KR1_OTVETY

1. Систематические погрешности и их классификация

СП – погрешности, остающиеся постоянными или меняющиеся по определенному закону при повторных измерениях одной и той же физ. вел. Могут быть изучены, а результат измерений м. б. уточнен.

Классификация. a) По причинам возникновения: из-за свойств, применяемых СИ; из-за несовершенства или неправильности технологии изготовления СИ; из-за износа СИ; из-за неправильной установки СИ; из-за внешних условий; погрешность метода измерения, теоретическая погрешность; субъективные (от оператора). б) По характеру проявления: постоянные; переменные (прогрессивные (постоянно убывают или возрастают) и периодические (периодически изменяют значение и знак по сложному закону).

2. Случайная величина. Функция распределения вероятностей

СВ – величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, причем неизвестно заранее, какое именно. Будем считать СВ заданной, если определена функция, с помощью которой можно вычислить вероятность появления любого возможного события: вычислять вероятность того, что случайная величина примерт какое-либо фиксированное значение, будет принадлежать какому-либо интервалу и т.п.

ФРВ – как раз такая функция . Определяет свойства СВ. Представляет собой скалярную функцию F_x(x) действительного аргумента х и определяет вероятность того, что СВ Х принадлежит открытому интервалу (-∞, х), т. е. вероятность того, что Х<х. F_x(x)=Pr(X: X<x) – неотрицательная неубывающая, непрерывная слева функция.

3. Функция плотности распределения вероятностей и условие нормировки

ФПРВ f(x)=dF_X(x)/dx – производная функции распределения, характеризует как бы плотность, с которой распределяются значения случайной величины в данной точке. Обратно:

ФПРВ удовлетворяет условию нормировки: .

4. График ФРВ и ФПРВ для равномерного закона распределения

5. График ФРВ и ФПРВ для нормального закона распределения

6. Выражение для МО, описывающее зависимость от ФПРВ. Центрированные СВ

(Пределы интегрирования бесконечные). СВ с нулевым математическим ожиданием называются центрированными СВ.

7. Медиана и мода распределения

Введем понятие квантиля: квантиль х_р порядка р СВ Х – такая величина, для которой выполняется соотношение Pr{x<x_p}=F_X(x_p)=p.

Медиана – квантиль пятидесятипроцентного уровня вероятности. Мода – значение СВ, при котором ФПРВ имеет локальный максимум.

8. Что характеризует квантиль х_р порядка р СВ Х

Квантиль х_р порядка р СВ Х – такая величина, для которой выполняется соотношение Pr{x<x_p}=F_X(x_p)=p. х_р – величина, при которой обеспечивается заданный уровень вероятности

9. Определение случайного вектора

В одном и том же случайном эксперименте можно рассматривать не одну, а несколько - n функций, аргументом которых являются случайные события. Совокупность таких функций называется многомерной случайной величиной или случайным вектором и обозначается

10. Что характеризует матрица ковариаций

Матрица ковариаций — это матрица, составленная из попарных ковариаций элементов одного или двух случайных векторов.

Ковариационная матрица случайного вектора — квадратная симметрическая матрица, на диагонали которой располагаются дисперсии компонент вектора, а внедиагональные элементы — ковариациии между компонентами. Ковариационная матрица случайного вектора – многомерный аналог дисперсии случайной величины для случайных векторов; двух случайных векторов – многомерный аналог ковариации между двумя случайными величинами.

11. Выражение для совместной ФПРВ двух СВ, если известно, что они независимы и даны ФПРВ каждой из этих СВ

f_x,y(x, y)=f_y(y)f_x(x), где f_x,y(x, y) – совместная ФПРВ для СВ х и у, f_y(y) – ФПРВ СВ у, f_x(x) – ФПРВ СВ х.

12. Стационарный СП в широком и узком смысле

Случайный процесс называется стационарным в узком смысле, если его функция распределения любого порядка не изменяется при сдвиге совокупности точек  на величину , т.е. Другими словами, для стационарного процесса функция распределения любого порядка и, следовательно, его характеристики не зависят от положения начала отсчета времени. Стационарность означает статистическую однородность процесса во времени. Физически стационарный случайный процесс представляет собой случайный процесс в установившемся режиме.

Случайный процесс называют стационарным в широком смысле, если его среднее значение и дисперсия не зависят от времени, а корреляционная функция зависит только от разности времен . 

13. Критерий оценки «выбросов»

Иначе, правило 3σ

Если СВ распределена по нормальному закону, то вероятность попадания СВ в промежуток: . Практически все значения нормально распределенной СВ лежат в интервале:

14. Назначение критерия оценки по асимметрии и эксцессу

Критерий позволяет вынести решение: принять или отвергнуть выдвинутую гипотезу о нормальности эмпирического распределения.

Асимметрия характеризует скошенность распределения вероятностей СВ. Эксцесс характеризует крутизну распределения вероятностей СВ.

15. Назначение критерия Пирсона

Критерий позволяет вынести решение: принять или отвергнуть выдвинутую гипотезу о нормальности эмпирического распределения.

Критерий χ2 (или Пирсона) отвечает на вопрос о том, с одинаковой ли частотой встречаются разные значения признака в эмпирическом и теоретическом распределениях или в двух и более эмпирических распределениях.

Преимущество метода состоит в том, что он позволяет сопоставлять распределения признаков, представленных в любой шкале, начиная от шкалы наименований. В самом простом случае альтернативного распределения "да - нет", "допустил брак - не допустил брака", "решил задачу - не решил задачу" и т. п. мы уже можем применить критерий χ2. Чем больше расхождение между двумя сопоставляемыми распределениями, тем больше эмпирическое значение χ2.

16. Назначение критерия Колмогорова

Критерий позволяет вынести решение: принять или отвергнуть выдвинутую гипотезу о нормальности эмпирического распределения.

Критерий предназначен для сопоставления двух распределений: эмпирического с теоретическим, например, равномерным или нормальным; одного эмпирического распределения с другими эмпирическим распределением.

Критерий позволяет найти точку, в которой сумма накопленных расхождений между двумя распределениями является наибольшей, и оценить достоверность этого расхождения.

То есть сначала сопоставляются частоты по первому разряду, потом по сумме первого и второго разрядов, потом по сумме первого, второго и третьего разрядов и т. д. Таким образом, сопоставляются всякий раз накопленные к данному разряду частоты.

Если различия между двумя распределениями существенны, то в какой-то момент разность накопленных частот достигнет критического значения, что служит основанием признать различия статистически достоверными. В формулу критерия λ включается эта разность. Чем больше эмпирическое значение λ, тем более существенны различия.

17. Критерий стационарности СП по отношению к дисперсии

; R_x – корреляционная функция

18. Эргодичность СП

Стационарные процессы, для которых один интервал может содержать всю информацию (МО, дисперсия, корреляционная функция) называется эргодическим, все характеристики одни и те же по времени и по совокупности, т.е. по характеристикам одной выборки можно судить о всей генеральной совокупности.

19. Назначение метода МНК

Один из основных способов решения минимизации погрешности оценки. Основан на минимизации суммы квадратов отклонений некоторых функций от искомых переменных.

Используется для решения систем уравнений, когда количество уравнений превышает количество неизвестных, для нахождения решения нелинейный систем уравнений, для аппроксимации экспериментальных точек значениями некоторой функции (позволяет находить наиболее приближенную аппроксимирующую функцию к данным).

Позволяет получать средневзвешенные оценки элементов вектора состояния с целью минимизации невязки (т.е. расхождения между описываемой и описывающей функциями)

20. Отличие между МНК и обобщенным МНК

Обобщённый метод наименьших квадратов сводится к минимизации «обобщённой суммы квадратов» остатков регрессии. МНК – частный случай ОМНК, когда весовая матрица пропорциональна единичной. ОМНК заключается в определенных (линейных) преобразованиях исходных данных и применении МНК с преобразованными данными.

21. Описание процедуры вычислений для реализации оптимального фильтра Калмана

Функционирование фильтра Калмана обеспечивается на основе данных о динамическом объекте и системе измерения. Вычислительная процедура, реализующая фильтр Калмана, представляет собой рекурсивный алгоритм, включающий: прогноз вектора состояния ДО на (k+1)-м шаге, вычисление априорной матрицы ковариации ошибок, вычисление матричного коэффициента усиления фильтра, вычисление оптимальной оценки вектора состояния на (k+1)-м шаге и вычисление оптимальной матрицы ковариаций с учетом данных измерений. При этом объект контроля представляется в виде математической модели, содержащей систему линейных уравнений (для нелинейных систем производится предварительная линеаризация), записанных по методу параметров состояния.