Лабораторные работы - Выполненые / Студенты всех групп / LAB_05 / МП-34 / 19_Слободянский_05

Лабораторная работа № 5

Моделирование проблем ракетостроения

1. Постановка задачи

Чтобы ракете вывести на орбиту Земли искусственный спутник, ей потребуется развить первую космическую скорость – примерно 7,8 км/с. Необходимо проверить, какую скорость смогут развить одноступенчатая и многоступенчатая ракеты и выяснить, каким образом нужно подобрать параметры ракеты (массу на старте, полезную массу, структурную массу, массу топлива), чтобы обеспечить её максимальную скорость.

2. исследование одноступенчатой ракеты

   1. План эксперимента

      1. Упрощающие предположения

Будем считать Землю материальной точкой, то есть всю её массу полагать сосредоточенной в центре планеты. Влиянием атмосферы и других небесных тел можно пренебречь.

2. Анализ задачи

Пусть u – скорость истечения сгорающего топлива, m₀ – масса ракеты на старте, m_p – полезная нагрузка, λ – коэффициент структурной массы (ms). Также задан закон изменения массы топлива mtt в процессе полета. Нужно найти максимальную скорость ракеты v, достигаемую при полном сгорании топлива.

3. Алгоритм

Для вычисления максимальной скорости ракеты можем воспользоваться формулой Циолковского, которую докажем в разделе теоретических обоснований:

2. Реализация в MATLAB

Возьмём практически реальные значения m₀=1, m_p=0,01, λ=0,1, u=3 км/с. Тогда масса топлива m_t=m₀-m_p-m₀*λ=0,89.

Пусть масса топлива уменьшается равномерно с шагом 0,01.

m0=1;mp=.01;lambda=.1;ms=m0*lambda;mt=m0-mp-ms;

mtt=0:.01:mt;

u=3;v=u*log(m0./(m0-mtt));

plot(v)

Получаем следующий график, определяющий скорость ракеты в течение полёта:

При сгорании всего топлива ракета достигнет скорости v=6,62 км/с, что недостаточно для выведения на орбиту Земли.

Из формулы Циолковского видно, что мы можем увеличить максимальную скорость ракеты, если зададим более высокую скорость сгорания топлива или уменьшим полезную и структурную массы.

Из этих трёх перечисленных возможностей наиболее реально уменьшить полезную массу ракеты, так как в состав структурной массы входят достаточно тяжёлые баки для топлива, двигатели и системы управления, а достичь большей скорости истечения газов, чем 3 км/с, крайне сложно и дорого.

В случае m_p=0 получим такой график:

И максимальная скорость v=6,91 км/с.

Если же положить скорость сгорания топлива u=4 км/с, то теоретически достичь первой космической скорости можно:

3. Выводы

Согласно формуле Циолковского, наибольшее влияние на скорость одноступенчатой ракеты оказывает скорость истечения топлива. Современные технологии позволяют обеспечить достаточно высокое её значение, однако такой подход требует очень больших материальных затрат. Гораздо более эффективнее использовать многоступенчатые ракеты, позволяющие развивать очень высокие скорости. Это будет рассмотрено далее.

3. Исследование многоступенчатой ракеты

Реальная одноступенчатая ракета неспособна развить первую космическую скорость. Причина этого – затраты горючего на разгон ненужной, отработавшей части структурной массы. Следовательно, при движении ракеты необходимо периодически избавляться от балласта. В практической конструкции это означает, что ракета состоит из нескольких ступеней, отбрасываемых по мере их использования.

1. План эксперимента

   1. Упрощающие предположения

Будем считать Землю материальной точкой, то есть всю её массу полагать сосредоточенной в центре планеты. Влиянием атмосферы и других небесных тел можно пренебречь.

2. Анализ задачи

Пусть n – число ступеней, u – скорость истечения газов, m_i – масса i-ой ступени, λm_i – соответствующая структурная масса, m_p – масса полезной нагрузки. Требуется вычислить скорость ракеты к моменту сгорания последней ступени.

3. Алгоритм

Приведём формулу, которую докажем позже, в разделе теоретических обоснований:

, где

Данное выражение симметрично по отношению к величинам α₁, α₂, …, α_n, и нетрудно показать, что его максимум достигается в симметричном случае, когда α₁=α₂=…=α_n, то есть каждая отбрасываемая ступень должна уменьшать массу ракеты в одинаковое число раз.

Для ракеты с n ступенями отношение полной массы ракеты к полезной для достижения скорости v_n определяется формулой:

2. Реализация в MATLAB

Положим u=3, m_p=1, λ=0,1

Построим графики зависимостей отношения масс от скорости ракеты v_n после отработки всех запасов топлива для различных значений n.

Для начала построим графики для диапазона скоростей от 5 до 12 км/с

function m=mnog(n)

u=3;

mp=1;

lambda=0.1;

v=zeros(1,71);

m=zeros(1,71);

v=[5:0.1:12];

for i=1:71

m(i)=((1-lambda)/(exp(-v(i)/(n*u))-lambda))^n;

end

hold on;

plot(v,m);

n=2 – синий график

n=3 – красный график

n=4 – зелёный график

n=5 – жёлтый график

Теперь сузим диапазон скоростей, чтобы можно было чётко заметить влияние числа ступеней на данную зависимость при скоростях около первой космической.

function m=mnog(n)

u=3;

mp=1;

lambda=0.1;

v=zeros(1,201);

m=zeros(1,201);

v=[7:0.01:9];

for i=1:201

m(i)=((1-lambda)/(exp(-v(i)/(n*u))-lambda))^n;

end

hold on;

plot(v,m);

n=2 – синий график

n=3 – красный график

n=4 – зелёный график

n=5 – жёлтый график

3. Выводы

Наиболее выгодно строить именно трёхступенчатые ракеты, поскольку по сравнению с двухступенчатыми для достижения скорости, необходимой для выведения тела на орбиту Земли, они могут иметь значительно меньшую массу, а дальнейшее увеличение числа ступеней даёт совсем не существенный выигрыш в массе.

4. Теоретические обоснования

   1. Первая космическая скорость

Пусть m – масса тела, R_З=6400 км – радиус Земли, h – расстояние от поверхности Земли до орбиты (можно пренебречь по сравнению с радиусом Земли), M – масса Земли (6*10²⁴ кг).

Требуется найти скорость v₀, до которой должно разогнаться тело, чтобы начать двигаться вокруг Земли по орбите.

Центростремительное ускорение равно (v₀)²/R_З.

По второму закону Ньютона произведение массы тела на ускорение равно действующей на него силе. Сила определяется законом всемирного тяготения. В результате получим уравнение:

2. Формула Циолковского

Для начала запишем закон сохранения импульса:

Здесь в левой части стоит импульс ракеты в момент времени t, а в правой – импульс ракеты в момент времени t+dt вместе с импульсом продуктов сгорания. Знак «минус» указывает на то, что газы выбрасываются в другую сторону, противоположную направлению движения ракеты. ξ тут в интервале от 0 до 1.

Используя разложения в ряд Тейлора и пренебрегая величинами второго порядка малости, получим закон сохранения импульса в дифференциальной форме:

v₀ и m₀ – это скорость и масса ракеты в момент t=0.

Если v₀=0, то максимальная скорость ракеты, достигаемая при полном сгорании топлива, определяется при подстановке в эту формулу вместо m(t) суммы полезной и структурной масс ракеты:

3. Формула для максимальной скорости многоступенчатой ракеты

Приведём вывод формулы для n=3, для других значений она выводится аналогично.

Пусть m₀ – полная масса ракеты. Она состоит из полезной массы и массы ступеней:

m₀=m_p+m₁+m₂+m₃

После того, как израсходовано всё топливо первой ступени, её масса становится равной m_p+λm₁+m₂+m₃.

По формуле Циолковского в этот момент скорость ракеты

Затем первая ступень отбрасывается и масса ракеты становится равной m_p+m₂+m₃. Рассмотрим момент, когда сгорит всё топливо второй ступени. Вновь воспользуемся формулой Циолковского:

Наконец, при выгорании топлива третьей ступени

Эту цепочку можно продолжить для любого числа ступеней и получать соответствующие формулы.

Для трёх ступеней окончательно получим:

Или можем ввести замены α₁, α₂, α₃ и получить искомую формулу (см. п. 3.1.3).