mmt-11

Формула в общем случае

Пусть два колебания происходят во взаимно перпендикулярных направлениях, вдоль осей x и y. Рассмотрим случай, когда ω1 = ω2 = ω.

x = a cos(ωt) y = b cos(ωt + α)

Преобразуем второе уравнение, используя формулу

cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β

Имеем:

y = b cos(ωt + α) y/b = cos(ωt) cos α − sin(ωt) sin α

Гармонические

колебания

Энергия

гармонических

колебаний

Векторная

диаграмма

Сложение

гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты

Биения

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

Формула в общем случае

Уравнение

эллипса

Частные случаи. Синфазные колебания

Колебания в противофазе

Сдвиг на π/2

Фигуры Лиссажу

21/31

Формула в общем случае

Пусть два колебания происходят во взаимно перпендикулярных направлениях, вдоль осей x и y. Рассмотрим случай, когда ω1 = ω2 = ω.

x = a cos(ωt) y = b cos(ωt + α)

Преобразуем второе уравнение, используя формулу

cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β

Имеем:

y = b cos(ωt + α) y/b = cos(ωt) cos α − sin(ωt) sin α

Гармонические

колебания

Энергия

гармонических

колебаний

Векторная

диаграмма

Сложение

гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты

Биения

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

Формула в общем случае

Уравнение

эллипса

Частные случаи. Синфазные колебания

Колебания в противофазе

Сдвиг на π/2

Фигуры Лиссажу

21/31

Формула в общем случае

Пусть два колебания происходят во взаимно перпендикулярных направлениях, вдоль осей x и y. Рассмотрим случай, когда ω1 = ω2 = ω.

x = a cos(ωt)

y = b cos(ωt + α)

Преобразуем второе уравнение, используя формулу

cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β

Имеем:

y = b cos(ωt + α) y/b = cos(ωt) cos α − sin(ωt) sin α

Гармонические

колебания

Энергия

гармонических

колебаний

Векторная

диаграмма

Сложение

гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты

Биения

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

Формула в общем случае

Уравнение

эллипса

Частные случаи. Синфазные колебания

Колебания в противофазе

Сдвиг на π/2

Фигуры Лиссажу

21/31

Формула в общем случае

Пусть два колебания происходят во взаимно перпендикулярных направлениях, вдоль осей x и y. Рассмотрим случай, когда ω1 = ω2 = ω.

x = a cos(ωt) y = b cos(ωt + α)

Преобразуем второе уравнение, используя формулу

cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β

Имеем:

y = b cos(ωt + α) y/b = cos(ωt) cos α − sin(ωt) sin α

Гармонические

колебания

Энергия

гармонических

колебаний

Векторная

диаграмма

Сложение

гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты

Биения

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

Формула в общем случае

Уравнение

эллипса

Частные случаи. Синфазные колебания

Колебания в противофазе

Сдвиг на π/2

Фигуры Лиссажу

21/31

Из первого уравнения:

x2/a2 = cos2(ωt) = 1 − sin2(ωt)

p

sin(ωt) = 1 − x2/a2

Следовательно:

y/b = cos(ωt) cos α − sin(ωt) sin α

y/b = (x/a) cos α − p

1 − x

2

2

2

/a2 sin α

2

p

1 −

2

2

2

y/b − (x/a) cos α = −

x /a

sin α

(y/b − (x/a) cos α)

= (1 − x /a ) sin α

y2

xy

x2

2

x2

2

2

− 2

cos α +

cos

α +

sin

α = sin α

b2

ab

a2

a2

x2

xy

y2

2

− 2

cos α +

= sin

α

a2

b2

ab

Гармонические

колебания

Энергия

гармонических

колебаний

Векторная

диаграмма

Сложение

гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты

Биения

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

Формула в общем случае

Уравнение

эллипса

Частные случаи. Синфазные колебания

Колебания в противофазе

Сдвиг на π/2

Фигуры Лиссажу

22/31

Из первого уравнения:

x2/a2 = cos2(ωt) = 1 − sin2(ωt)

p

sin(ωt) = 1 − x2/a2

Следовательно:

y/b = cos(ωt) cos α − sin(ωt) sin α

y/b = (x/a) cos α − p

1 − x

2

2

2

/a2 sin α

2

p

1 −

2

2

2

y/b − (x/a) cos α = −

x /a

sin α

(y/b − (x/a) cos α)

= (1 − x /a ) sin α

y2

xy

x2

2

x2

2

2

− 2

cos α +

cos

α +

sin

α = sin α

b2

ab

a2

a2

x2

xy

y2

2

− 2

cos α +

= sin

α

a2

b2

ab

Гармонические

колебания

Энергия

гармонических

колебаний

Векторная

диаграмма

Сложение

гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты

Биения

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

Формула в общем случае

Уравнение

эллипса

Частные случаи. Синфазные колебания

Колебания в противофазе

Сдвиг на π/2

Фигуры Лиссажу

22/31

Из первого уравнения:

x2/a2 = cos2(ωt) = 1 − sin2(ωt)

p

sin(ωt) = 1 − x2/a2

Следовательно:

y/b = cos(ωt) cos α − sin(ωt) sin α

y/b = (x/a) cos α − p

1 − x

2

2

2

/a2 sin α

2

p

1 −

2

2

2

y/b − (x/a) cos α = −

x /a

sin α

(y/b − (x/a) cos α)

= (1 − x /a ) sin α

y2

xy

x2

2

x2

2

2

− 2

cos α +

cos

α +

sin

α = sin α

b2

ab

a2

a2

x2

xy

y2

2

− 2

cos α +

= sin

α

a2

b2

ab

Гармонические

колебания

Энергия

гармонических

колебаний

Векторная

диаграмма

Сложение

гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты

Биения

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

Формула в общем случае

Уравнение

эллипса

Частные случаи. Синфазные колебания

Колебания в противофазе

Сдвиг на π/2

Фигуры Лиссажу

22/31

Из первого уравнения:

x2/a2 = cos2(ωt) = 1 − sin2(ωt)

p

sin(ωt) = 1 − x2/a2

Следовательно:

y/b = cos(ωt) cos α − sin(ωt) sin α

y/b = (x/a) cos α − p

1 − x

2

2

2

/a2 sin α

y/b − (x/a) cos α

2

p

2

2

2

= −

1 − x /a sin α

(y/b − (x/a) cos α)

= (1 − x /a ) sin α

y2

xy

x2

2

x2

2

2

− 2

cos α +

cos

α +

sin

α = sin α

b2

ab

a2

a2

x2

xy

y2

2

− 2

cos α +

= sin

α

a2

b2

ab

Гармонические

колебания

Энергия

гармонических

колебаний

Векторная

диаграмма

Сложение

гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты

Биения

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

Формула в общем случае

Уравнение

эллипса

Частные случаи. Синфазные колебания

Колебания в противофазе

Сдвиг на π/2

Фигуры Лиссажу

22/31

Из первого уравнения:

x2/a2 = cos2(ωt) = 1 − sin2(ωt)

p

sin(ωt) = 1 − x2/a2

Следовательно:

y/b = cos(ωt) cos α − sin(ωt) sin α

y/b = (x/a) cos α − p

1 − x

2

2

2

/a2 sin α

2

p

1 −

2

2

2

y/b − (x/a) cos α = −

x /a

sin α

(y/b − (x/a) cos α)

= (1 − x /a ) sin α

y2

xy

x2

2

x2

2

2

− 2

cos α +

cos

α +

sin

α = sin α

b2

ab

a2

a2

x2

xy

y2

2

− 2

cos α +

= sin

α

a2

b2

ab

Гармонические

колебания

Энергия

гармонических

колебаний

Векторная

диаграмма

Сложение

гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты

Биения

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

Формула в общем случае

Уравнение

эллипса

Частные случаи. Синфазные колебания

Колебания в противофазе

Сдвиг на π/2

Фигуры Лиссажу

22/31

Из первого уравнения:

x2/a2 = cos2(ωt) = 1 − sin2(ωt)

p

sin(ωt) = 1 − x2/a2

Следовательно:

y/b = cos(ωt) cos α − sin(ωt) sin α

y/b = (x/a) cos α − p

1 − x

2

2

2

/a2 sin α

2

p

1 −

2

2

2

y/b − (x/a) cos α = −

x /a

sin α

(y/b − (x/a) cos α)

= (1 − x /a ) sin α

y2

xy

x2

2

x2

2

2

− 2

cos α +

cos

α +

sin

α = sin α

b2

ab

a2

a2

x2

xy

y2

2

− 2

cos α +

= sin

α

a2

b2

ab

Гармонические

колебания

Энергия

гармонических

колебаний

Векторная

диаграмма

Сложение

гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты

Биения

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

Формула в общем случае

Уравнение

эллипса

Частные случаи. Синфазные колебания

Колебания в противофазе

Сдвиг на π/2

Фигуры Лиссажу

22/31