Математические модели в точных и гуманитарных науках (Зайцев В

NYH MODELQH DLQ UPRO]ENIQ BYSTROKOLEBL@]IHSQ ZAWISIMOSTEJ. tAK, W NEBESNOJ MEHANIKE (TEORIQ DWIVENIQ ISKUSSTWENNYH SPUTNIKOW) POMIMO PEREHODA OT TEKU]IH DEKARTOWYH KOORDINAT K OSKULIRU@]IM, PROWODIT- SQ OSREDNENIE ZA PERIOD OBRA]ENIQ ILI PO NESKOLXKIM PERIODAM S TEM, ^TOBY SKOMPENSIROWATX KOROTKOPERIODI^ESKIE KOLEBANIQ ORBIT. wOOB]E, PODOBNYE PEREHODY MOGUT SU]ESTWENNO UPROSTITX ISSLEDOWANIE, ODNAKO ONI MOGUT I WNESTI NEADEKWATNOSTX W MODELX.

3. lINEJNYE I NELINEJNYE MODELI. mODELX NAZYWAETSQ LINEJNOJ, ESLI WYPOLNQETSQ PRINCIP LINEJNOJ SUPERPOZICII, T. E. RE-

[ENIEM QWLQETSQ WSQKAQ LINEJNAQ KOMPOZICIQ DRUGIH RE[ENIJ (S PRO- IZWOLXNYMI POSTOQNNYMI KO\FFICIENTAMI). |TO SWOJSTWO SU]ESTWENNO UPRO]AET POSTROENIE I ISSLEDOWANIE RE[ENIQ MATEMATI^ESKOJ ZADA^I { MY HORO[O ZNAEM STRUKTURU I SWOJSTWA OB]EGO RE[ENIQ, DLQ POSTROENIQ

^ASTNYH RE[ENIJ SU]ESTWUET MNOVESTWO WESXMA \FFEKTIWNYH METODOW (NAPRIMER, METOD RAZDELENIQ PEREMENNYH { METOD fURXE { W KLASSI^E- SKOJ MATEMATI^ESKOJ FIZIKE). oDNAKO SLEDUET POMNITX, ^TO BOLX[IN- STWO FENOMENOLOGI^ESKIH ZAKONOW, KOTORYE PRIMENQ@TSQ PRI MODELIRO- WANII { ZAKON gUKA, ZAKON oMA, ZAKON TEPLOWOGO RAS[IRENIQ { LINEJNY LI[X W PERWOM PRIBLIVENII. pO\TOMU LINEJNYE MODELI, KAK PRAWILO, OKAZYWA@TSQ NESOSTOQTELXNYMI PRI ANALIZE REALXNYH OB_EKTOW W OKOLO- KRITI^ESKIH OBLASTQH, PRI ZNA^ENIQH PARAMETROW, KOTORYE UVE NELXZQ S^ITATX MALYMI I T. P. oB]EIZWESTNYM PRIMEROM QWLQ@TSQ RELQTI- WISTSKIE MODELI, KOTORYE SPRAWEDLIWY, KOGDA WELI^INOJ v=c NELXZQ PRENEBRE^X PO SRAWNENI@ S EDINICEJ (v { SKOROSTX OB_EKTA, c { SKOROSTX SWETA). pRIMER LINEJNYH I NELINEJNYH MODELEJ MEHANI^ESKIH KOLEBA- NIJ PRIWEDEN WY[E W P. 3.

pRIBLIVENNAQ ZAMENA NELINEJNYH SOOTNO[ENIJ LINEJNYMI, T. E. LINEARIZACIQ [IROKO RASPROSTRANENA NE TOLXKO W MATEMATI^ESKOM MO- DELIROWANII, NO I W DRUGIH RAZDELAH MATEMATIKI. tAK, W GRUPPOWOM

ANALIZE DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ PRI POISKE AWTOPREOBRAZOWANIJ (T.E. PREOBRAZOWANIJ URAWNENIQ\W SEBQ") OBY^NO PEREHODQT K BESKONE^NO- MALYM (INFINITEZIMALXNYM) PREOBRAZOWANIQM, NAJTI KOTORYE OKAZYA- ETSQ GORAZDO LEG^E, ^EM KONE^NYE, TAK KAK OPREDELQ@]IE URAWNENIQ DLQ IH POISKA LINEJNY. nE SLU^AJNO OPERATOR POLNOJ PROIZWODNOJ

Dx = @ +			1	@
			y(k+1)
			X
	@x		k=0	@y(k)

W RQDE LITERATURNYH ISTO^NIKOW NAZYWAETSQ OPERATOROM UNIWERSALX-

NOJ LINEARIZACII.

4. dETERMINIROWANNYE I WEROQTNOSTNYE MODELI. mATEMATI^E-

SKAQ MODELX MOVET WKL@^ATX SLU^AJNYE KOMPONENTY { SLU^AJNYE SKA-

11

LQRNYE ILI WEKTORNYE WELI^INY, SLU^AJNYE FUNKCII I T. P., UDOWLE- TWORQ@]IE STATISTI^ESKIM ZAKONAM. tAKIE MODELI NAZYWA@TSQ WERO-

QTNOSTNYMI ILI STOHASTI^ESKIMI, W OTLI^IE OT DETERMINIROWAN-

NYH MODELEJ, KOTORYE TAKIH KOMPONENTOW NE SODERVAT. wEROQTNOSTNYE MODELI IZU^A@TSQ S POMO]X@ METODOW TEORII WEROQTNOSTEJ.

5. sTATI^ESKIE I DINAMI^ESKIE MODELI. oBY^NO RAZLI^A@T TAK-

VE STATI^ESKIE I DINAMI^ESKIE MODELI. dLQ WTOROGO TIPA MODELEJ

PREDMETOM IZU^ENIQ QWLQETSQ IZMENENIE RASSMATRIWAEMOGO OB_EKTA WO WREMENI. w ^ASTNOSTI, MNOGIE DINAMI^ESKIE MODELI PREDSTAWLQ@T SO-

BOJ URAWNENIQ W ^ASTNYH PROIZWODNYH SLEDU@]EGO WIDA

@t	= F	x; u; @x		; @x2 ; : : :		;
@u			@u		@2u

KOTORYE NAZYWA@TSQ \WOL@CIONNYMI.

1.5.mATEMATI^ESKAQ ADEKWATNOSTX MODELI

w DANNOM RAZDELE MY KOSNEMSQ WOPROSA, KAZALOSX BY, DOSTATO^NO OT- WLE^ENNOGO: KAKOJ METOD RE[ENIQ MODELXNOGO URAWNENIQ DOLVEN WYBRATX ISSLEDOWATELX? s MATEMATI^ESKOJ TO^KI ZRENIQ, NAPRIMER, BEZRAZLI^NO, RAZLOVITX LI RE[ENIE W RQD tEJLORA, W RQD fURXE ILI ISPOLXZOWATX DRUGIE ORTOGONALXNYE RAZLOVENIQ { NADO LI[X PROWERITX, BUDET LI \TOT RQD SHODITXSQ W NUVNOM INTERWALE.

w KA^ESTWE PRIMERA RASSMOTRIM URAWNENIE KOLEBANIJ STRUNY

@2u		=	1 @2u			:
@x2			a2		@t2

kAK IZWESTNO, ISPOLXZOWANIE METODA RAZDELENIQ PEREMENNYH (RQDA fU- RXE) PRIWODIT K RAZLOVENI@ RE[ENIQ W RQD fURXE, KOTORYJ IMEET PRO- ZRA^NYJ FIZI^ESKIJ SMYSL { KAVDAQ GARMONIKA RE[ENIQ MOVET BYTX \USLY[ANA" W OTDELXNOSTI. wMESTE S TEM NI^TO NE ME[AET NAM PRIME-

NITX ^ISLENNYJ METOD RE[ENIQ \TOGO URAWNENIQ I ZAPISATX RAZLOVENIE W RQD tEJLORA. i STANOWITSQ O^EWIDNYM, ^TO ISPOLXZOWANIE\NEFIZI^NO- GO", NEADEKWATNOGO METODA RE[ENIQ PREWRA]AET UDA^NU@ STRUKTURNU@ MODELX, PO SU]ESTWU, W \^ERNYJ Q]IK".

w TO VE WREMQ DLQ URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI

@u = a@2u @t @x2

RE[ENIE W WIDE RAZLOVENIQ W LEE TUMANNYJ SMYSL. mOVNO,

RQD fURXE PO sin; cos IMEET GORAZDO BO- KONE^NO, GOWORITX O TEPLOWYH WOLNAH I

12

T. P., NO WSE-TAKI PROCESS RASPROSTRANENIQ TEPLA IMEET MONOTONNYJ HA- RAKTER. i NE SLU^AJNO RE[ENIQ MNOGIH KRAEWYH ZADA^ DLQ URAWNENIQ TEPLOPROWODNOSTI, ZAPISANNYE W WIDE RQDOW fURXE, O^ENX PLOHO SHODQT- SQ. nASTOLXKO PLOHO, ^TO PRIHODITSQ DOGADYWATXSQ, KAK WYDELITX W ZA- MKNUTOM WIDE PLOHO SHODQ]U@SQ ^ASTX.

hORO[EJ PARALLELX@ K WY[ESKAZANNOMU QWLQETSQ ISTORI^ESKOE \PRO- TIWOSTOQNIE" SISTEMY MIRA pTOLEMEQ I SISTEMY MIRA kOPERNIKA [4]. zAMETIM, ^TO S ^ISTO MATEMATI^ESKOJ TO^KI ZRENIQ OBE SISTEMY ABSO- L@TNO \KWIWALENTNY! w SAMOM DELE, DOBAWLENIE DOSTATO^NOGO KOLI-

^ESTWA \PICIKLOW I DIFERENTOW POZWOLQET DOBITXSQ W SISTEME pTOLEMEQ SKOLX UGODNO WYSOKOJ TO^NOSTI OPISANIQ WIDIMOGO POLOVENIQ PLANET I IH SPUTNIKOW W sOLNE^NOJ SISTEME. dRUGOE DELO, ^TO \TA SISTEMA BOLX[E NI^EGO OPISATX NE MOVET, I, TEM BOLEE, S EE POMO]X@ NI^EGO NELXZQ PRO- GNOZIROWATX, TOGDA KAK NA OSNOWE SISTEMY kOPERNIKA MOVNO NAJTI WSE PARAMETRY ORBIT WSEH OB_EKTOW sOLNE^NOJ SISTEMY, A TAKVE OBNARUVI- WATX E]E NE NAJDENNYE OB_EKTY (WSPOMNITE OTKRYTIE PLANETY nEPTUN \NA KON^IKE PERA"). tEM NE MENEE, I W TOJ, I W DRUGOJ SISTEME UTO^NENIE PROIZWODITSQ, PO SU]ESTWU, METODAMI TEORII WOZMU]ENIJ, ^TO I PRIWELO

K IZWESTNYM TRUDNOSTQM W RE[ENII ZADA^I OB USTOJ^IWOSTI sOLNE^NOJ SISTEMY { W RAZLOVENIQH POQWLQ@TSQ WEKOWYE (SEKULQRNYE) ^LENY WIDA t sin t I T. P.

pO\TOMU ODNOJ IZ ZADA^ SPECIALISTA PO MATEMATI^SKOMU MODELIROWA- NI@ QWLQETSQ POSTROENIE PROMEVUTO^NYH MODELEJ, IME@]IH QSNYJ FIZI^ESKIJ SMYSL I RE[ENIE MODELXNYH URAWNENIJ W ZAMKNUTOM ANA- LITI^ESKOM WIDE. pRIMEROM BOLX[OGO USPEHA, DOSTIGNUTOGO W DANNOM NAPRAWLENII, QWLQETSQ POSTROENIE MODELXNYH ORBIT W TEORII DWIVENIQ ISKUSSTWENNYH SPUTNIKOW zEMLI [5]. kAK IZWESTNO, SPUTNIK \W OSNOWNOM" DWIVETSQ PO ZAKONAM kEPLERA, ODNAKO NA NEGO DEJSTWU@T WOZMU]A@]IE SILY:

1)NECENTRALXNOSTX POLQ TQGOTENIQ zEMLI;

2)TORMOZQ]AQ ATMOSFERA zEMLI;

3)WLIQNIE sOLNCA I lUNY, \SOLNE^NYJ WETER".

tRETXIM FAKTOROM DLQ NEWYSOKOJ ORBITY MOVNO PRENEBRE^X, WTOROJ FAKTOR NOSIT STOHASTI^ESKIJ HARAKTER (NE GOWORQ UVE O TOM, ^TO DNEW- NAQ I NO^NAQ PLOTNOSTX ATMOSFERY MOVET OTLI^ATXSQ NA PORQDOK), PO- \TOMU OBY^NO WY^ISLQETSQ \TREND", I WLIQNIE ATMOSFERY U^ITYWAETSQ WWEDENIEM POPRAWOK, TEM BOLEE, ^TO \TO WLIQNIE IMEET MONOTONNYJ HA- RAKTER. a WOT PERWYJ FAKTOR DEJSTWUET PRAKTI^ESKI NA WSE PARAMETRY ORBITY, I U^ET EGO DLQ BOLX[INSTWA ORBIT SPUTNIKOW PREDSTAWLQET SO- BOJ DOWOLXNO SLOVNU@ ZADA^U. tERMIN \PARAMETRY ORBITY" POQWILSQ

13

ZDESX NE SLU^AJNO { WMESTO \BYSTRYH" PEREMENNYH x(t); y(t); z(t); x(t);

y(t); z(t) ILI IH ANALOGOW W DRUGIH SISTEMAH KOORDINAT OBY^NO ISPOLX-

ZU@TSQ PARAMETRY OSKULIRU@]EJ ORBITY { BOLX[AQ POLUOSX ORBI-

TY a(t), \KSCENTRISITET ORBITY e(t), DOLGOTA WOSHODQ]EGO UZLA (t), NAKLONENIE ORBITY i(t), ARGUMENT PERIGEQ !(t) I, W KA^ESTWE \FIKSA- TORA" POLOVENIQ DWIVU]EJSQ TO^KI NA \LLIPSE, NAPRIMER, \KSCENTRI- ^ESKAQ ANOMALIQ E(t). nAPOMNIM, ^TO OSKULIRU@]EJ NAZYWAETSQ MGNO- WENNAQ \LLIPTI^ESKAQ (KEPLEROWA) ORBITA, PO KOTOROJ NA^NET DWIGATX- SQ SPUTNIK, ESLI W DANNYJ MOMENT IS^EZNUT WSE WOZMU]A@]IE SILY. eSTESTWENNO, PARAMETRY OSKULIRU@]EJ ORBITY QWLQ@TSQ \MEDLENNYMI" PEREMENNYMI, ^TO SU]ESTWENNO OBLEG^AET IH WY^ISLENIE I ANALIZ.

gRAWITACIONNYJ POTENCIAL zEMLI MOVNO PREDSTAWITX W SLEDU@]EJ

FORME		(1 + n=2 m=0 Inm	r0			Pnm			cos m( nm)) : (9)
U =	r							r
	f M	1 n		R		n		z
		X X

zDESX r; z; { TEKU]IE CILIDRI^ESKIE KOORDINATY TO^KI (NA^ALO KOOR- DINAT SOWPADAET S CENTROM MASS zEMLI, ZA OSNOWNU@ PLOSKOSTX PRINQTA \KWATORIALXNAQ PLOSKOSTX zEMLI), M { MASSA zEMLI, R0 { SREDNIJ \K- WATORIALXNYJ RADIUS zEMLI, f { GRAWITACIONNAQ POSTOQNNAQ, Inm, nm { POSTOQNNYE WELI^INY, ZAWISQ]IE OT GEOMETRII MASS zEMLI, Pnm { PRISOEDINENNYE FUNKCII lEVANDRA.

oB]AQ OGRANI^ENNAQ ZADA^A NEBESNOJ MEHANIKI (A IMENNO TAKU@ ZA-

DA^U MY DOLVNY RE[ITX DLQ POISKA ORBITY ISKUSSTWENNOGO SPUTNIKA zEMLI) OPREDELQETSQ SLEDU@]EJ SISTEMOJ DIFFERENCIALXNYH URAWNE-

NIJ DWIVENIQ:					!2y =	@U@y	;	(10)
8 y• + 2!x
>	x• 2!y !2x =					@U@x	;
			@U
<	•f M @z
>
:	z = ;
U =				+ R(x; y; z; t; );				(11)
		r
GDE r { RADIUS-WEKTOR DWIVU]EJSQ TO^KI,						! { UGLOWAQ SKOROSTX WRA-
]ENIQ SISTEMY KOORDINAT, R { PERTURBACIONNAQ FUNKCIQ,								{ MALYJ

PARAMETR. o^EWIDNO, POTENCIAL (9) UDOWLETWORQET USLOWIQM POSTANOWKI ZADA^I, TAK KAK I20 = (1082; 48 0; 04) 10 6, A WSE OSTALXNYE PARAMETRY Inm E]E NA TRI PORQDKA MENX[E.

sOWER[ENNO O^EWIDNO, ^TO NAJTI RE[ENIE SISTEMY (10) W OB]EM WI- DE NEWOZMOVNO, TEM BOLEE ESLI U^ESTX, ^TO WELI^INY Inm; nm IZWESTNY PRIBLIVENNO I, WOOB]E GOWORQ, MOGUT MENQTXSQ. pO\TOMU ZADA^A POSTRO- ENIQ PROMEVUTO^NOJ ORBITY (PROMEVUTO^NOJ MODELI) SOSTOIT W TOM,

14

^TOBY PODOBRATX WID POTENCIALA (11), KOTORYJ UDOWLETWORQL BY SLEDU- @]IM USLOWIQM:

A) PERWYE KO\FFICIENTY RAZLOVENIQ PERTURBACIONNOJ FUNKCII SOWPA- DA@T S TAKOWYMI W FORMULE (9), OSTALXNYE IME@T TOT VE PORQDOK WELI^INY;

B) SISTEMA (10) PRI TAKOJ PERTURBACIONNOJ FUNKCII RE[AETSQ ANALI- TI^ESKI W ZAMKNUTOM WIDE.

kAK PRAWILO, PRI PODBORE POTENCIALA PRENEBREGA@T DOLGOTNYMI ^LENA- MI, TAK KAK NAIBOLX[EE WLIQNIE OKAZYWA@T [IROTNYE ^LENY (In0 { TAK NAZYWAEMYE ZONALXNYE GARMONIKI RAZLOVENIQ), PO\TOMU W FORMULE (9) POLAGA@T m = 0.

1. zADA^A DWUH NEPODWIVNYH CENTROW. |TA ZADA^A SOSTOIT W IZU-

^ENII DWIVENIQ PASSIWNO GRAWITIRU@]EJ MATERIALXNOJ TO^KI, PRITQ- GIWAEMOJ DWUMQ NEPODWIVNYMI TO^E^NYMI MASSAMI PO ZAKONU nX@TONA. pOTENCIAL W \TOM SLU^AE RAWEN

U =

f M1

+

f M2

;

M1 + M2 = M;

(12)

r1

r2

GDE

r1 = p

r2 = p

PRI^EM

x2 + y2 + (z a1)2

;

x2 + y2 + (z a2)2

;

2M2c

2M1c

a1 =

; a2 =

:

M1 + M2

M1 + M2

pARAMETRY M1; M2; c WYBIRA@TSQ TAK, ^TOBY POTENCIAL (12) WOZMOVNO MENEE OTLI^ALSQ BY OT POTENCIALA (9). rAZLAGAQ (12) W RQD, ANALOGI^- NYJ (9), MOVNO UBEDITXSQ, ^TO NADLEVA]IM WYBOROM PARAMETROW MOVNO DOBITXSQ RAWENSTWA AMPLITUD 2-J I 3-J GARMONIK I20; I30, TOGDA KAK ^ET- WERTAQ GARMONIKA APPROKSIMIRU@]EGO POTENCIALA OTLI^AETSQ OT ISTIN- NOJ ZNAKOM. zADA^A INTEGRIROWANIQ URAWNENIJ DWIVENIQ S POTENCIALOM (12) DLQ PLOSKOGO SLU^AQ BYLA RE[ENA |JLEROM, DLQ PROSTRANSTWENNOGO { lAGRANVEM I qKOBI. oDNAKO NADO U^ESTX, ^TO ^ETWERTAQ GARMONIKA DA- ET W NEKOTORYH OSKULIRU@]IH PEREMENNYH WEKOWYE NERAWENSTWA, PO\TO-

MU ZADA^A DWUH NEPODWIVNYH CENTROW PRIEMLEMA LI[X DLQ DOSTATO^NO DALEKIH SPUTNIKOW zEMLI. zAMETIM TAKVE, ^TO PRI \WOL@CII ORBITY ARGUMENT PERIGEQ ! MOVET PRETERPEWATX SKA^OK NA (RAZRYW PERWOGO RODA), ^TO TOVE SU]ESTWENNO OSLOVNQET WSE WY^ISLENIQ.

2. sPOSOB gARFINKELQ. dLQ U^ETA OSNOWNYH \FFEKTOW, OBUSLOWLEN- NYH NESFERI^NOSTX@ zEMLI (W ^ASTNOSTI, BYSTRYE WEKOWYE DWIVENIQ

15

WOSHODQ]EGO UZLA I PERIGEQ) b. gARFINKELX PREDLOVIL ISKATX POTENCI-

AL W WIDE

(')

U (r; ') = f (r) + r2 :

w \TOM SLU^AE (W SFERI^ESKIH KOORDINATAH r; '; ) RE[ENIE SISTEMY MOVNO NAJTI W KWADRATURAH. tEM NE MENEE ZAMETIM, ^TO W ZADA^E gAR- FINKELQ U^ITYWA@TSQ TOLXKO WOZMU]ENIQ OT WTOROJ ZONALXNOJ GARMONI- KI. pOPYTKA U^ESTX BOLEE WYSOKIE GARMONIKI PRIWODIT K SU]ESTWENNO- MU USLOVNENI@ PERTURBACIONNOJ FUNKCII, KOTORAQ NA MALYH INTERWA- LAH WREMENI OSTAETSQ MALOJ WELI^INOJ PORQDKA I20e TOLXKO PRI MALOM \KSCENTRISITETE ORBITY.

3. zADA^A bARRARA. r. bARRAR POLU^IL PRIBLIVENNOE WYRAVENIE DLQ GRAWITACIONNOGO POTENCIALA zEMLI, KOMBINIRUQ RAZLOVENIQ NEKO-

TORYH FUNKCIJ W RQDY PO POLINOMAM lEVANDRA I ISHODQ IZ SLEDU@]IH PREDPOLOVENIJ: A) PLANETA PREDSTAWLQET SOBOJ ABSOL@TNO TWERDOE TELO I OBLADAET OSX@ DINAMI^ESKOJ SIMMETRII; B) PLANETA WRA]AETSQ WOKRUG OSI, SOWPADA@]EJ S NAIMENX[EJ OSX@ CENTRALXNOGO \LLIPSOIDA WRA]E- NIQ. pOTENCIAL MOVNO ZAPISATX W WIDE

U = f M f (A C)(x2 + y2 2z2): r 2r5

oDNAKO SISTEMA URAWNENIJ DWIVENIQ S TAKIM POTENCIALOM NE INTEGRI- RUETSQ W KWADRATURAH. pO\TOMU OBY^NO DELAETSQ E]E ODNO PRIBLIVENIE I PEREHOD K SFERI^ESKIM KOORDINATAM. tOGDA POLU^AETSQ SLEDU@]EE WY-

RAVENIE

U = f M f M zc sin '; r r2

GDE zc = 209; 9 KM. sISTEMA S TAKIM POTENCIALOM UVE BUDET INTEGRI- ROWATXSQ W KWADRATURAH. oDNAKO I \TOT PODHOD NE POLU^IL [IROKOGO RASPROSTRANENIQ, TAK KAK WSKORE BYLA PREDLOVENA OBOB]ENNAQ ZADA^A DWUH NEPODWIVNYH CENTROW.

4. oBOB]ENNAQ ZADA^A DWUH NEPODWIVNYH CENTROW. rASSMOTRIM POTENCIAL (12), PREDPOLAGAQ, ^TO POSTOQNNYE a1; a2; M1; M2 { NE WE]E- STWENNYE, KAK SLEDUET S^ITATX IZ IH MEHANI^ESKOGO SMYSLA, A KOMPLEKS- NYE: WOOB]E GOWORQ, KONKRETNYJ MEHANI^ESKIJ SMYSL, ISHODQ IZ SU]E- STWA ZADA^I, IME@T IH SUMMY { WELI^INY M1 + M2 = M I a1 + a2 = a DOLVNY (!) BYTX WE]ESTWENNY. w SOOTWETSTWII S FORMULAMI RAZLOVENIQ

POTENCIALA (12) POLU^IM		"1 + n=1 rnn Pn			r #
U =	r							;
	f M	1				z
		X

16

GDE	M1a1n + M2a2n
n =		:
	M

eSLI NA^ALO KOORDINATNOJ SISTEMY WZQTX W CENTRE INERCII PLANETY, TO PERWOJ SFERI^ESKOJ GARMONIKI NE DOLVNO BYTX, T. E. NADO POLOVITX1 = 0. oSTALOSX POTREBOWATX, ^TOBY Im M = 0, Im n = 0; n = 2; 3; : : :. pOLU^IW[AQSQ SISTEMA ALGEBRAI^ESKIH URAWNENIJ IMEET DWA RE[E-

NIQ. pERWOE { KOMPLEKSNOE I SOOTWETSTWUET ZNA^ENIQM

8 M1

= 2 (1 + i );

a1 = c( + i);

>

M

M

>

< M2

= (1

i );

a2 = c(

i);

>

2

:

DEJSTWITELXNOE RE[ENIE

WTOROE DAET

>

= M ;

= a(1 );

M2

a2

M1

= M (1

); a1

= a ;

GDE = M2=M .

pERWOE RE[ENIE DAET O^ENX UDA^NU@ APPROKSIMACI@ POTENCIALA zEM-

LI { MOVNO TO^NO ZADATX PARAMETRY I20

I I30

p

I32 4I23

2I2

c =

I32 4I23

R; =

I3

;

4

2

)(1 3

2

OKAZYWAETSQ O^ENX BLIZKIM K

PRI \TOM ZNA^ENIE 4 = c

(1 +

) p

I40 I SOWPADA@]IM PO ZNAKU. pRI = 0 MY IMEEM ^ASTNYJ SLU^AJ, IZ- WESTNYJ, KAK POTENCIAL m. d. kISLIKA. oN NE U^ITYWAET ASIMMETRI@ zEMLI OTNOSITELXNO \KWATORIALXNOJ PLOSKOSTI, HOTQ I W \TOM SLU^AE PROMEVUTO^NYE ORBITY DA@T HORO[EE SOGLASIE S NABL@DENIQMI. mOVNO POKAZATX, ^TO WSE OSTALXNYE APPROKSIMIRU@]IE POTENCIALY, KROME PO- TENCIALA gARFINKELQ, QWLQ@TSQ ^ASTNYMI SLU^AQMI OBOB]ENNOJ ZADA^I DWUH NEPODWIVNYH CENTROW, KOTORAQ INTEGRIRUETSQ W SVATYH SFEROI- DALXNYH KOORDINATAH W TERMINAH \LLIPTI^ESKIH INTEGRALOW.

1.6.aNALOGIQ

w ZAKL@^ENIE RAZDELA OB OB]IH PRINCIPAH MODELIROWANIQ UMESTNO OSTANOWITXSQ NA ANALOGII { MO]NOM, NO \OBO@DOOSTROM" INSTRUMENTE. zAMETIM, ^TO WO MNOGOM IMENNO NA ANALOGII BAZIRUETSQ PRINCIP EDIN- STWA I MNOVESTWENNOSTI MODELEJ, TO^NEE, TA EGO SOSTAWLQ@]AQ, KOTORAQ

DEKLARIRUET WOZMOVNOSTX ODNIM I TEM VE URAWNENIEM OPISYWATX SAMYE RAZNOOBRAZNYE QWLENIQ IZ RAZLI^NYH OBLASTEJ ESTESTWOZNANIQ.

17

aNALOGIQ USPE[NO PRIMENQETSQ W TEH SLU^AQH, KOGDA ISHODNYE PRED- POLOVENIQ PRI POSTROENII RAZNYH MODELEJ SOWPADA@T. tAK, KLASSI- ^ESKAQ (LINEJNAQ) MATEMATI^ESKAQ FIZIKA OPIRAETSQ NA UDIWITELXNO NEBOLX[OE ^ISLO MODELXNYH URAWNENIJ [6], PRI^EM SOSTAWNOJ ^ASTX@ BOLX[INSTWA IZ NIH OKAZYWAETSQ OPERATOR lAPLASA, KOTORYJ W DEKARTO-

WYH KOORDINATAH ZAPISYWAETSQ W WIDE

=	@2	+	@2	+	@2	:
	@x2		@y2		@z2

nAPRIMER, DLQ L@BOGO POTENCIALXNOGO (BEZWIHREWOGO) WEKTORNOGO POLQ u(x; y; z) I PLOTNOSTX@ ISTO^NIKOW f (x; y; z) WYPOLNQ@TSQ SOOTNO[ENIQ

(

div u = f (x; y; z); rot u = 0:

wOSPOLXZOWAW[ISX TOVDESTWOM rot grad ' 0, SPRAWEDLIWYM DLQ PRO- IZWOLXNOGO SKALQRNOGO POLQ '(x; y; z), WWODIM POTENCIAL PO FORMULE u = grad ' I POLU^AEM DLQ NEGO URAWNENIE pUASSONA

' = f (x; y; z);	(13)
ILI, W OTSUTSTWIE ISTO^NIKOW, URAWNENIE lAPLASA
' = 0:	(14)

uRAWNENIQ (13) I (14) OPISYWA@T STACIONARNYE PROCESSY { RASPREDE- LENIE TEMPERATURY WNUTRI NEKOTOROGO TELA (' { SKALQRNOE POLE TEMPE- RATUR, f (x; y; z) { WELI^INA, PROPORCIONALXNAQ PLOTNOSTI TEPLOWYH IS- TO^NIKOW), POTENCIALXNOE TE^ENIE VIDKOSTI (' { POTENCIAL SKOROSTI), \LEKTRI^ESKOE POLE STACIONARNYH ZARQDOW (' { \LEKTRI^ESKIJ POTENCI- AL, f (x; y; z) = 4 , GDE { OB_EMNAQ PLOTNOSTX ZARQDOW) I MNOVESTWO DRUGIH.

dOBAWIW K ISHODNYM PREDPOLOVENIQM ZAKON fURXE I ZAPISAW URAWNE- NIE BALANSA TEPLA, LEGKO MOVNO POLU^ITX NESTACIONARNYJ ANALOG URAW- NENIJ (13) I (14) { URAWNENIE TEPLOPROWODNOSTI, KOTOROE W SLU^AE ODNO-

RODNOJ SREDY IMEET WID

	@'		= a2 ' + f (x; y; z);	(15)
	@t

GDE a2 { KO\FFICIENT TEMPERATUROPROWODNOSTI. uRAWNENIE (15) QWLQETSQ ODNIM IZ SAMYH IZWESTNYH \WOL@CIONNYH URAWNENIJ, T. E. URAWNENIJ, RE[ENIE KOTORYH (\WOL@CIQ PROCESSA WO WREMENI) POLNOSTX@ OPREDE- LQETSQ EDINSTWENNYM NA^ALXNYM ZNA^ENIEM { SOSTOQNIEM W NA^ALXNYJ

18

MOMENT WREMENI '(t0) = '0(x; y; z). aBSOL@TNO ANALOGI^NO WYGLQDIT URAWNENIE DIFFUZII (PRI POSTOQNNOM KO\FFICIENTE DIFFUZII I S U^E- TOM ZAKONA nERNSTA) I NESTACIONARNOE URAWNENIE {R•EDINGERA (POSLE OTOVDESTWLENIQ FIZI^ESKIH WELI^IN S SOOTWETSTWU@]IMI OPERATORAMI, O NEM SM. P. 2.2).

dLQ NEODNORODNYH SRED MODELX NEMNOGO USLOVNQETSQ, TAK KAK WME- STO LAPLASIANA POQWLQETSQ OPERATOR S PEREMENNYMI KO\FFICIENTAMI, I URAWNENIE (15) PRIOBRETAET WID

c @'@t = div (k grad ') + F (x; y; z; t):

zDESX k = k(x; y; z) { KO\FFICIENT TEPLOPROWODNOSTI, c { TEPLOEMKOSTX EDINICY OB_EMA (LEGKO WIDETX, ^TO W URAWNENII (15) a2 = k=c ).

nAKONEC, RASSMATRIWAQ POSTROENIE URAWNENIJ, OPISYWA@]IH WOLNY, ZAMETIM, ^TO ^ASTO a priori PREDPOLAGA@T, ^TO RE[ENIE PREDSTAWLQET SOBOJ SUPERPOZICI@ BEGU]IH WOLN { PRQMOJ I OBRATNOJ. eSLI POTREBO- WATX, ^TOBY SUPERPOZICIQ BYLA LINEJNOJ, TO LOGI^NO ISKATX RE[ENIE W

WIDE
	u = ( ) + ( );		(16)
GDE ,	{ WOLNOWYE ARGUMENTY, RAZLI^A@]IESQ ZNAKOM PERED PEREMEN-
NOJ t,	NAPRIMER, W SLU^AE ODNOJ PROSTRANSTWENNOJ PEREMENNOJ
	= x + vt;	= x vt:	(17)

fUNKCIQ (16) QWLQETSQ OB]IM RE[ENIEM GIPERBOLI^ESKOGO URAWNENIQ

@2u = 0;

@@

KOTOROE PREOBRAZOWANIEM (17) PRIWODITSQ K URAWNENI@ KOLEBANIJ STRU-

NY

@2u = v2 @2u: @t2 @x2

zAMETIM, ^TO TO^NO TAKOE VE URAWNENIE POLU^AETSQ, ESLI ISHODITX IZ FUNDAMENTALXNYH FIZI^ESKIH ZAKONOW, DOBAWIW K NIM ZAKON gUKA I PRED- POLOVENIE O MALOSTI OTKLONENIQ STRUNY OT POLOVENIQ RAWNOWESIQ (T. E. RASSMATRIWA@TSQ MALYE KOLEBANIQ STRUNY).

w SLU^AE TREH PROSTRANSTWENNYH PEREMENNYH NEODNORODNOE WOLNOWOE URAWNENIE (URAWNENIE dALAMBERA) IMEET WID

1 @2u
u v2 @t2	= F (x; y; z; t):	(18)

19

k DWUM URAWNENIQM WIDA (18) { ODNOMU SKALQRNOMU I ODNOMU WEKTORNOMU OTNOSITELXNO \LEKTRI^ESKOGO I MAGNITNOGO POTENCIALA { PRIWODITSQ SI- STEMY URAWNENIJ mAKSWELLA DLQ \LEKTROMAGNITNOGO POLQ. eSLI PRAWAQ ^ASTX F (x; y; z; t) QWLQETSQ PERIODI^ESKOJ FUNKCIEJ WREMENI

F (x; y; z; t) = F0(x; y; z)ei!t;

PODSTANOWKA u = wei!t PEREWODIT URAWNENIE (18)			W URAWNENIE gELXM-
GOLXCA	k = v		:	(19)
w + k2w = F0(x; y; z)
		!

uRAWNENI@ (19) UDOWLETWORQET AMPLITUDA WOLNY W PROSTRANSTWE.

eSLI W URAWNENII (18) F = 0, I v = c (c { SKOROSTX SWETA), TO \TO URAWNENIE OPISYWAET RASPROSTRANENIE \LEKTROMAGNITNYH WOLN (W ^AST- NOSTI, SWETA) W WAKUUME. pODSTANOWKA x = x1, y = x2, z = x3, ict = x4 PEREWODIT GIPERBOLI^ESKOE WOLNOWOE URAWNENIE W \LLIPTI^ESKOE URAWNE- NIE lAPLASA W 4-MERNOM PROSTRANSTWENNO-WREMENNOM KONTINUUME (\MIR mINKOWSKOGO")

	@2u @2u @2u @2u
4u =		+		+		+			= 0:
	@x2		@x2		@x2		@x2
	1		2		3		4

tAKIM OBRAZOM OKAZYWAETSQ, ^TO KOLI^ESTWO OSNOWNYH MODELXNYH URAWNENIJ W KLASSI^ESKOJ MATEMATI^ESKOJ FIZIKI NE PREWOSHODIT DE- SQTI, I MNOGO^ISLENNYE QWLENIQ I PROCESSY OPISYWA@TSQ NA OSNOWE GLU- BOKIH ANALOGIJ MEVDU RAZLI^NYMI OTRASLQMI PRIKLADNYH NAUK.

aNALOGII W PRIWEDENNYH WY[E PRIMERAH OSNOWANY ISKL@^ITELXNO NA FUNDAMENTALXNYH ZAKONAH I NA WYBRANNYH ISHODNYH PREDPOLOVENI- QH. zNA^ITELXNO SLOVNEE SITUACIQ W SLU^AQH, KOGDA FUNDAMENTALXNYJ ZAKON IMEET, KROME KOLI^ESTWENNOJ, KA^ESTWENNU@ SOSTAWLQ@]U@. tA- KOJ HARAKTER IMEET, NAPRIMER, PERIODI^ESKAQ SISTEMA \LEMENTOW mEN- DELEEWA. oNA USTANAWLIWAET FUNDAMENTALXNU@ SISTEMATIKU HIMI^ESKIH

\LEMENTOW I DEKLARIRUET RQD WOZMOVNYH SWOJSTW \LEMENTOW I TENDENCII IH IZMENENIQ PRI ROSTE IH ATOMNOGO WESA. zDESX PRIMENENIE ANALOGII MOVET PRIWESTI K GRUBOJ O[IBKE. tAK, W 60-H GODAH XX WEKA SOOB]ALOSX, ^TO SOLX SEMIWALENTNOGO RENIQ KReO4 PRI INTENSIWNOM WOSSTANOWLENII METALLI^ESKIM KALIEM W WODNO-\TILENDIAMINOWOJ SREDE SPOSOBNA PEREJTI W SOEDINENIE, W KOTOROM RENIJ OTRICATELXNO ODNOWA- LENTEN (!) [7]. tAKOJ WYWOD SDELAN NA OSNOWANII ANALOGII S SOEDINENIQ- MI \LEMENTOW PODGRUPPY GALOGENOW (HOTQ RENIJ QWLQETSQ \LEMENTOM NE GLAWNOJ, A POBO^NOJ PODGRUPPY). dALXNEJ[IE ISSLEDOWANIQ WYQWILI NA- LI^IE W PRODUKTE REAKCII IONOW OTRICATELXNO ODNOWALENTNOGO WODORODA,

20