Математические модели в экономике (Вариант 6.)

Задание 1.

В пространстве трех товаров рассмотрите бюджетное множество при векторе цен Р и доходе Q. Описать его и его границу с помощью обычных и векторных неравенств и равенств, изобразите бюджетное множество и его границу графически. В ответе дать число, равное объему бюджетного множества.

Решение:

Описание бюджетного множества и его границы с помощью обычных неравенств.

Описание бюджетного множества и его границы с помощью векторных неравенств.

Графическое изображение.

Бюджетное множество есть тетраэдр ABCO. Треугольник АВС является его границей.

Точка А имеет координату Q/P1=70/7=10

Точка B имеет координату Q/P2=70/5=14

Точка C имеет координату Q/P3=70/2=35

Найдем объем бюджетного множества:

(10х14х35)/5=980

Задание 2.

Даны зависимости спроса D и предложения S от цены. Найдите равновесную цену, при которой выручка максимальна и эту максимальную выручку.

D = 400 – 5p; S = 100+5p.

Решение:

Точка равновесия характеризуется равенством спроса и предложения, т.е.

400 – 5р=100+5р

10р = 300

р = 30

Равновесная цена р*=30 и выручка при равновесной цене

W(p*)=p* × D(p*)=p* × S(p*) = 7500

При цене объем продаж и выручка определяется функцией спроса, при - предложения. Необходимо найти цену , определяющую максимум выручки:

При р×(400-5р) максимум достигается в точке р’=40

Максимальная выручка достигается при равновесной цене W (40)=8000

При р×(100+5р) максимум достигается в точке р’=10

Максимальная выручка достигается при равновесной цене W(10)=1500.

Таким образом, максимальная выручка W(P)=8000 достигается не при равновесной цене.

Задание 3.

Найдите решение матричной игры (оптимальные стратегии и цену игры).

Решение:

Сначала необходимо проверить наличие седловой точки. Седловой точки нет.

Обозначим оптимальную стратегию первого , искомую оптимальную стратегию второго

Выигрыш первого:

	5	-7	-2	5
	ху	х(1 – у)	у(1 – х)	(1 – х)(1 – у)

Находим средний выигрыш за партию Первого – математической ожидание случайной величины W(х,у):

М(х,у)= 5xy-7x(1-y)-2y(1-x)+5(1-x)(1-y)=19xy-12x-7y+5=19x(y-12/19)-7(y-12/19)+11/19=19(y-12/19)(x-7/19)

Для нахождения оптимальных стратегий игроков необходимо, чтобы М(х,у^*)М(х^*,у^*)М(х^*,у).

Это выполняется при х^*=7/19 и у^*=12/19, так как именно в этом случае

М(х;12/19)=М(7/19;12/19)=М(7/19;у)=11/19.

Следовательно, оптимальная стратегия первого игрока есть ,

Второго - . Цена игры по определению равна v=M(P^*,Q^*)=11/19.

Задание 4.

Для трехотраслевой экономической системы заданы матрица коэффициентов прямых материальных затрат и вектор конечной продукции. Найти коэффициенты полных материальных затрат двумя способами, заполнить схему межотраслевого баланса.

A= Y=

Решение:

Определим матрицу коэффициентов полных материальных затрат по второму способу, учитывая косвенные затраты до 2-го порядка включительно. Запишем матрицу коэффициентов косвенных затрат 1-го порядка:

матрицу коэффициентов второго порядка:

.

Таким образом, матрица коэффициентов полных материальных затрат приближенно равна:

.

В=

Определим матрицу коэффициентов полных материальных затрат с помощью формул обращения невырожденных матриц (первый способ).

А) находим матрицу (Е – А):

Б) вычисляем определитель этой матрицы:

В) транспортируем матрицу (Е – А):

Г) находим алгебраическое дополнение для элемента матрицы :

Элементы матрицы В, рассчитанные по точным формулам обращения матриц, больше элементов матрицы, рассчитанных по второму приближенному способу без учета косвенных материальных затрат порядка выше 2-го.

Найдем величины валовой продукции трех отраслей (вектор Х):

X=B*Y=

Определим элементы первого квадранта материального межотраслевого баланса:

Составляющие третьего квадранта (условно-чистая продукция) находим как разность между объемами валовой продукции и суммами элементов соответствующих столбцов найденного первого квадранта:

949.75-(474.875+94.975+94.975) =284.925

324.87-(64.974+0+64.974) =194.922

245.37-(49.074+24.537+24.537)=147.222

Производящие отрасли	Потребляющие отрасли
	1	2	3	Конечная продукция	Валовая продукция
1	474.875	64.974	49.074	350	949.75
2	94.975	0	24.537	200	324.87
3	94.975	64.974	24.537	110	245.37
Условно чистая продукция	284.925	194.922	147.222	660
Валовая продукция	949.75	324.87	245.37		1519.99

Задание 5.

Проверить ряд на наличие выбросов методом Ирвина, сгладить методом простой скользящей средней с интервалом сглаживания 3, методом экспоненциального сглаживания ( = 0,1), представить результаты сглаживания графически, определите для ряда трендовую модель в виде полинома первой степени (линейную модель), дайте точечный и интервальный прогноз на три шага вперед.

У= 13, 11, 12, 14, 15, 16, 15, 14, 16, 17.

Решение:

Проверим ряд на наличие выбросов методом Ирвина.

Найдем среднее: .

Среднее квадратическое отклонение: .

Найдем значения , результаты поместим в таблице:

t	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
λ	-	0,56	0,56	1,13	0,56	1,13	1,13	1,13	1,13	1,13

Как видно из таблицы , аномальных значений не наблюдается.

Произведем сглаживание уровней ряда динамики с помощью трехчленной скользящей средней. Результаты расчетов представим в виде таблицы:

t	Ряд данных	Скользящие средние
1	12	-
2	11	(12+11+12)/3=11,7
3	12	(11+12+14)/3=12,3
4	14	(12+14+15)/3=13,7
5	15	(14+15+13)/3=14
6	13	(15+13+15)/3=14,3
7	15	(13+15+17)/3=15
8	17	(15+17+15)/3=15,7
9	15	(17+15+13)/3=15
10	13	-

Графически:

Произведем сглаживание уровней ряда динамики с помощью метода экспоненциального сглаживания (=0,1).

Определим для ряда трендовую модель в виде полинома первой степени (линейную модель) y_t = а₀ + а₁t; где а₀ и а₁ найдем из системы нормальных уравнений.

Составим расчетную таблицу.

t	Ряд данных	t^2	yt
1	12	1	12
2	11	4	22
3	12	9	36
4	14	16	56
5	15	25	75
6	13	36	78
7	15	49	105
8	17	64	136
9	15	81	135
10	13	100	130
Σ=55	Σ=137	Σ=385	Σ=785

Система нормальных уравнений:

55а₀ + 385а₁= 785

10а₀ + 55а₁=137

Решая систему, получим:

а₁=0,38

а₀ =11,60

Отсюда уравнение линейного тренда имеет вид:

y_t = 11,60+0,38t (искомый тренд)

Дадим прогноз на три шага вперед-точечные прогнозы:

y(11) = 11,60+0,38*11=15,78.

y(12) = 11,60+0,38*12=16,16.

y(13) = 11,60+0,38*13=16,54.

Задание 6.

Пункт по ремонту радиотехники работает в режиме отказа с одним мастером. Интенсивность потока заявок , производительность мастера . Определить предельное значение относительной пропускной способности Q, абсолютной пропускной способности А, и вероятность отказа телефонной линии.

Определить также среднее время обслуживания одного вызова, среднее время простоя канала и вероятность того, что канал свободен или занят.

Решение:

Т.к. математической моделью телефонной линии является одноканальная СМО с отказами, то предельная вероятность отказа:

или 41%.

Т.е. в установившемся режиме из каждых 100 заявок в среднем 41 получаtт отказ.

Предельное значение относительной пропускной способности Q и абсолютной пропускной способности A:

Случайный характер поступления телефонных вызовов и случайный характер длительности разговоров порождают ситуацию, что абсолютная пропускная способность разговора/мин. в 2.3 раза меньше производительности телефонной линии вызовов/мин.

Среднее время обслуживания:

.

Среднее время простоя канала:

.

Вероятность того, что канал свободен:

или

Вероятность того, что канал занят:

Таким образом, вероятность того, что канал занят меньше вероятности того, что канал свободен, и этого следовало ожидать, т.к. интенсивность входящего потока меньше интенсивности производительности канала .