Контрольная работа

3.7 |Ф(w)| амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) замкнутой системы:

Ф (w)

= Ф

вещ

(w)2

+ Ф

мним

(w)2

мод

K K K

éK K K + 1 − (T T + T T + T T )

w2ù2

+ é(T + T + T ) w − T T T w3ù2

Фмод(w)

=

1 2 3

ë 1 2 3

1 2 1 3 2 3

û

ë

1 2 3

1 2 3

û

A6 w6 + A4 w4 + A2 w2 + A0

упростим выражение для числителя:

B6 = T12 T22 T32

B4 = (T1 T2 + T1 T3 + T2 T3)2 − 2 T1 T2 T3 (T1 + T2 + T3)

B2 = (T1 + T2 + T3)2 − 2 (K1 K2 K3 + 1) (T1 T2 + T1 T3 + T2 T3)

B0 = (K1 K2 K3 + 1)2

K1 K2 K3 B6 w6 + B4 w4 + B2 w2 + B0 Фмод(w) = A6 w6 + A4 w4 + A2 w2 + A0

Построим график амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) замкнутой системы на интервале 0...10 рад/с (из соображений наглядности графика), по вертикальной оси будем откладывать амплитуду, а по горизонтальной оси - частоту:

3.5

3

2.5

2

Фмод(w)

1.5

1

0.5

0

2

4

6

8

10

w рад/с

4. Используя полученные характеристики и построенные графики, найдем и оценим
следующие показатели качества системы:
4.1 ест - статическую ошибку при подаче на вход единичного ступенчатого
воздействия:
eст =			1	=	1	= 0.167
	1	+ K1 K2			1 + 2.5 0.525 3.8
				K3
4.2 wc - частоту среза системы , запасы устойчивости системы по амплитуде Lзап и
фазе фзап:
частота среза системы определяется по графику ЛАЧХ как частота, на которой
коэффициент усиления равен 0 дБ (корень уравнения L(w)=0):
						24
						18
						12
						6
ЛАЧХ(w)			0.1			1	10
						− 6
дБ
						− 12
						− 18
						− 24
						− 30
						− 36
						w,рад/с
wc = 1.53 рад/с

запас устойчивости системы по фазе фзап показывает, на какое значение ФЧХ
разомкнутой системы на частоте среза отличается от п (180 град):
	0.1			1	10
				− 60
				− 120
ф(w)				− 180
град
				− 240
				− 300
				− 360
				w, рад/с
фзап	= 180 −	ф(wc)	= 180 − −154.715	= 25.285 град

критическая частота определяется из графика ФЧХ как частота, на которой фаза разомкнутой системы равна п (180 град):

wкр = 2.157 рад/с

запас устойчивости системы по амплитуде (усилению) Lзап показывает, во сколько раз нужно увеличить коэффициент усиления, чтобы система оказалась на границе

устойчивости

	Lзап	=	1	=	1	= 1.994
			Wмод(wкр)		0.501

20 log(Lзап) = 5.996 дБ

4.3 М - показатель колебательности системы:

показатель колебательности системы определяется как максимальное значение АЧХ замкнутой системы (обычно стремятся, стобы показатель колебательности не превышал двух)

M = max(Фмод(w)) = 2.535

4.4 tp - время регулирования и перерегулирование G:

определим переходную характеристику системы как обратное преобразование Лапласа

от:

æ W

(p) ö

h(t) =

− 1ç

замк

÷

L

è

p

ø

h(t)

=

− 1é1

K1 K2 K3

ù

L

ê

3

+ (T1

T3 + T2 T3) (p)

2

+ (T1

+ T2 + T3) p + K1 K2 K3

ú

êp

T1 T2

T3 (p)

T2 + T1

+

ú

ë

1û

h(t)

= −0.191 e− 3.41 t + −0.642 cos(1.69 t)

e− 0.255 t + −0.481 sin(1.69 t) e− 0.255 t + 0.833

определим установившееся значение на выходе системы yуст при воздействии на нее

ступенчатой функции:

yуст

=

lim

h(t)

= 0.833

t → oo

построим график переходного процесса:

1.5

h(t)

1

yуст

1.05 yуст

0.95 yуст

0.5

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

t

длительность переходного процесса определим как время, с момента подачи сигнала

до момента времени, когда выходной сигнал не будет отличаться от его

установившегося значения не более чем на 5%:

tp = 12.465 с

Определим по графику переходного процесса максимальное значение выходного сигнала:

hmax = 1.3

Определим перерегулирование:

G =		hmax − yуст		=		1.3 − 0.833		= 56.087 %
		yуст				0.833

5. Найдем дифференциальное уравнение замкнутой системы, связывающее координаты y и v (полагая f=0):

Воспользуемся передаточной функцией замкнутой системы, для этого представим ее в виде полинома, где символ s эквивалентен операции дифференцирования:

Ф(s) =									K1 K2 K3
					T1 T2 T3 s3 + (T1 T2 + T1 T3 + T2 T3) s2 + (T1 + T2 + T3) s + K1 K2 K3 + 1
a3		= T1 T2 T3 = 0.5 1.5 0.8 = 0.6
a2		= T1 T2 + T1 T3 + T2 T3 = 0.5 1.5 + 0.5 0.8 + 1.5 0.8 = 2.35
a1		= T1 + T2 + T3 = 0.5 + 1.5 + 0.8 = 2.8
a0		= K1 K2 K3 + 1 = 2.5 0.525 3.8 + 1 = 5.983
K = K1 K2 K3 = 2.5 0.525 3.8 = 4.983
Ф(s) =								K
					a3 s3 + a2 s2 + a1 s + a0
æa s3 + a s2						+ a s + a ö y = K v
è 3				2		1		0ø
a		d3		y + a		d2	y + a d y + y = K v
		dt3
3				2		dt2		1 dt

6. Найдем уравнение состояния замкнутой системы в векторно-матричном виде, в нормальной форме, связывающее координаты y и v (полагая f=0):

6.1 Найдем уравнение состояния замкнутой системы в векторно-матричном виде, связывающее координаты y и v (полагая f=0):

v+		y(3)	1	y(2)	2	y(1)	3	y
		.	K	.	K	.	K
			T1s+1		T2s+1		T3s+1	x1
	-	x3		x3=x2		x2=x1

æ

1

K3

ö

ç

−

0

÷

T3

T3

ç

÷

æ 0

ö

ç

K

÷

æ

1

ö

1

ç

÷

d X =

ç

0 −

2

÷

X + ç 0

÷ V

Y = ç

0

÷

X

T2

T2

dt

ç

÷

ç

÷

ç ÷

ç

K1

÷

è K1

ø

è

0

ø

ç

−

0

−

1

÷

ç

÷

T

T

è

1

1

ø

æ

1

K3

ö

ç

−

0

÷

T3

T3

ç

÷

æ

−1.25

0 ö

ç

1

K2

÷

4.75

ç

0

−

÷

=

ç

0

−0.667

0.35

÷

ç

T

T

÷

ç

÷

−5

ç

K1

2

2

÷

è

0

−2 ø

ç

1

÷

ç

−

0

−

÷

T

T

è

1

1

ø

6.2 Найдем уравнение состояния замкнутой системы в нормальной форме, связывающее координаты y и v (полагая f=0):

vK1K2K3 T1T2T3

+		y (3)	y (2)	y (1)	y
		.	.	.
					x1
	-	x3	x3=x2	x2=x1
			T1T2+T1T3+T2T3
			T1T2T3	T1+T2+T3
				T1T2T3
					K1K2K3+1
					T1T2T3

		æ				0
		ç				0
d	X =	ç
				K	K		K + 1
dt		ç				2
		ç	−	1			3
				T1 T2 T3
		è

1

0

− T1 + T2 + T3

T1 T2 T3

			0				ö
			1				÷
							÷	X +
	T T + T			T + T T
			1				÷
−	1	2		3	2	3	÷
		T1 T2 T3
							ø

æ		0		ö		æ 1	ö
ç		0		÷
ç				÷	V	Y = ç 0	÷	X
ç K1 K2 K3				÷		ç	÷
ç				÷		è 0	ø
	T	T	T
è	1	2	3	ø

æ					0
ç					0
ç
			K	K	K			+ 1
ç
ç	−			1 2 3
				T1 T2 T3
è
æ				0			ö
ç				0			÷
ç							÷	=
		K1 K2 K3
ç							÷
ç							÷
		T		T	T
è	1			2	3		ø

1

0

− T1 + T2 + T3

T1 T2 T3

æ	0	ö
ç	0	÷
ç		÷

è 8.31 ø

		0			ö		æ				ö
		1			÷			0	1	0
					÷	=	ç	0	0	1	÷
	T1 T2 + T1 T3 + T2		T3
					÷		ç				÷
−					÷		è −9.97		−4.67	−3.92 ø
	T1	T2 T3
					ø

7. Обоснуем , при каком значении периода дискретизации рассматриваемая сис-

тема эквивалентна импульсной системе:

Рассмотрим разомкнутую импульсную систему, приведенную на передаточная функция ЭЛНЧ которой имеет вид W (s) = WФ (s)W0 (s). Передаточная функция импульс-

ной системы будет W (z), а частотная характеристика W ( jw). Существует связь между частотными характеристиками ЭЛНЧ W ( jw) и частотной характеристикой импульсной системы W ( jw), которая имеет вид:

W		( jw) =	1	∞	é	ù	,	(1)
				åW ë j (w+ rw0 )û
			T r=−∞

где, как и ранее, w0 = 2pT - частота дискретизации.

Итак, характеристика W ( jw) получается суммированием смещенных относительно

друг друга вдоль оси w на частоту повторения w0							характеристик W ( jw) ЭЛНЧ, умно-
женных на 1 T . Из (1) вещественные и мнимые части частотных характеристик
Re W ( jw) =		1		∞		Re W é j(w+ rw )ù ,		(2)
		T rå=−∞				ë	0 û
Im W ( jw) =	1		∞		Im W é j(w+ rw )ù .
	T rå=−∞					ë	0 û

Предположим, что вещественная и мнимая частотные характеристики заданы на ин- тервале частоты w от -wn до wn (wn - полоса пропускания) и вне этого интервала равны нулю, а спектральные характеристики входного сигнала V ( jw) определены на некото-

ром интервале -wc < w< wc и равны нулю вне этого интервала.									В этом случае, если
w <w	n	< w0	, справедливо следующее соотношение
c		2
			Y ( jw) = W ( jw)V ( jw)	=		1 W ( jw)V ( jw).			(3)
						T
Итак, при выполнении условия w				c	< w < w0			импульсная система с передаточной
						n	2

функцией W ( jw) преобразует входной сигнал точно так же, как некоторая непрерывная система с передаточной функцией T1 W ( jw).

Фактически сформулирован аналог известной теоремы Котельникова: если спектр частот входного воздействия ограничен и лежит в диапазоне частот -wn < w< wn , то

свойство системы с АИМ, у которой w0 > 2wn тождественны свойствам эквивалентной непрерывной системы с АФЧХ T1 W ( jw).

3

2.5

2

Фмод(w)1.5

1

0.5

0

2.5

5

7.5

10

w, рад/с

По графику амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) замкнутой системы определим полосу пропускания как диапазон частот в котором Фмод(w)>0.707Фмод(0):

wп = 2.458 рад/с

тогда минимальное значение wo равно:

w0 = 2 wп = 2 2.458 = 4.916 рад/с

Определим максимальное значение периода дискретизации как:

	tд =	2 п	=	2 3.14	= 1.277 с
		w0		4.916

8. Оценим влияние насыщения первого звена системы на ее процессы, для этого воспользуемся специальным программным продуктом - Matlab и его пакетом численного моделирования Simulink:

Нелинейность первого элемента системы с характеристикой типа "насыщение" имеет вид:

		u(e) = (-c) if e £ -a
		c	e	if	-a < e < a
		a
		c	if	e ³ a
			20
			10
u(e)	− 20	− 10		0	10	20
		− 10
		− 20
				e