II. К р а т к а я т е о р и я.

В последнее время все большее распространение получают системы передачи дискретных сигналов, называемые иначе цифровыми системами связи. Это вызвано, с одной стороны, развитием цифровой вычислительной техники, передачей информации с объектов на вычислительные машины и обратно, необходимостью связи между машинами и с другой стороны, все возрастающими требованиями к надежности и эффективности передачи информации. Передача информации будет обесценена и даже вредна в том случае, если она ошибочна.

Безошибочность передачи таких сигналов обуславливается их дискретным характером. В то же время на практике часто приходится иметь дело с сигналами имеющими непрерывный характер, которые представимы непрерывными функциями времени. Обработка результатов измерений величин, представленных непрерывными сигналами, может проводиться на ЭВМ. Для этого оказывается необходимо преобразование непрерывных функций времени в дискретные величины. Подобное преобразование называется д и с к р е т и з а ц и е й и может быть выполнено в двух координатах - по времени и по уровню.

Дискретизовать функцию по времени - это значит исключить из рассмотрения множество значений этой функции в течение некоторых заданных интервалов времени.

В информатике принято представлять сигналы функциями 4-х разных видов, представленных ниже.

f(t)

t

1. Непрерывная функция непрерывного аргумента;

f(t^* )

t ^*

2. Непрерывная функция дискретного аргумента;

f ^*(t)

t

3. Дискретная функция непрерывного аргумента;

f^*(t^*)

t^*

4. Дискретная функция дискретного аргумента.

В соответствии с данными представлениями различают сигналы следующих видов:

• непрерывные сигналы (функция 1);

• дискретно-непрерывные сигналы (функции 2и3);

• дискретные сигналы (функция 4).

Заметим, что дискретные сигналы (вида 4)- не является числами; это импульсы с конечным числом амплитуд.

При дискретизации по времени непрерывная по аргументу функция преобразуется в решетчатую(гребенчатую) функциюдискретного аргумента(t^*).

Если в сигнале по амплитуде различимо конечное число значений, то он называется сигналом квантованным по уровню. Каждое из этих значений соответствует тому или иномууровню квантования.

Величина представляющая разность между двумя соседними уровнями называется шагом квантования. Сигнал вида4имеет конечное число значений, т.е. его можно представить последовательностью чисел, массивом, так как:

• множество отсчетных во времени значений конечно;

• множество различимых значений по амплитуде конечно.

Это множество различимых значений по амплитуде возможно разместить в конечном массиве ячеек памяти, имеющих ограниченное число разрядов.

Интервал времени между соседними отсчетами сигнала называется шагом дискретизации.

Для обработки непрерывного сигнала на цифровой машине необходимо предварительно преобразовать его в последовательность чисел с помощью аналого-цифрового преобразователя(АЦП).

Другое название АЦП - преобразователь аналог-код

В таком преобразователе осуществляются следующие действия:

1. квантование сигнала по уровню (по амплитуде);

2. дискретизация сигнала по времени;

3. преобразование дискретного сигнала в двоичное число;

В общем случае целью и сутью любой дискретизацииявляется представление исходного непрерывного сигнала, множеством сигналов дискретизованных по тому или иному параметру.

Формально при этом реализуется соответствиетипаоднозначного отображенияконтинуального множества либо в счетное, либо в конечное множества.

Переход от функции непрерывного аргумента к функции дискретного аргумента может быть выполнен путем взятия отсчетов функции в определенные (дискретные) моменты времени. В результате дискретизации исходная непрерывная по аргументу функция заменяется совокупностью ее мгновенных значений. По значениям решетчатой функции можно восстановить исходную функцию с некоторой погрешностью.

Непрерывный сигнал необязательно представлен функцией временного аргумента, но так как часто им является, то обычно имеют ввиду временную дискретизацию, которая различается на равномерную и неравномерную.

Если дискретизация равномерная, то длительность шагов одинакова. При неравномерной дискретизации шаг изменяется на интервале определения функции.

Неравномерная или адаптивная - это такая дискретизация, при которой шаг дискретизации приспосабливается к характеру функции на очередном участке ее определения.

При большом числе отсчетов, т.е. малых шагах дискретизации, количество отсчетов функции на участке определения будет большим и точность воспроизведения - высокой. При малом числе отсчетов снижается точность восстановления. Проблема здесь состоит в выборе такого минимального числа отсчетов, которое будет обеспечивать заданную точность отображения исходного сигнала на интервале его определения T. Частота отсчетов функции очевидно связана с шагом дискретизации.

Дискретизация, обеспечивающая заданную точность отображения сигнала минимальным числом отсчетов на данном интервале определения сигнала, называется оптимальной. Если требуется выполнить дискретизацию равномерную и оптимальную, то задача состоит в выборе максимально возможного шага дискретизации, при котором обеспечивается заданная точность отображения исходного сигнала последовательностью отсчетов (узких импульсов), то есть в виде.

t=T/, где Тдлительность сигнала;

minчисло отсчетов.

Устройства обеспечивающие адаптивную дискретизацию должны правильно определять величину следующего шага. Для этого требуется прогноз развития сигнала на ближайшее время, что обычно осуществляется путем определения производных сигнала в текущий момент времени. Чем большего порядка производную мы сможем вычислить, тем точнее будет прогноз.

Обычно на практике осуществляется равномерная дискретизация, при которой длительность шагов одинакова. Проблему выбора шага решил советский ученый В. А. Котельников, который доказал что непрерывный сигнал, удовлетворяющий определенным условиям, может быть абсолютно точноотображен бесконечной последовательностью импульсов взятых с определенным шагом. Фактически он формально доказал, что непрерывный сигнал можно представить дискретным. Однако много раньше, в 1807г., французский математик Ж. Фурье доказал, что непрерывная функция, удовлетворяющая определенным условиям, может быть представлена множеством специфических дискретных компонент - элементарных функций - гармоник. Каждая гармоника является непрерывной функцией непрерывного аргумента. Однако любая выделенная гармоника является отдельной сущностью, отличающейся от другой. В этом смысле гармоники являются дискретными компонентами сигнала.

Все множество гармоник, представляющих данный сигнал, называют спектром сигнала.

Для полного определения n-ой гармоники необходимо знать:

• амплитуду (А_n);

• фазу или фазовое смещение (n);

• частоту или период (_n - круговая частота, измеряемая в радианах в секунду;_n = 2f_nгдеf_n- частота, измеряемая в герцах;

1/f_n = Т_n - период (n-ой) гармоники спектра);

• закон формирования гармоники (sinилиcos.).

При этом гармоники принято обозначать и описывать в следующем виде:

(_nt + _n) ; cos (_nt+_n ).

При А_n=1 -нормированная гармоника.

При А_n1 -деформированная или взвешенная гармоника.

A_n

t

_n T_n

Т.о. бесконечное множество значений любой гармоники можно компактно отобразить всего тремя информативными параметрами и алгоритмом формирования гармонического сигнала, который принято обозначать символами sinилиcos. Ж. Фурье доказал, что сложный непрерывный сигнал представим множеством дискретных элементарных компонент - гармоник, если сигнал является периодическим и удовлетворяет условиям Дирихле, а именно:

1. является однозначным (одному значению аргумента соответствует одно значение функции);

2. ограничен по амплитуде;

3. кусочно-непрерывный (нет разрыва даже в одной точке);

4. имеет конечное число экстремумов на интервале определения.

Если не учитывать ограничение на периодичность сигнала, то такая модель сигналапохожа на реальность. При этих условиях исходный непрерывный сигнал может быть представлен следующим рядом:

-ряд Фурье,

где постоянная составляющая;

== 2f;n- номер гармоники в спектре сигнала;

- круговая частота основной или первой гармоники спектра [^рад/_с];

n_o = _n - круговая частотаn-ой гармоники спектра[рад/с];

T- период основной или первой гармоники спектра[c];

f- временная частота основной или первой гармоники спектра [¹/_c];

- фаза или фазовое смещениеn-ой гармоники спектра (указывает на смещение гармоники относительно начала координат)[рад.].

Этот ряд принято называть рядом Фурьеилиобратным преобразованием Фурье.

Математическое высказывание, представленное данным рядом, следует читать и интерпретировать следующим образом. Если известны частоты или периоды, фазовые смещения и амплитуды всех гармоник спектра сигнала и его постоянная составляющая, то можно вычислить значение исходного сигнала для любого момента времени t, просуммировав постоянную составляющую и все множество значений гармоник, вычисленных для данного момента времени.

Результат суммирования постоянной составляющей и двух первых гармоник представлен ниже.

f(t) A₁ sin(_ot + ₁)

A₂ sin(2_ot + ₂)

Здесь₁ =₂ = 0

При характеристике спектра сигнала различают спектр амплитуд гармоник () -амплитудно-частотную характеристику сигнала (АЧХ) и спектр фаз (_n) -фазо-частотную характеристикусигнала (ФЧХ). Эти характеристики показывают распределение амплитуд и фаз по гармоникам спектра в зависимости от их частоты. На основе открытых Фурье спектральных преобразований Котельников доказал, что сложный непрерывный сигнал можно представить в виде следующего ряда:

-ряд Котельникова,

где -нормированная функция отсчетов(максимальная амплитуда равна 1; момент существованияk-ого отсчета сигналаt^* =).

- шаг дискретизации;

- круговая частотавысшей гармоникиспектра сигнала (самой высокочастотной);

k- номер очередного отсчета сигнала (номер узкого импульса);

t- текущее время.

Данное преобразование, называемое рядом Котельникова, позволяет абсолютно точно отображать сложный непрерывный сигнал последовательностью бесконечно узких импульсов, следующих с равным интервалом (шагом дискретизации), величина которого определяется в виде ,

где f_mиT_min- соответственно частота и период высшей гармоники спектра сигнала.

Сигнал, представленный рядом Котельникова должен удовлетворять следующим условиям:

1. условиям Дирихле;

2. спектр ограничен сверхучастотой высшей гармоники.Частотный диапазон спектра сигнала должен размещаться в пределах (0 ;); гармоник с частотами больше чем не должно быть в спектре данного сигнала.

Нормированные функции отсчетов для разных отсчетных моментов не отличаются по форме кроме смещения по оси времени (и т. д.) (см. рис.). Каждая функция отсчетов равняется нулю для всех отсчетных моментов времени кроме данного.

f(k_T)

(k-1)_T k_T (k+1)_T (k+2)_T

Для полного определения любой k -деформированной функции отсчетов необходимо знать:

• значение сигнала в момент k- ого отсчетаf(k_T);

• момент данного отсчета k_T (расположение k- ой функции отсчетов на оси времени);

• частоту или интервал следования отсчетов _T;

• закон формирования функции отсчетов

- деформированная или взвешенная функция отсчетов; (f(k_T) - максимальная амплитуда взвешенной функции отсчетов или амплитуда узкого импульса в момент (k_T) k - ого отсчета сигнала.

Таким образом в ряду Котельникова под знаком расположено множество деформированных функций отсчета. С учетом введенных понятий, математическое высказывание ряда Котельникова представляет исходную непрерывную функцию в любой момент времениt - как суперпозицию (сумму) множества деформированных или взвешенных функций отсчетов.

Если мы имеем последовательность узких импульсов (решетчатую функцию), полученных путем дискретизации непрерывного сигнала с оптимальным (максимальным) шагом _T, то по этим импульсам можно абсолютно точно восстановить данный сигнал. Процесс восстановления исходной функции имитируется идеальным фильтром нижних частот (ИФНЧ), который отсекает из спектра импульсов все гармоники с частотами выше, чем .

Свойства идеального фильтра нижних частот:

1. АЧХ - является прямоугольной, поэтому идеальный фильтр без искажений пропускает на выход гармоники всех нижних частот спектра сигнала и полностью подавляет (срезает) все гармоники с частотами выше, чем ;

А()

k

-частота срезаИФНЧ;

2. Если на вход идеального фильтра подают импульс, то ИФНЧ отсекаетиз спектра данного импульса все высокочастотные гармоники ( >) иразмазываетданный импульс во времени до формы, соответствующей его нормированной функции отсчетов. Кроме того, реакции фильтра на последовательность импульсов - деформированные функции отсчетов - суммируются между собой, образуя (восстанасливая) на его выходе непрерывный сигнал сложной формы.

Входные импульсы Выходные реакции

вход выход

1-я функция отсчета; 2-я функция отсчета; сумма 1 -ой и 2 -ой функций.

3 - я функция отсчета.

Реальные сигналы имеют конечную длительность и бесконечный спектр, поэтому не могут быть абсолютно точно восстановлены в промежутках между отсчетными значениями. Оптимальной считается такая дискретизация, которая обеспечивает представление исходной функции с заданной точностью, минимальным количеством отсчетов. В этом случае все отсчеты существенны для восстановления исходной функции.