Оглавление

Уравнения кривых и поверхностей 4

Декартова система координат 4

Координаты точки 4

Деление отрезка в данном отношении 4

Прямоугольная декартовая система координат 4

Расстояние между точками 4

Полярная система координат 5

Уравнения кривых и поверхностей 5

Параметрические уравнения кривой 5

Параметрические уравнения поверхностей 5

Кривая в пространстве 7

Прямые и плоскости 7

Прямая на плоскости 7

Общее уравнение прямой 7

Нормальный вектор прямой 7

Уравнение прямой, проходящей через данную точку, и с заданным вектором нормали 7

Направляющий вектор прямой 8

Параметрические уравнения прямой 8

Каноническое уравнение прямой 8

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки 8

Уравнение прямой в отрезках на осях 8

Нормальное уравнение прямой 8

Взаимное расположение прямых на плоскости 8

Угол между прямыми 10

Расстояние от точки до прямой на плоскости 10

Общее уравнение плоскости в пространстве 11

Нормальный вектор плоскости 11

Уравнение плоскости, проходящей через точку с заданным вектором нормали 11

Направляющие векторы плоскости 11

Параметрические уравнения плоскости 11

Уравнение плоскости через заданную точку и два направляющих вектора 11

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки 11

Уравнение плоскости в отрезках 12

Нормальное уравнение плоскости 12

Расстояние от точки до плоскости 13

Взаимное расположение двух прямых в пространстве 14

Угол между плоскостями 14

Прямая в пространстве 15

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки 15

Взаимное расположение двух прямых в пространстве 15

Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве 15

Угол между прямой и плоскостью 16

Расстояние от точки до прямой в пространстве 17

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми 17

Расстояние между двумя параллельными прямыми 17

Кривые и поверхности второго порядка 18

Эллипс 18

Каноническое уравнение эллипса 18

Свойства эллипса 18

Гипербола 20

Свойства гиперболы 20

Асимптота 21

Парабола 22

Свойства паработы 22

Родство эллипса, гиперболы и параболы. 22

Преобразование прямоугольных декартовых систем координат 23

Параллельный перенос системы координат 23

Поворот в прямоугольной декартовой системе координат 23

Матрица перехода от старого базиса к новому 23

Общий случай 23

Общее уравнение линий второго порядка и его приведение к каноническому виду 24

Классификация кривых второго порядка 24

Эллипсоид 24

Сечения эллипсоида 24

Эллипсоиды вращения 25

Однополосный гиперболоид 26

Сечения однополосного гиперболоида 26

Однополосные гиперболоиды вращения 26

Двуполостный гиперболоид 27

Сечения двуполостного гиперболоида 27

Конус 28

Эллиптический параболоид 29

Сечения: 29

Вращения 29

Гиперболический параболоид 30

Сечения 30

Цилиндр 31

Эллиптический цилиндр 31

Гиперболический цилиндр 31

Параболический цилиндр 31

Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка 33

Поверхности вращения 33

Отображение 33

Инъекция 33

Сюръекция 34

Биекция 34