7.4. Стационарный режим. Квазилинейный метод.

Работа генератора в установившемся режиме, когда амплитуда и частота автоколебаний неизменны, успешно описывается так называемым квазилиней- ным (как бы линейным) методом. Его основой является предположение, что система совершает гармонические или близкие к ним колебания с некоторой частотой ω . Квазилинейный метод применим к нелинейным системам, содержащим узкополосное частотно-избирательное устройство (фильтр), благодаря фильтрующим свойствам которого система и совершает практически гармонические автоколебания.

Рис 7.8. Временные и частотные зависимости для схем на рис 7.6.

В LC-генераторах роль фильтра выполняет колебательный контур, эквивалентное сопротивление которого быстро уменьшается при удалении от резо-

нансной частоты ωο (рис 7. 8г).

Ток коллектора i(t), питающий контур, имеет форму косинусоидальных

импульсов с отсечкой (рис 7.8б) и представляется набором гармоник с ком-

∙

плексными амплитудами Im (рис 7. 8в):

∞ ∙
i(t) = å Im e jmωt	(7.16)
m=0

103

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Напряжение V (t) на колебательном контуре, настроенном на частоту ωo ,

близкую к ω , будет определяться в основном только первой гармоникой тока, поэтому

V (t) = Z( jω) ×i(t) @ Z( jω				o	) × I	1	e jω t = V e jω t			,	(7.17)
							1
а, следовательно, и
U (t) = β V (t) β V1 e jω t = U1 e jω t .											(7.18)
Другими словами, результат получается таким, как если бы для тока вме-
сто выражения (7.16) использовалось
			.
	i(t) @ I e jω t .										(7.19)
			1
Тогда крутизну характеристики S(u) удается выразить через комплексные
амплитуды тока и напряжения
	di		d(I1 e jω t )					I
S(u) =		=	.				=	.1	,		(7.20)
	du
			d(U1 e jω t )				U1

что позволяет ввести в рассмотрение так называемую среднюю крутизну Scp , определяемую как

.	.I1	= Sср (U1 ) e jφs (ω ) .
Sср (U1) =			(7.21)
	U1

Фазовый сдвиг φ s(ω) , обусловлен различными факторами, например, частот-

ными свойствами транзистора, проявляющимися на достаточно высоких частотах, режимом питания и т.п. В обычной практике можно полагать

φ s(ω) = 0. Существенно, что в отличие от S(u) средняя крутизна зависит не

от мгновенных значений тока и напряжения, а только от их комплексных ам- плитуд, что и является фактором, сводящим нелинейную задачу к линейной.

Используя среднюю крутизну, по аналогии с (7.12) можно ввести средний комплексный коэффициент передачи усилительного звена

Kср (U1 ) = Sср (U1) Z( jω) = Kср (U1) e jφk (ω ) ,	(7.22)
где
φk (ω) = φs (ω) + φz (ω)	(7.23)

Достаточно общие результаты в квазилинейном методе можно получить, если считать, что и коэффициент передачи звена обратной связи также является комплексным:

104

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

β (U1,ω ) = β (U1) e jφβ (ω ) .

(7.24)

Тогда для обобщенной схемы генератора (рис 7.7б) условие стационарности режима колебаний записывается в виде

.	.
Kср (U1,ω )· β(U1,ω ) = 1,			(7.25)
откуда следуют два условия - для амплитуд и для фаз (с учетом (7.23) ):
ìKср (U1) β (U1) = 1,		(a)	(7.26)
í
îφs (ω) + φz (ω) + φβ	(ω) = 2π n , n = 0, 1, 2,...	(б)

С их помощью можно найти амплитуду и частоту автоколебаний.

Частота ω определяется из фазового условия (7.26 б), согласно которому

−tgφz (ω) = tg(φs (ω) + φβ (ω)) .

Сучетом (7.4 б) и того, что при

ξ =	ω	-	ωo	»	2(ω − ωo )	,
			ω
	ωo				ωo

получаем

	é		1
	ω » ωo ê1	+
			2Q
	ê
	ë

ù

tg(φs + φβ )ú . (7.27)

úû

Отсюда видно, что частота автоколебаний не равна резонансной частоте колебательного контура ωo , как это следовало из линейной трактовки, но

зависит также от параметров цепи обратной связи, свойств усилительного элемента и добротности Q. Последняя определяет так назывемую фиксирую- щую способность колебательного контура. Чем выше Q тем меньше влияние

φs , φβ и других дестабилизирующих факторов, оказывающих влияние на ра-

боту генератора. Поэтому в высокостабильных генераторах используют высокодобротные колебательные контуры, например, кварцевые резонаторы, добротность которых измеряется тысячами единиц.

Условие (7.26а) позволяет определить амплитуду стационарных автоколебаний. Считая для простоты ω = ωo , когда

Kcp (U1) = Scp (U1 )Z рез ,

получим

105

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Scp (U1 ) =		1			,	(7.27а)
	β (U1)Z рез
либо		1
Kcp (U1) =				.		(7.27б)
		β (U1)
Построив на одном графике в функции U1			кривые, соответствующие левым и
правым частям этих уравнений, в точке				их перечения		находим искомое

значение U1 . Вид кривых для Scp(U1) и Kcp(U1) зависит от режима работы

генератора (мягкий или жесткий), что определяется положением рабочей точки на проходной ВАХ транзистора.

Различают два случая (рис. 7.9):

1.Рабочая точка на линейном участке (большие углы отсечки θ > 90o ),

2.Рабочая точка на нижнем сгибе или левее Uотс (углы отсечки θ < 90o ).

Рис 7. 9. Положение рабочей точки на ВАХ транзистора при мягком (7.1.) и жестком (7.2.) режимах работы.

В первом случае зависимость Scp (U1) выражается монотонно спадающей кривой (рис 7. 10а) . Аналогично ведет себя и Kcp (U1) (рис 7. 10б).

а б Рис 7. 10. Зависимости средних параметров для мягкого режима.

106

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Во втором случае (рис 7. 11) кривые Scp (U1)и Kcp (U1) имеют "горбообразный" характер

а б Рис 7. 11. Зависимости средних параметров для жесткого режима.

.

Если β от U1 не зависит, то правые части (7.2.7а) и (7.2.7б) суть горизонтальные линии, называемые линиями обратной связи, положение которых определяется величиной β . Их пересечение с Scp (U1)или Kcp (U1) определя-

ет амплитуды, для которых выполняется уравнение энергетического баланса. Рис 7.10 соответствует мягкой системе, ее фазовый портрет изображен на

рис 7.4б. Колебания с амплитудой U устойчивые.

Рис 7.11 соответствует жесткой системе, ее фазовый портрет изображен на

~

рис 7.5б. Из двух точек пересечения U - устойчивая, а U - неустойчивая. Можно проанализировать поведение автогенератора в функции величины

обратной связи,.используя кривые средних параметров и следя за точкой их пересечения с линией обратной связи,

а б Рис 7.12. Зависимости амплитуды автоколебаний от величины обратной

связи для мягкого (а) и жесткого (б) режимов.

107

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com