Задание 1.

Проведен эксперимент по определению зависимости Y=f(X), результаты которого сведены в таблицу 1.1:

	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
	0,2	0,6	1	1,4	1,8	2,2	2,6
y1	7,21	7,2	9,19	11,15	16,94	26,01	39,03
y2	7,36	7,76	8,32	12,49	18,64	25,17	38,18
y3	8,5	8,08	8,27	12,41	18,36	21,51	36,75
y4	7,06	6,33	8,67	11,48	17,59	25,61	36,77
y5	8,04	9,19	9,13	13,32	18,47	25,71	38,31

Найти уравнение регрессии по экспериментальным данным и провести анализ полученной модели. Доверительную вероятность принять равной Р=0,95.

Проверка результатов измерений на принадлежность к генеральной совокупности.

1. Найдём среднее значение y_срi для каждого столбца x_i (см. таблицу 1.2):

,гдеn – число измерений при определённом значении параметра x.

	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7
	0,2	0,6	1	1,4	1,8	2,2	2,6
yср	7,63	7,71	8,72	12,17	18	24,8	37,81
S20	0,37	1,12	0,19	0,75	0,51	3,48	1,02

2. Найдём выборочную дисперсию для каждого значения параметра x. Для этого воспользуемся формулой:

Отсюда получаем (см. таблицу 1.2):

3. Проверим измерения на принадлежность к генеральной совокупности. Для этого воспользуемся критерием Кохрена:

Если полученное значение будет меньше числа G_p(m,n-1), взятого из таблицы Кохрена, тогда все исходные данные принадлежат к генеральной совокупности. Получаем:

G_p(m,n-1)=G_0.95(7,4)=0.4307

G > G_p (0,46 > 0,4307), значит результаты измерений не принадлежат к генеральной совокупности.

Определим, есть ли зависимость между XI и ycpi.

4. Найдём генеральное среднее. Для этого воспользуемся формулой:

В результате получаем:

5. Найдём общую выборочную дисперсию:

6. Найдём выборочную оценку дисперсии среднего

7. Найдём выборочную дисперсию средних по формуле:

Получаем:

8. Воспользуемся критерием Фишера для того, чтобы определить имеет ли место зависимость x_i от y_i или нет. Найдём соотношение:

Если полученное значение будет больше коэффициента Фишера F_p(m-1, mn-m) (взятого из таблицы), то зависимость имеет место быть:

F_p(m-1, mn-m) = F_0,95(6, 28) = 2,45

1251.28 > 2,45 => зависимость есть.

Определим функциональное выражение для заданной зависимости

Построим график зависимости y_ср(x).

Предположим, что функциональная зависимость имеет вид полинома вида: f(x) = α + βx

Найдём соответствующие коэффициенты для полинома первого порядка

9. Перейдём к ортогональным базисным функциям:

Δx = 0,4 и тогда

Полученные значения приведены в таблице 3.

10. Найдём базисные функции f₀(z) и f₁(z).

11. Найдём значения базисной функции f₁(z) во всех точках z, а также квадраты этих значений и представим их в таблице 3:

12. Далее найдём значение для b₀ и b₁ по следующей формуле:

Отсюда получаем: b₀ = 16,69

b_{1 =} 4,79

Получаем зависимость f(z) = 16,69+ 4,79*(z-4)

13. Найдём дисперсию отклонения полученной зависимости от исходных данных по формуле:

14. Проверим, удовлетворяет ли полученная зависимость исходным данным. Для этого воспользуемся критерием Фишера.

F_p(m-2, mn-m) = F_0,95(5, 28) = 6,26

111,76 > 6,26, то есть полученная прямая не согласуется с результатами эксперимента. Попробуем подобрать полином 2-го порядка.