Курсовик «методы Обработки Экспериментальных Данных» По Математической Статистике (Джваршейшвили И. А

Вариант -17

Интервалы	9,2;9,4	9,4;9,6	9,6;9,8	9,8;10	10;10,2	10,2;10,4	10,4;10,6	10,6;10,8	10,8;11	11;11,2	11,2;11,4
Частоты	5	6	8	13	17	18	15	11	8	5	4

1. Построение интервального и точечного статистических распределений результатов наблюдений. Построение полигона и

гистограммы относительных частот.

Статистические распределения, а также используемые при построении гистограммы плотности относительных частот приведены в таблице 1

В таблице использовались следующие обозначения: i-порядковый номер;

Ii-интервал разбиения; xi-середина интервала Ii4;

ni-частота (количество результатов наблюдений, принадлежащих данному интервалу Ii);

		ni	- относительная частота ( n=∑ n i - объем выборки);
	Wi= n
	Hi=	W i	-плотность относительной частоты (h – шаг разбиения, то
		h
			есть длина интервала Ii);

Таблица 1

		∑ n i=110			, Wi=		ni
Объем выборки									.
							11 0
Контроль ∑W i=1.
Длина интервала разбиения (шаг) h=2,						Hi=		W i			.
							2
	i		li		xi		ni				Wi	Hi
	1		9,2;9,4		9,3		5				0,0455	0,0227
	2		9,4;9,6		9,5		6				0,0545	0,0273
	3		9,6;9,8		9,7		8				0,0727	0,0364
	4		9,8;10		9,9		13				0,1182	0,0591
	5		10;10,2		10,1		17				0,1545	0,0773
	6		10,2;10,4		10,3		18				0,1636	0,0818
	7		10,4;10,6		10,5		15				0,1364	0,0682
	8		10,6;10,8		10,7		11				0,1000	0,0500
	9		10,8;11		10,9		8				0,0727	0,0364
	10		11;11,2		11,1		5				0,0455	0,0227
	11		11,2;11,4		11,3		4				0,0364	0,0182
					∑		110				1,0000

Строим полигон и гистограмму относительных частот

Wi

Полигон относительных частот

рис. 1

0,1800				0,1545	0,1636
0,1600
						0,1364
0,1400
			0,1182
0,1200
							0,1000
0,1000		0,0727						0,0727
0,0800
	0,0545
0,0600									0,0455	0,0364
0,0455
0,0400
0,0200
0,0000
9,3	9,5	9,7	9,9	10,1	10,3	10,5	10,7	10,9	11,1	11,3

xi

Гистограмма относительных частот

рис. 1

Hi

0,0900

0,0800

0,0700

0,0600

0,0500

0,0400

0,0300

0,0200

0,0100

0,0000

9,3

9,5

9,7

9,9

10,1

10,3

10,5

10,7

10,9

11,1

11,3

xi

2. Нахождение точечных оценок математического ожидания и

эксперсии.

В качестве точечных оценок числовых характеристик изучаемой случайной величины используются

–для математического ожидания

x=1 ∑ xi n i=∑ xi Wi - (выборочная средняя);

n i

–для эксперсии

	n−1 ∑i
S 2=	1		( xi−x )2 ni - (исправленная выборочная

эксперсия);

где n- объем выборки, ni- частота значения xi таким образом, в статистических расчетах используют приближенные равенства

MX ≈x , DX≈S2

Нахождение точечных оценок математического ожидания и эксперсии осуществим с помощью расчетной таблицы 2

Таблица 2

i	xi	ni	xi ni	x	i	−x 2 n		i
1	9,3	5	46,5				4,70
2	9,5	6	57				3,56
3	9,7	8	77,6				2,60
4	9,9	13	128,7				1,78
5	10,1	17	171,7				0,49
6	10,3	18	185,4				0,02
7	10,5	15	157,5				0,79
8	10,7	11	117,7				2,03
9	10,9	8	87,2				3,18
10	11,1	5	55,5				3,44
11	11,3	4	45,2				4,24
	∑	110	1130			26,84

x=1130110 =10,27 ; S 2= 26,84109 =0,26

3. Выдвижение гипотезы о распределении случайной величины

При выдвижении гипотезы о законе распределения изучаемой случайной величины будем опираться на внешний вид статистического распределения. Будем руководствоваться тем, что профиль графика плотности теоретического распределения должен соответствовать профилю гистограммы: если середины верхних сторон прямоугольников, образующих гистограмму, соединить плавной кривой, то эта линия представляет в первом приближении график плотности распределения вероятностей.

Нормальное (или гауссовское) распределение с параметром a и 2 ,

где - <a<+ ,			0 :
			1			− x−a 2
f x =					e	2		2
			2

Сравнение построенной гистограммы и графика плотности основных распределений приводит к заключению о предполагаемом (теоретическом) законе распределения — в нашем случае предполагаемый закон распределения — Нормальное распределение.

4.Построение графика теоретической плотности распределения.

Чтобы выписать плотность теоретического (предполагаемого) распределения, нужно определить значения параметров λ и x0 для показательного и подставим их в соответствующую формулу

Распределение случайной величины x

нормальное

MX =a

DX = 2

Поскольку значения математического ожидания и дисперсии неизвестны, то их заменяют соответствующими точечными оценками, то есть используют

			DX ≈S
приближенные равенства	MX ≈x	,		2 , что позволяет найти

значения параметров распределения.

{	x=a ,	}		{		}		}
				10,27=a ,			a=10,27
S2= 2			<=>		0,26= 2		<=> { =0,51

Следовательно, плотность предполагаемого распределения задается формулой:

	1			− x−10,26 2	=0,76 e−1,92 x−10,26 2
f x =				e 2 0,26
		2 3,14 0,51
Теперь необходимо вычислить значения					f xi плотности	f x

при x=xi (в серединах интервалов). Для этого воспользуемся следующей схемой :

x

−x

x

−10,26

1

−

u2i

xi ui=

i

=

i

ui

=

e 2

S

0,51

2

1

1

f xi

=

ui

=

ui ;

S

0,51

значения функции

1

−u2

/2

u =

e

;

2

при u=ui найдем при помощи таблицы.

Приведенные вычисления

f xi реализуем в таблице 3

Таблица 3

	S= 0,51
x= 10,27

			x		−x				1
xi		ui=		i			ui	f xi =		ui
					S				S
	9,3				-1,9		0,0656			0,129
	9,5				-1,51		0,1276			0,250
	9,7				-1,12		0,2131			0,418
	9,9				-0,73		0,3056			0,599
	10,1				-0,33		0,3778			0,741
	10,3				0,06		0,3982			0,781
	10,5				0,45		0,3605			0,707
	10,7				0,84		0,2883			0,565
	10,9				1,24		0,1849			0,363
	11,1				1,63		0,1057			0,207
	11,3				2,02		0,0508			0,100

На одном чертеже (рис.3) строим гистограмму и график теоретической плотности распределения: гистограмма была построена ранее (рис.2), а для

получения графика плотности наносим точки с координатами ( x j ; f x j ) и соединяем их плавной кривой.

					Рис.3
0,180
0,160
0,140
0,120
0,100
0,080
0,060
0,040
0,020
0,000
5	6	8	13	17	18	15	11	8	5	4