- •Доцент Иванов а.А., доцент Инсарова н.И., ст. Преп. Шеламова м.А. Семинары по дисциплине «Медицинская и биологическая физика» для специальности «Стоматология».
- •Тема 1: «Математическое описание медико-биологических процессов и обработка медицинских данных».
- •Актуальность темы.
- •Доцент Иванов а.А., доцент Инсарова н.И., ст. Преп. Шеламова м.А.
- •Семинар 1
- •Элементы дифференциального исчисления.
- •Основные вопросы:
- •1. Постоянные и переменные величины. Функциональная зависимость между переменными.
- •2. Способы задания функций. Виды элементарных функций.
- •3.Понятие предела переменной. Производная функции. Таблица производных. Правила дифференцирования.
- •Производные сложных функций.
- •4. Физический смысл производной. Градиент функции.
- •5. Геометрический смысл производной. Возрастание и убывание функции. Максимум и минимум (экстремумы) функции.
- •6.Графики производных функций
- •7.Дифференциал функции, его использование для оценки приращения функции.
- •8.Функции нескольких переменных. Частные производные.
- •9.Задания для самостоятельной работы.
- •Литература.
- •2.Основные свойства неопределенного интеграла. Таблица интегралов
- •Методы вычисления неопределенного интеграла: непосредственное интегрирование и метод замены переменных.
- •I. Непосредственное интегрирование.
- •II. Метод замены переменной (метод подстановки).
- •4.Определенный интеграл. Вычисление определенного интеграла.
- •5. Задания для самостоятельной работы.
- •2.Порядок обработки результатов прямых измерений.
- •3.Порядок обработки результатов косвенных измерений.
- •4.Пример расчета случайной ошибки при косвенном измерении вязкости жидкости.
- •5.Задания для самостоятельной работы.
- •Литература.
3.Порядок обработки результатов косвенных измерений.
При косвенных измерениях искомую величину Z вычисляют по некоторой формуле:
Z = f(x, y) (4)
где x и y – прямо измеряемые величины.
Число значений x и y, полученных при измерении каждого из них, равно n:
x1, х2, х3, …., хn ;
у1, у2, у3, … , уn.
Далее находят их средние арифметические значения:
=,=(5)
и средние квадратичные ошибки:
Sx = ; Sу = , (6)
Затем вычисляют среднее арифметическое значение косвенно измеряемой величины Z по формуле:
= f(). (7)
Истинное значение Z – Zист. лежит в доверительном интервале:
– Z < Zист. < + Z или Zист.= ± Z. (8)
Полуширина данного интервала для величины Z рассчитывается по формуле:
Z = tр, n. (9)
В формуле (9) средняя квадратичная ошибка Sz косвенно измеряемой величины, равна:
= , (10)
где =Zx´ и =Zy´ – частные производные величины Z=f(x, y), соответственно, по x и по у, вычисляемые при их средних значениях, Sx и Sу – средние квадртичные ошибки величин х и у, значения которых получаются по формулам (6), tр, n - уже знакомый нам коэффициент Стьюдента, p – доверительная вероятность (надежность).
Окончательный результат обычно записывается в виде: Zист. = Z, с указанием выбранного значения р. Приводится так же относительная ошибка косвенно измеряемой величины:
= 100 % (11)
4.Пример расчета случайной ошибки при косвенном измерении вязкости жидкости.
Рассчитаем случайную ошибку при косвенном измерении важнейшей характеристики текущей жидкости – вязкости жидкости [см. лекцию №]:
= 0 ,
где 1, , t – вязкость, плотность и время истечения исследуемой жидкости из капилляра вискозиметра; 0, 0, t0 – соответственно вязкость, плотность и время истечения эталонной жидкости (воды).
Величины 0, 0 и считаем точно известными, t и t0 измеряем секундомером, вязкость исследуемой жидкости – косвенно измеряемая величина.
1. Пять измерений времени истечения исследуемой жидкости и воды дали следующие результаты:
для исследуемой жидкости t= 79, 2с;80,4с;78,0с; 83,6с; 80,2 с;
для воды t0 = 51,0с; 48,4с; 50,6с; 47,4с; 44,2с.
2. Найдем по (5) средние арифметические значения t и t0:
= = 80,28 с,
= = 48,32 с.
Определим по (7) среднее арифметическое значение вязкости исследуемой жидкости при: = 790 ,0 = 998,2 ,0 = 1,0 10-3 Па с:
= 0;= 1,0 10-3 = 1,31 10-3 Па с = 1,31 мПа с.
3.Рассчитаем среднюю квадратичную ошибку вязкости по (10):
S = .
Для этого по (6) определим средние квадратичные ошибки времени истечения исследуемой жидкости St и воды :
St = =2,09 с
= = 2,75 с.
Найдем частные производные приt = и t0 = 0:
= = = 16,38 10-6 Па ,
= - = – = -27,21 10-6 Па.
Тогда S = = 82,2 10-6 Па с.
4. Определим полуширину доверительного интервала или абсолютную ошибку вязкости по (9). Для этого, приняв доверительную вероятность р = 0,95, и, зная число измерений непосредственно определяемых величин (n = 5), найдем коэффициент Стьюдента, [cм. табл., напр. в (2, 3)], tр, n = 2,78, тогда:
= 2,78 = 0,1 10-3 Па с = 0,1 мПа с.
Следовательно, с доверительной вероятностью р = 0,95 = 95% истинное значение вязкости исследуемой жидкости лежит в интервале
η = = (1,31 0,1) 10-3 Па с = (1,31 0,1) мПа с.
Относительная ошибка равна
= 100 % = 7,6 %