Содержание

Тема 1. Множества и их спецификации 2

1.1. Множества 2

1.1.1. Определение множества 2

1.1.2. Операции над множествами 3

1.1.3. Законы теории множеств 7

1.2. Комплекты 8

1.2.1. Определение комплекта 8

1.2.2. Операции над комплектами 9

1.3. Нечеткие множества 10

1.3.1. Определение нечеткого множества 10

1.3.2. Операции над нечеткими множествами 13

Задание 1. Формирование множеств, комплектов, нечетких множеств. Проверка законов теории множеств 15

Условие 15

Решение 16

Задание 2. Отношения и функции 23

Условие 23

Решение 25

Тема 1. Множества и их спецификации

1.1. Множества

1.1.1. Определение множества

Основателем теории множеств является немецкий математик Георг Кантор (1845 – 1918 гг.). Его понятие множества звучало примерно так: «Множество – это объединение в одно целое объектов, хорошо различимых нашей интуицией или мыслью».

В дальнейшем мы будем пользоваться следующей формулировкой одного из фундаментальных понятий математики:

Множество– совокупность элементов, обладающих двумя свойствами:

1. все элементы различны;

2. относительно каждого элемента можно сказать, принадлежит или не принадлежит он этому множеству.

При доказательстве тождеств в теории множеств могут быть использованы не сами множества, а их так называемые характеристические функции.

Характеристическая функциямножестваАпредставляет собойп-мерный вектор, если множество конечно

Характеристическая функция пустого множества состоит из нулей, характеристическая функция универсального множества состоит из единиц:

1.1.2. Операции над множествами

1. Объединением множеств А и Вназывается множествоАВ, все элементы которого являются элементами множестваАилиВ:

.

В терминах характеристических функций эта операция описывается следующим образом:

.

2. Пересечением множествА и Вназывается множествоАВ, элементы которого являются элементами обоих множествАиВ:

.

В терминах характеристических функций эта операция описывается следующим образом:

.

3. Абсолютным дополнением (или простодополнением) множества Аназывается множество, которое состоит из всех элементов универсального множестваU, которые не принадлежат множествуA:

.

В терминах характеристических функций эта операция описывается следующим образом:

.

4. Относительным дополнением множества В до множества А(илиразностью) называется множествоА\В, которое состоит из тех элементов множестваА, которые не принадлежат множествуВ:

.

Относительное дополнение выражается через другие операции:

.

В терминах характеристических функций эта операция описывается следующим образом:

5. Симметрической разностью множеств А и Вназывается множествоА+В:

.

В терминах характеристических функций эта операция описывается следующим образом:

.

Сначала выполняются операции дополнения, затемобъединения,пересеченияи симметрическойразности. Последовательность выполнения операций может быть изменена скобками.

Для наглядности представления отношений между подмножествами какого-либо универсального множества используют диаграммы Эйлера-Венна. Само универсальное множество изображают в виде прямоугольника, а его подмножества – в виде кругов, расположенных внутри прямоугольника (рис. 1.1).

	A\B B

Рис. 1.1. Диаграммы Эйлера-Венна

Пример.

Даны множества: . Составить универсальное множество, характеристические функции. Выполнить следующие действия:.

Решение.

Универсальное множество

.

Характеристические функции

Операции:

1. Объединение

2. Пересечение

3. Абсолютное дополнение (дополнение)

4. Относительное дополнение (разность)

5. Симметрическая разность