 6 x		+ E	x I j j > x		> E	x I j j > x

|{z }

неотрицательно, отбросим

Вспомним, что E j j > E x, и оценим E x снизу согласно (21):

E j j > E x > x P j j > x :

Итак, x P j j > x 6 E j j, что и требовалось доказать.

= x P j j > x : (21)

Следующее неравенство мы будем называть «обобщенным неравенством Че- быш¸ва».

Следствие 15. Пусть функция g монотонно возрастает и неотрицательна на [0; 1).

Åñëè E g(j j) < 1, то для любого положительного x
	P j j > x			E g(		)
			6		j j		:
					g(x)
Доказательство. Заметим, что P j j > x			= P g(j j) > g(x) , поскольку функция g мо-
нотонно возрастает, и оценим	последнюю вероятность согласно неравенству Маркова:
P g(j j) > g(x) 6					E g(		)
					j j			:
					g(x)

В 1853 г. И. Бьенеме (I. Bienayme)´ и в 1866 г., независимо от него, П. Л. Чебыш¸в прямыми методами доказали неравенство, которое нам будет удобно получить в качестве следствия из неравенства Маркова.

Следствие 16 (Неравенство Чебыш¸ва-Бьенеме).			Åñëè E 2 < 1, òî
P j E j > x	D
	6		:
		x2

Доказательство. Воспользуемся следствием 15 с функцией g(x) = x2.

P	j	E	j > x 6	E E		2		D	:
				x2			= x2

В качестве следствия получим так называемое «правило трех сигм», которое формулируют, например, так: вероятность случайной величине отличаться от своего математического ожидания более, чем на три корня из дисперсии, ìàëà. Разумеется, для каждого распределения величина этой вероятности своя: для нормального распределения, например, эта вероятность равна 0,0027 — см. свойство 11. Мы получим верную для всех распределений с конечной дисперсией оценку сверху для «вероятности с. в. отличаться от своего математического ожидания более, чем на три корня из дисперсии».

Следствие 17. Åñëè E 2 < 1, òî P j E j > 3pD 6 19.

p

Доказательство. Согласно следствию 16, P j E j > 3 D

p

Упражнение 26. Найти P j E j > 3 D , если с. в. имеет а) равномерное распределение на каком-нибудь отрезке;

6	D			=	1	.
	3p		2		9
		D

73

б) показательное распределение с каким-нибудь параметром; в) распределение Бернулли с параметром 1/2.

13.3Законы больших чисел

Определение 51. Говорят, что последовательность с. в. f ig1i=1 с конечными пер-

выми моментами удовлетворяет закону больших чисел (ÇÁ×), åñëè
	1 + + n		E 1 + + E n	p	0 ïðè n		:	(22)
				!		! 1
	n		n

Законами больших чисел принято называть утверждения об условиях, при которых последовательность с. в. «удовлетворяет закону больших чисел».

Выясним сначала, что означает и когда выполнен ЗБЧ для последовательности

независимых и одинаково распределенных с. в.

Заметим, что если с. в. одинаково распределены, то математические ожидания у них одинаковы (и равны, например, E 1), поэтому свойство (22) можно записать в виде

	1 + + n	p	E	.
		!
	n		1

Итак, законы больших чисел.

Теорема 29 (ЗБЧ в форме Чебыш¸ва).

Для любой последовательности независимых и одинаково распределенных слу- чайных величин с конечным вторым моментом E 12 < 1 имеет место сходимость:

	1 + + n	p	E :
		!
	n		1

ЗБЧ утверждает, что среднее арифметическое большого числа случайных слагаемых «стабилизируется» с ростом этого числа. Как бы сильно каждая с. в. не отклонялась от своего среднего значения, при суммировании эти отклонения «взаимно гасятся», так что среднее арифметическое приближается к постоянной величине.

В дальнейшем мы увидим, что требование конечности второго момента (или дисперсии) связано исключительно со способом доказательства, и что утверждение остается верным если требовать существования только первого момента.

Доказательство. Обозначим через Sn = 1 + + n сумму первых n с. в., а через

Sn

=

1 + + n

— их среднее арифметическое. Тогда

n

n

S

E

E

E

E

n

=

1 + +

n

=

n

1

=

E 1:

n

n

n

Пусть " > 0. Воспользуемся неравенством Чебыш¸ва (следствие 16):

S

> "

D

n

P

Sn

Sn

6

n

n

E n

"2

=

		D Sn	независ.	D 1 + + D n
	=		=
		n2"2		n2"2

при n ! 1, поскольку D 1, по условию, конечна.

	од.распред.	n D 1			D 1
	=			=			! 0	(23)
			n2"2			n"2

74

Замечание 24. Мы не только доказали сходимость, но и получили оценку для вероятности среднему арифметическому любого числа независимых и одинаково распределенных величин отличаться от E 1 более чем на заданное число:

P

1

+

n

+

n

E 1

> "

6 n"2

:

(24)

D 1

Предлагаю, кроме того, читателям

извлечь из

неравенства (23) в доказательстве ЗБЧ

Чебыш¸ва доказательство следующего утверждения.

Следствие 18.

Последовательность с. в. f igi1=1 с конечными вторыми моментами

удовлетворяет ЗБЧ, то есть

n

n

n

! 0

ïðè n ! 1

nn E

nn =

1

+

+

E

1

+

n

S

S

+ E

p

при выполнении любого из следующих условий:

D Sn

à) åñëè D Sn = o(n2), òî åñòü

! 0 ïðè n ! 1;

n2

á) åñëè 1; 2; : : : независимы и D Sn = D 1 + + D n = o(n2), òî åñòü

D 1 + + D n

!

0

ïðè

n

! 1

;

n2

â) åñëè 1; 2; : : :

независимы, одинаково распределены и имеют конечную дис-

персию (ЗБЧ Чебыш¸ва).

Скоро мы докажем (иными методами, чем А. Я. Хинчин) следующее утверждение.

Теорема 30 (ЗБЧ в форме Хинчина).

Для любой последовательности независимых и одинаково распределенных слу- чайных величин с конечным первым моментом E j 1j < 1 имеет место сходимость:

	1 + + n	p	E :
		!
	n		1

Более того, в условиях теоремы 30 имеет место «почти наверное» сходимость ( 1 + + n)=n ê E 1. Но этого мы уже доказывать не будем.

Получим в качестве следствия из ЗБЧ Чебыш¸ва закон больших чисел Я. Бернулли (1713). В отличие от доказанного через полтора столетия ЗБЧ Чебыш¸ва, описывающего предельное поведение среднего арифметического с. в. с произвольными распределениями, ЗБЧ Бернулли — утверждение только для схемы Бернулли.

Теорема 31 (ЗБЧ Бернулли).

Пусть A — событие, которое может произойти в любом из n независимых испытаний с одной и той же вероятностью P(A). Пусть n(A) — число осу-

	n(A) p
ществлений события A â n испытаниях. Тогда		! P(A). Ïðè ýòîì äëÿ
	n

любого " > 0

		n					6	n"2
P		n(A)		P(A)		> "		P(A)(1 P(A)):

75

n(A) = 1 + + n; i = Ii(A) =

Доказательство. Заметим, что n(A) есть сумма независимых, одинаково распределенных с. в., имеющих распределение Бернулли с параметром, равным вероятности успеха P(A) (индикаторов того, что в соответствующем испытании произошло A):

(

1; если A произошло в i м испытании;

0; если A не произошло в i м испытании;

E 1 = P(A); D 1 = P(A)(1 P(A)).

Осталось воспользоваться ЗБЧ в форме Чебыш¸ва и неравенством (24) из замечания

24.

Рассмотрим примеры использования ЗБЧ в форме Чебыш¸ва, вернее, неравенства (24).

13.4Примеры использования ЗБЧ и неравенства Чебыш¸ва

Пример 48.

З а д а ч а. Монета подбрасывается 10 000 раз. Оценить вероятность того, что частота выпадения герба отличается от вероятности более чем на одну сотую.

		n 1							n
									P
Р е ш е н и е.	Требуется оценить P	2						> 0;01	, ãäå n = 104, n = i=1 i —
							имеющие распределение Бернулли с
число выпадений герба, а i — независимыеnñ. â.,
параметром 1/2, равные «числу гербов, выпавших							при i-м подбрасывании» (то есть еди-

нице, если выпал герб и нулю иначе, или индикатору того, что выпал герб). Поскольку

D 1 = 1=2 1=2 = 1=4, искомая оценка сверху выглядит так:

10 4

= 4:

P

nn

2

> 0;01

6 n 0;012

= 4 104

S

1

D 1

1

1

Иначе говоря, неравенство

Чебыш¸ва

позволяет заключить, что, в среднем, не более

чем в четверти случаев при 10 000 подбрасываниях монеты частота выпадения герба будет отличаться от 1/2 более чем на одну сотую. Мы увидим, насколько это грубая оценка, когда познакомимся с центральной предельной теоремой.

Пример 49.

З а д а ч а. Пусть 1; 2; : : : — последовательность случайных величин, дисперсии которых ограничены одной и той же постоянной C, а ковариации любых с. в. i èj (i 6= j), не являющихся соседними в последовательности, равны нулю. Удовлетворяет ли эта последовательность ЗБЧ?

Р е ш е н и е. Воспользуемся неравенством (23) и свойством 14:

P n E

n > "

D

Sn

n

6

= n2"2 ;

D ( 1 + : : : + n) =

D i

+ 2 i<j cov( i; j):

"2

i=1

Sn

Sn

n

D Sn

X

X

Íî

äëÿ

i <

j, ïî

условию,

i

j

)

= 0, åñëè i

6

j

1.

Следова-

cov( ;

=

cov( 1; 2); cov( 2

; 3);P: :i<j: ; cov( ni 1;j n) (их ровно n 1 штука).

кроме,

может быть,

тельно, в

сумме

cov( ; )

равны нулю

все слагаемые

Оценим каждое из них, используя одно из свойств коэффициента корреляции (ка-

кое?)

cov( i; j) 6 p

p

6 p

p

= C;

D i

D j

C

C

76

так как для любого 1 6 i 6 n, по условию, D i 6 C. Èòàê,

n

XX

D i + 2 cov( i; j)

P

nn

E

n

> " 6 n2

"2

=

n2"2

=

S

Sn

D Sn

i=1

i<j

nn 1

XX

	D i	+ 2	cov( i; i+1)		nC + 2(n 1)C
= i=1		i=1		6		!	0
		n2"2			n2"2

при n ! 1, то есть последовательность 1; 2; : : : удовлетворяет ЗБЧ.

Упражнение 27.

Привести пример последовательности с. в. 1; 2; : : : такой, что ковариации «несоседних» величин равны нулю.

Привести пример последовательности с. в. 1; 2; : : : такой, что ковариации «несоседних» величин равны нулю, а ковариации соседних — не равны. Можно попробовать построить такую последовательность с помощью другой последовательности, составленной из независимых с. в.

77

... Из этой первой лекции по теории вероятностей я запомнил только полузнакомый термин «математическое ожидание». Незнакомец употреблял этот термин неоднократно, и каждый раз я представлял себе большое помещение, вроде зала ожидания, с кафельным полом, где сидят люди с портфелями и бюварами и, подбрасывая время от времени к потолку монетки и бутерброды, сосредоточенно чего-то ожидают. До сих пор я часто вижу это во сне. Но тут незнакомец оглушил меня звонким термином «предельная теорема Муавра — Лапласа» и сказал, что все это к делу не относится.

Аркадий и Борис Стругацкие, Стажеры

Раздел 14. ЦПТ (центральная предельная теорема)

14.1 Как быстро	Sn		сходится к E 1?
		n

Пусть, как в законе больших чисел в форме Чебыш¸ва, Sn = 1 + : : : + n — сумма n независимых и одинаково распределенных величин с конечной дисперсией. Тогда, в

Sn		p
ñèëó ÇÁ×,		! E 1	с ростом n. Или, после приведения к общему знаменателю,
	n
				Sn n E 1	p	0:
					!
				n

Если при делении на n мы получили в пределе нуль (в смысле некоторой, все равно какой, сходимости), резонно задать себе вопрос: а не слишком ли на «много» мы поделили? Нельзя ли поделить на что-нибудь, растущее к бесконечности медленнее, чем n, чтобы получить в пределе не нуль (и не бесконечность, само собой)?

Можно поставить этот вопрос по-другому. Вот последовательность, стремящаяся (как-то) к нулю. Можно ли ее домножить на что-либо растущее, чтобы «погасить» это стремление к нулю? Получив, тем самым, что-нибудь конечное и отличное от нуля в

пределе?
	pn						n
Оказывается, что уже	Sn n E 1			, или, что то же самое, pn			Sn n E 1	, не сходится к

нулю. Распределение этой, зависящей от n, случайной величины становится все более похоже на нормальное распределение! Можно считать, что такая последовательность сходится к случайной величине, имеющей нормальное распределение, но сходится не по вероятности, а только в смысле сходимости распределений, или «слабой сходимости».

14.2Слабая сходимость

Пусть задана последовательность с. в. f ng, задано некоторое распределение F с функцией распределения F и — произвольная с. в., имеющая распределение F.

Определение 52. Говорят, что последовательность с. в. f ng ïðè n ! 1 сходится слабо èëè по распределению к с. в. , или говорят, что последовательность с. в.

слабо сходится к распределению F, или говорят, что распределения с. в. f ng слабо сходятся к распределению F, и пишут: n ) , èëè F n ) F , èëè n ) F, если для любого x такого, что функция распределения F непрерывна в точке x, имеет место сходимость F n (x) ! F (x) ïðè n ! 1.

Иначе говоря, слабая сходимость — это поточечная сходимость функций распределения во всех точках непрерывности предельной функции распределения.

78

Необходимо заметить, что запись « n ) » удобна, но не всегда разумна: если «предельную» с. в. заменить на другую с. в. с тем же распределением, ничего не изменится: в том же смысле n ) . Поэтому слабая сходимость все же не есть сходимость случайных величин, и ей нельзя оперировать как сходимостями п.н. и по вероятности, для которых предельная с.в. единственна (хотя бы с точностью до значений на множестве нулевой вероятности).

Следующее свойство очевидно. Если нет - вам нужно вернуться к разделу 7 и вспомнить, что такое функция распределения.

Свойство 18. Åñëè n ) , и функция распределения F непрерывна в точках a è b, òî P( n 2 [a; b]) ! P( 2 [a; b]) и т.д. (продолжить ряд). Наоборот, если во всех точках a è b непрерывности функции распределения F имеет место, например, сходимость

P( n 2 [a; b]) ! P( 2 [a; b]), òî n ) .

Следующее важное свойство уточняет отношения между сходимостями.

Свойство 19.

p	p
1. Åñëè n ! , òî n ) .	2. Åñëè n ) c = const, òî n ! c.

Доказательство. Первое свойство мы доказывать не будем.

Докажем, что слабая сходимость к постояннной влечет сходимость по вероятности. Пусть

(

0; x 6 c;

F n (x) ! Fc(x) =

1; x > c

при любом x, являющемся точкой непрерывности предельной функции Fc(x), òî åñòü ïðè âñåõ x 6= c.

Возьмем произвольное " > 0 и докажем, что P(j n cj 6 ") ! 1. Раскроем модуль:

P( " 6 n c 6 ") = P(c " 6 n 6 c + ") >

(сужаем событие под знаком вероятности)

> P(c " 6 n < c + ") = F n (c + ") F n (c ") ! Fc(c + ") Fc(c ") = 1 0 = 1;

поскольку в точках c " функция Fc непрерывна, и, следовательно, имеет место сходимость последовательности F n (c ") ê Fc(c ").

Осталось заметить, что P(j n cj 6 ") не бывает больше 1, так что по лемме о двух милиционерах P(j n cj 6 ") ! 1.

Следующее свойство приводит пример операций, которые можно применять к слабо сходящимся последовательностям — скажем, домножать их на последовательности, сходящиеся по вероятности к постоянным величинам.

Желание написать «если n ) и n ) , то n + n ) + » сразу проходит, стоит перевести это «свойство» на язык функций распределения и задуматься — что такое «функция распределения суммы + », когда вместо них можно брать любые другие

~и с теми же распределениями, как угодно зависимые. Иное дело — когда одно из

~

предельных распределений вырождено. В этом случае функция распределения суммы или произведения определена однозначно.

Свойство 20.

p

1. Åñëè n ! c = const è n ) , òî n n ) c .

p

2. Åñëè n ! c = const è n ) , òî n + n ) c + .

Доказательство. Заметим прежде всего, что если n ) , òî c n ) c , c + n ) c + (доказать!). Поэтому (и в силу соответствующих свойств сходимости по вероятности)

79