mmt-11
.pdf
Из первого уравнения:
x2/a2 = cos2(ωt) = 1 − sin2(ωt)
p
sin(ωt) = 1 − x2/a2
Следовательно:
|
y/b = cos(ωt) cos α − sin(ωt) sin α |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
y/b = (x/a) cos α − p |
1 − x |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
/a2 sin α |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
p |
1 − |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|||||
y/b − (x/a) cos α = − |
|
|
|
|
|
|
x /a |
|
|
sin α |
||||||||||||||||||||
(y/b − (x/a) cos α) |
|
= (1 − x /a ) sin α |
||||||||||||||||||||||||||||
y2 |
|
xy |
|
|
x2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|||||
|
− 2 |
|
|
|
cos α + |
|
|
cos |
|
α + |
|
sin |
α = sin α |
|||||||||||||||||
b2 |
ab |
a2 |
|
a2 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x2 |
|
xy |
|
|
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
− 2 |
|
|
cos α + |
|
|
= sin |
|
α |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
a2 |
|
|
b2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ab |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Гармонические
колебания
Энергия
гармонических
колебаний
Векторная
диаграмма
Сложение
гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты
Биения
Сложение взаимно перпендикулярных колебаний
Формула в общем случае
Уравнение
эллипса
Частные случаи. Синфазные колебания
Колебания в противофазе
Сдвиг на π/2
Фигуры Лиссажу
22/31
Из первого уравнения:
x2/a2 = cos2(ωt) = 1 − sin2(ωt)
p
sin(ωt) = 1 − x2/a2
Следовательно:
|
y/b = cos(ωt) cos α − sin(ωt) sin α |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
y/b = (x/a) cos α − p |
1 − x |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
/a2 sin α |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
p |
1 − |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|||||
y/b − (x/a) cos α = − |
|
|
|
|
|
|
x /a |
|
|
sin α |
||||||||||||||||||||
(y/b − (x/a) cos α) |
|
= (1 − x /a ) sin α |
||||||||||||||||||||||||||||
y2 |
|
xy |
|
|
x2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|||||
|
− 2 |
|
|
|
cos α + |
|
|
cos |
|
α + |
|
sin |
α = sin α |
|||||||||||||||||
b2 |
ab |
a2 |
|
a2 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x2 |
|
xy |
|
|
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
− 2 |
|
|
cos α + |
|
|
= sin |
|
α |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
a2 |
|
|
b2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ab |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Гармонические
колебания
Энергия
гармонических
колебаний
Векторная
диаграмма
Сложение
гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты
Биения
Сложение взаимно перпендикулярных колебаний
Формула в общем случае
Уравнение
эллипса
Частные случаи. Синфазные колебания
Колебания в противофазе
Сдвиг на π/2
Фигуры Лиссажу
22/31
Гармонические
Уравнение эллипса |
колебания |
|
Энергия |
|
гармонических |
|
колебаний |
x2 |
− 2 |
xy |
cos α + |
y2 |
= sin |
2 |
α |
a2 |
ab |
b2 |
|
||||
|
|
|
|
|
Мы получили уравнение эллипса, оси которого ориентированы относительно осей x и y произвольным образом.
Векторная
диаграмма
Сложение
гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты
Биения
y |
x |
Сложение взаимно перпендикулярных колебаний
Формула в общем случае
Уравнение
эллипса
Частные случаи. Синфазные колебания
Колебания в противофазе
Сдвиг на π/2
Фигуры Лиссажу
23/31
Частные случаи. Синфазные колебания
Пусть α = 0:
x2 |
− 2 |
xy |
cos α + |
|
y2 |
= sin |
2 |
α |
||||||||||
a2 |
ab |
|
b2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
x2 |
− 2 |
xy |
+ |
y2 |
= 0 |
|
|
|||||||||
|
|
a2 |
ab |
|
b2 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
= |
0 |
|
|
||||||
|
|
|
|
a |
b |
|
|
|||||||||||
b y = a x
Колебания происходят вдоль прямой.
Учтём, что x = a cos(ωt), y = b cos(ωt). Найдём расстояние до начала координат:
p
p
r = x2 + y2 = a2 + b2 cos(ωt)
Мы получили гармонические колебания.
Гармонические
колебания
Энергия
гармонических
колебаний
Векторная
диаграмма
Сложение
гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты
Биения
Сложение взаимно перпендикулярных колебаний
Формула в общем случае
Уравнение
эллипса
Частные случаи. Синфазные колебания
Колебания в противофазе
Сдвиг на π/2
Фигуры Лиссажу
24/31
Частные случаи. Синфазные колебания
Пусть α = 0:
x2 |
− 2 |
xy |
cos α + |
|
y2 |
= sin |
2 |
α |
||||||||||
a2 |
ab |
|
b2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
x2 |
− 2 |
xy |
+ |
y2 |
= 0 |
|
|
|||||||||
|
|
a2 |
ab |
|
b2 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
= |
0 |
|
|
||||||
|
|
|
|
a |
b |
|
|
|||||||||||
b y = a x
Колебания происходят вдоль прямой.
Учтём, что x = a cos(ωt), y = b cos(ωt). Найдём расстояние до начала координат:
p
p
r = x2 + y2 = a2 + b2 cos(ωt)
Мы получили гармонические колебания.
Гармонические
колебания
Энергия
гармонических
колебаний
Векторная
диаграмма
Сложение
гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты
Биения
Сложение взаимно перпендикулярных колебаний
Формула в общем случае
Уравнение
эллипса
Частные случаи. Синфазные колебания
Колебания в противофазе
Сдвиг на π/2
Фигуры Лиссажу
24/31
Частные случаи. Синфазные колебания
Пусть α = 0:
x2 |
− 2 |
xy |
cos α + |
|
y2 |
= sin |
2 |
α |
||||||||||
a2 |
ab |
|
b2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
x2 |
− 2 |
xy |
+ |
y2 |
= 0 |
|
|
|||||||||
|
|
a2 |
ab |
|
b2 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
= |
0 |
|
|
||||||
|
|
|
|
a |
b |
|
|
|||||||||||
b y = a x
Колебания происходят вдоль прямой.
Учтём, что x = a cos(ωt), y = b cos(ωt). Найдём расстояние до начала координат:
p
p
r = x2 + y2 = a2 + b2 cos(ωt)
Мы получили гармонические колебания.
Гармонические
колебания
Энергия
гармонических
колебаний
Векторная
диаграмма
Сложение
гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты
Биения
Сложение взаимно перпендикулярных колебаний
Формула в общем случае
Уравнение
эллипса
Частные случаи. Синфазные колебания
Колебания в противофазе
Сдвиг на π/2
Фигуры Лиссажу
24/31
Частные случаи. Синфазные колебания
Пусть α = 0:
x2 |
− 2 |
xy |
cos α + |
|
y2 |
= sin |
2 |
α |
||||||||||
a2 |
ab |
|
b2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
x2 |
− 2 |
xy |
+ |
y2 |
= 0 |
|
|
|||||||||
|
|
a2 |
ab |
|
b2 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
= |
0 |
|
|
||||||
|
|
|
|
a |
b |
|
|
|||||||||||
b y = a x
Колебания происходят вдоль прямой.
Учтём, что x = a cos(ωt), y = b cos(ωt). Найдём расстояние до начала координат:
p
p
r = x2 + y2 = a2 + b2 cos(ωt)
Мы получили гармонические колебания.
Гармонические
колебания
Энергия
гармонических
колебаний
Векторная
диаграмма
Сложение
гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты
Биения
Сложение взаимно перпендикулярных колебаний
Формула в общем случае
Уравнение
эллипса
Частные случаи. Синфазные колебания
Колебания в противофазе
Сдвиг на π/2
Фигуры Лиссажу
24/31
Частные случаи. Синфазные колебания
Пусть α = 0:
x2 |
− 2 |
xy |
cos α + |
|
y2 |
= sin |
2 |
α |
||||||||||
a2 |
ab |
|
b2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
x2 |
− 2 |
xy |
+ |
y2 |
= 0 |
|
|
|||||||||
|
|
a2 |
ab |
|
b2 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
= |
0 |
|
|
||||||
|
|
|
|
a |
b |
|
|
|||||||||||
b y = a x
Колебания происходят вдоль прямой.
Учтём, что x = a cos(ωt), y = b cos(ωt). Найдём расстояние до начала координат:
p
p
r = x2 + y2 = a2 + b2 cos(ωt)
Мы получили гармонические колебания.
Гармонические
колебания
Энергия
гармонических
колебаний
Векторная
диаграмма
Сложение
гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты
Биения
Сложение взаимно перпендикулярных колебаний
Формула в общем случае
Уравнение
эллипса
Частные случаи. Синфазные колебания
Колебания в противофазе
Сдвиг на π/2
Фигуры Лиссажу
24/31
Колебания в противофазе
Пусть α = ±π. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
− 2 |
xy |
cos α + |
|
y2 |
= sin |
2 |
α |
||||||||||
|
a2 |
ab |
|
b2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
x2 |
+ 2 |
xy |
+ |
y2 |
= 0 |
|
|
|||||||||
|
|
|
a2 |
ab |
|
b2 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
= |
0 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
a |
b |
|
|
|||||||||||
y = − ab x
Снова получаем колебания вдоль прямой.
Гармонические
колебания
Энергия
гармонических
колебаний
Векторная
диаграмма
Сложение
гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты
Биения
Сложение взаимно перпендикулярных колебаний
Формула в общем случае
Уравнение
эллипса
Частные случаи. Синфазные колебания
Колебания в противофазе
Сдвиг на π/2
Фигуры Лиссажу
25/31
Колебания в противофазе
Пусть α = ±π. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
− 2 |
xy |
cos α + |
|
y2 |
= sin |
2 |
α |
||||||||||
|
a2 |
ab |
|
b2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
x2 |
+ 2 |
xy |
+ |
y2 |
= 0 |
|
|
|||||||||
|
|
|
a2 |
ab |
|
b2 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
= |
0 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
a |
b |
|
|
|||||||||||
y = − ab x
Снова получаем колебания вдоль прямой.
Гармонические
колебания
Энергия
гармонических
колебаний
Векторная
диаграмма
Сложение
гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты
Биения
Сложение взаимно перпендикулярных колебаний
Формула в общем случае
Уравнение
эллипса
Частные случаи. Синфазные колебания
Колебания в противофазе
Сдвиг на π/2
Фигуры Лиссажу
25/31