Расчетная работа по Теории поля(векторный анализ) 6 вариант

8 _ 01_ 06

u = x y - yz2 , S : x2 + y2 = 4z, M (2, 1, -1).

F (x, y, z) = 4z - x2 - y2

nAtiGTU

UUR

¶F ;

¶F ;

¶F

.

нормальк поверхности S : N

= grad F (x, y, z) =

¶x

¶y

¶z

¶F = -2x; ¶F = -2 y;

¶F = 4

¶x

¶y

¶z

¶F (M ) = -4;

¶F (M ) = -2;

¶F (M ) = 4

¶x

¶y

¶z

UUR

UUR

= 6 cosα = -2 / 3;cos β = -1/ 3; cos γ = 2 / 3

N (M ) = (-4; -2; 4);

N (M )

¶U = y ;

¶U = x ×

1

- z2 ;

¶U = -2 yz

¶x

¶y

2

y

¶z

¶U (M ) = 1; ¶U (M ) = 0; ¶U (M ) = 2

¶x

¶y

¶z

¶U

¶U

¶U

¶U

¶

-2

2

2

UUR

=

¶x

cosα +

¶y

cos β

+

cos γ

UUR

|M

=

1×

3

+ 2

×

3

=

3

¶N

¶z

¶N

Скачано

с

ru

8 _ 02 _ 06

y2

z2

1

2

.

V = 3 2x2 -

- 3 2z2 , U =

,

M

, 2,

.

2

2

xy

3

3

¶V = 6 2x

ntiGTA U

¶x

¶V = - 2 y

¶y

¶V = -6 2z

¶z

¶U =

-z2

x2 y2

¶x

¶U = -2z2

¶y

xy3

¶U =

2z

xy2

¶z

gradV = {¶V ;

¶V ;

¶V };gradU = {¶U ;

¶U ;

¶U }

¶x

¶y

¶z

¶x

¶y

¶z

gradV (M ) = {2 2; -2

2; -4 3};

gradV (M )

=

-4 3

2 = 64 = 8

-3 -1 3

-3 2

-1 2

3

gradU (M ) = {

;

;

};

gradU (M )

=

+

+

= 2

2

2

2

2

2

2

2 2 × -3 + 2 - 4 3 ×

3

gradV (M )

× gradU (M )

= - 1

cosα

=

=

2

2

Скачано

8 × 2

gradV (M )

× gradU (M )

2

1

3π

α = arccos(cosα ) = arccos -

=

с

4

2

ru

8 _ 03 _ 06

a = 3xi + 6zk

дифференциальные уравнения векторных линий поля a

dx

=

dy

=

dz

6z

3x

0

dx

=

dz

dx

=

dz

2

6z

x

z

3x

= 0

dy

dy = 0

		2
	z = C1 × x
	y = C2

Скачано

2 ln x +

y = C2

с

	AntiGTU
ln C1	= ln z		2	) = ln z
		l (C1	× x
		y = C2

.

ru

8 _ 05 _ 06 _1

a = xi + yj + zk

.

P :

x 2 + y + z = 1

R

= {1/ 2;1;1};

R

= nx2

+ ny2

+ nz2

=

3

AntiGTU

n

n

2

n

1

ny

2

n

2

cosα =

=

; cos β =

=

;cos γ =

=

Rx

R

Rz

n

3

n

3

n

3

2

3

dS = 1 + zx¢ 2 + z¢y

dx dy = 1 + -1/ 2 2 + -1 2 dx dy =

dx dy

R R

2

П = ∫∫ andS = ∫∫ (ax cosα + ay cos β + az cos γ )dS =

S

S

1

2

2

3

1

(2ax + ay + az )dx dy =

= ∫∫ ax

+ ay

+ az

dx dy =

∫∫

3

3

2

D

3

2 D

xy

xy

=

1

∫∫ (2x + y + z ) dx dy =

1

∫∫ (2x + y + (1 - y - x / 2)) dx dy =

2 D

xy

2 D

xy

1

∫∫ (3x / 2

+1)dx dy =

1

2

(2− x ) / 2

1

2

3xy

(2− x ) / 2

=

∫ dx ∫ (3x / 2 +1) dy =

∫ dx

+ y

|

=

2

2

2 D

xy

0

0

0

2

0

1

2

3x

2

1

x

2

3x

3

2

1

=

∫

1 + x -

dx

=

x +

-

|

=

× 2 = 1

2

0

4

2

2 4 × 3 0

2

Скачано

с

ru

8_05_06_2			.	ru
Проекция на плоскость OXY
Скачано	с	AntiGTU

8 _ 07 _ 06 _1

R

R

- (ex

R

R

a = (6x - cos y)i

+ z) j - (2 y +

3z)k

2

+ y

2

= z

2

S : x

AntiGTU

z = 1, z = 2

Т.к. поверхность замкнутая, то воспользуемся формулой

Остроградского - Гаусса

¶ax

¶ay

¶az

П = ∫∫ a × n × dσ = ∫∫∫ div a dx dy dz = ∫∫∫

+

+

dx dy dz =

¶x

¶y

¶z

σ

V

V

= ∫∫∫(6 - 3)dx dy dz = 3∫∫∫ dx dy dz =

x = r cosϕ

=

V

V

y = r sin ϕ

2π

2

2

2π

1

1

2π

2

2π

1

= 3 ∫ dϕ ∫ rdr ∫ dz - 3 ∫ dϕ ∫ rdr ∫ dz = 3 ∫ dϕ ∫ (2r - r 2 )dr - 3 ∫ dϕ ∫ (r - r 2 )dr =

0

0

r

0

0

r

0

0

0

0

2π

r

3

2

2π

2

r

3 1

2π

4

2π

1

= 3 ∫ dϕ r 2

-

|

- 3 ∫ dϕ

r

-

| = 3 ∫

dϕ - 3 ∫

dϕ =

3

6

0

3 0

0

2 3 0

0

0

2π

1

2π

1

= 4 ∫ dϕ -

∫ dϕ = 4 × 2π -

× 2π = 7π

0

2

0

2

Скачано

с

.

ru

8_07_06_2						ru
Проекция на OXY					.
2
1
0
1
2
2	1	0	1	2
Скачано			с	AntiGTU

8 _ 08 _ 06

a = xi - ( x + 2 y ) j + yk,

2

+ y

2

= 1, z = 0,

S : x

x + 2 y + 3z = 6.

ntiGTA U

Т.к поверхность замкнутая, товоспользуемся формулой

.

Остроградского - Гаусса

¶a

x

¶ay

¶a

z

П = ∫∫ a × n × dS = ∫∫∫ div a dx dy dz = ∫∫∫

+

+

dx dy dz =

¶x

¶y

¶z

S

V

V

= ∫∫∫(1 - 2) dx dy dz = -∫∫∫ dx dy dz =

x = r cosϕ

=

V

V

y = r sin ϕ

2π

1

2−r cos ϕ / 3−2r sin ϕ / 3

2π

1

r cosϕ

2r s

ϕ

= -

∫

dϕ

∫

r dr

∫

dz = -

∫

dϕ

∫

2

-

-

3

3

r

dr =

0

0

0

0

0

2π

1

r

2

cosϕ

2r

2

sin ϕ

2π

- r

3

cosϕ

- 2r

3

s

ϕ

1

= - ∫ dϕ ∫

2r -

-

dr

= - ∫ dϕ

r 2

|

=

3

3

9

9

0

0

0

0

2π

cosϕ

2sin ϕ

sin ϕ

2

2π

= -

∫

1

-

-

dϕ

= - ϕ -

+

cosϕ

|

= -2π

9

9

9

9

0

0

Скачано

с

ru

8 _10 _ 06

F = ( x + y )i + ( x - y ) j,

L : y = x2 ,

M (-1,1), N (1,1).

	1
A = ∫ (Fx dx+ Fy	dy) = ∫ (x + x2 + (x - x2 ) × 2x) dx
L	−1
1	1

= ∫ (x + x2 + 2x2 - 2x3 ) dx = ∫ (x + 3x2 - 2x3 ) dx

−1 −1

Скачано	с

AntiGTU
=
		2		x	4		1
=		x	+ x3 -				|	= 2
		2	2				−1

.

ru

	8 _11_ 06 _1
	a = 2 yi - 3xj + xk,
	x = 2 cos t, y =		2sin t,
	Г :	- 2sin t.
	z = 2 - 2 cos t			AntiGTU
	dx = -2sin t;dy = 2 cos t;dz = (2sin t - 2 cos t) dt

		∫	dx+ ay dy+ az dz) =
Ц = (ax
		Г
	2π	(2 × 2sin t(-2sin t) - 3 × 2 cos t × 2 cos t + 2 cos t(2s n t - 2 cos t))dt =
= ∫
	0
=	2∫π (-8sin2 t -12 cos2 t + 4sin t cos t - 4 cos2 t )dt =
	0
	2π	(-4(1 - cos 2t) - 8(1 + cos 2t) + 4sin t cos t )dt =
= ∫
	0
			sin 2t		sin 2t		2		2π	= -24π
=	-4(t -			) - 8(t +		) + 2sin		t	|
			2		2				0
			2 4
		1		2
		0			0
	1							2
2
										4
									с	4
	Скачано									2
										0

.

ru