18. Импульс и энергия в специальной теории относительности, понятие массы покоя.

Релятивистское выражение для импульса и энергии.

Уравнения Ньютона и законы сохранения, полученные в классической механике, оказываются инвариантными по отношению к преобразованиям Галилея, но не к преобразованиям Лоренца. Необходимо найти такие выражение для импульса и энергии, чтобы ЗС были инвариантны по отношению к преобразованиям Лоренца при всех скоростях

, .

Из приведенных выражений видно, что в СТО возникает дополнительная (кроме кинетической и потенциальной) энергия, называемая энергией покоя

E = mc²

Из выражений для релятивистской энергии и импульса вытекает, что

Полученная величина является релятивистским инвариантом ( вектор энергии-импульса, {Е/с, р_x, p_y, p_z.}). Заметим, что энергия и импульс сами по себе инвариантами не являются, т.к. зависят от скорости и изменяются при переходе от одной системы к другой.

Отметим, что в релятивистской механике масса и энергия непосредственно связаны друг с другом: всякой изменение массы сопровождается изменением энергии покоя.

Пример. Образование и распад элементарных частиц. Дефект масс.

В классической механике Ньютона не существует частиц с нулевой массой ( под действием любой силы такое тело приобретало бы бесконечно большое ускорение). Согласно релятивистским выражениям для энергии и импульса существование частицы с нулевой массой возможно, если она движется со скоростью света.

Пример. Фотон, нейтрино.

19. Общая теория относительности, принцип эквивалентности, экспериментальные подтверждения.

В общей теории относительности Эйнштейн расширяет принцип относительности, распространяя его на неинерциальные системы отсчета (НИСО).

Началась ОТО с принципа эквивалентности (сильного). Никакой эксперимент – ни механический, ни какой-либо другой – не дает возможность отличить инертную массу от гравитационной. (Пример: человек в лифте, движущемся в космическом пространстве с ускорением равным ускорению свободного падения так же чувствует себя, как в поле тяготения Земли). Следовательно, силы инерции, вызываемые ускорением, нельзя отличить от гравитационных сил.

С понятием пространства тесно связана геометрия. Самой древней геометрией является геометрия Евклида (геометрия на плоскости). В основе геометрии Евклида лежат 5 аксиом, которые определяют такие понятия как Точка, прямая, плоскость и их взаимное расположение. Пятая аксиома евклида гласит: предположим, что имеется прямая линия и точка вне ее. Тогда через эту точку можно провести одну и только одну прямую параллельную данной прямой.

Немецкий математик Карл Гаусс заметил, что при переносе геометрии Евклида на искривленную поверхность (например, поверхность сферы) пятая аксиома перестает быть справедливой. В этом случае нет ни одной прямой параллельной данной. И сумма внутренних углов треугольника на такой поверхности больше 180^о. Ученик Гаусса Георг Риман обобщил геометрию Гаусса на три и более измерений и придумал способ выполнения расчетов и предсказания результатов. Так возникла новая геометрия – геометрия Гаусса-Римана. Идеи Римана развили математики Риччи и Кристоффель. Вершиной их трудов стал очень красивый, но весьма абстрактный раздел математики – тензорное исчисление. Именно его использовал Эйнштейн при создании общей теории относительности.

Тензорное исчисление позволяло выразить принцип эквивалентности и принцип ковариантности математически.

Принцип ковариантности: законы физики не должны зависеть от системы координат.

Эйнштейн написал уравнения ОТО. Что же это за уравнения? В самом общем виде их можно записать так:

.

Эти уравнения позволяли определить насколько и как именно искривлено пространство около данной массы.

Эйнштейн объединил искривленное пространство, тяготение и время в одну последовательную непротиворечивую теорию.

Экспериментальное подтверждение ОТО.

1. С помощью ОТО Эйнштейн рассчитал орбиту Меркурия. Результаты расчетов показали, что должно наблюдаться незначительное смещение орбиты в направлении большой полуоси (прецессия). Это явление было известно задолго до создания ОТО и механика Ньютона не могла это явление объяснить. Угол поворота орбиты, предсказанныйэйнштейном и измеренный совпали с точность до погрешности результата. Это был триумф ОТО.

2. Из СТО следовала взаимосвязь энергии массы. Луч света обладает энергией. Тогда на луч света, проходящий вблизи планеты гравитационное поле планеты (например, Солнца) должно действовать с силой. В гравитационном поле луч света получает ускорение и искривляется. Искривление лучей света вблизи поверхности Солнца к этому времени астрономы уже наблюдали. Эйнштейн об этом просто не знал. Дальнейшие эксперименты подтвердили правильность этого вывода.

3. Из уравнений ОТО следует расширение Вселенной, которое было подтверждено экспериментально (красное смещение).

Решения своих уравнений Эйнштейн не нашел. Он только показал, что при они сводятся к уравнениям Ньютона. То есть классическая механика является частным случаем ОТО.

В1915-1916 годах немецкий астроном Карл Шварцшильд решил уравнение Эйнштейна для сферического распределения масс. Из его решений следовало, что при очень большой плотности материи пространство искривляется так сильно, что становится похожим на воронку. А куда ведет этот тоннель? Может быть в другую Вселенную? Расчеты показали, что для прохождения по тоннелю нужны скорости большие скорости света. А ОТО не разрешает двигаться со скоростями большими скорости света.

Во времена Эйнштейна были известны два поля: гравитационное и электромагнитное. Он пытался построить единую теорию поля, из которой получались бы все известные к тому времени уравнения. Сделать ему это не удалось. Может быть для этого нужна новая математика? (Ньютон создал механику после рождения дифференциального исчисления. Эйнштейн создал ОТО после создания тензорного исчисления).