5.2. Точность предсказаний

Чтобы оценить точность предсказанных (теоретических) значений Y, полезно вычислить стандартную ошибку оценки уравнения регрессии SEE. Эта статистика представляет собой стандартное отклонение фактических значений Y от предсказанных значений .

SEE = ,

или, в общем виде, при наличии k независимых переменных

SEE =

SEE можно интерпретировать как среднее значение остатка или среднюю ошибку предсказания Y, исходя из уравнения регрессии.

Могут иметь место два варианта предсказания:

• необходимость предсказания среднего значения Y для всех вариантов с заданным значением Х, например Х₀;

• необходимость предсказания среднего значения Y для одного варианта с заданным значением Х₀.

В обеих вариантах, предсказанное значение одно и то же

= a + bX₀

В то же время, стандартная ошибка для этих вариантов предсказания разная, хотя в обеих вариантах она является функцией SEE. Для больших выборок стандартная ошибка предсказания среднего значения Y равна SEE/, а ошибка предсказания отдельного значения Y равна SEE. А это значит, что построение доверительных интервалов для предсказанных значений варьируют в зависимости от того, необходимо ли предсказать единственное значение наблюдения или среднее значение наблюдений.

5.3. Допущения модели регрессионного анализа

Регрессионная модель при оценке параметров и проверке значимости исходит из ряда допущений:

1. Ошибочный член уравнения регрессии (остаточный компонент) подчиняется нормальному закону. Для каждого определенного значения Х распределение Y нормально.

2. Средние значения всех этих нормальных распределений Y при заданном Х, лежат на прямой линии с угловым коэффициентом b.

3. Среднее значение ошибочного члена равно 0.

4. Дисперсия ошибочного члена постоянна. Эта дисперсия не зависит от значений, принятых Х.

5. Между ошибочными членами автокорреляция отсутствует, т.е. значения ошибочных величин не зависимы между собой.

5.4. Факторный анализ

В дисперсионном и регрессионном анализах одну переменную четко идентифицируют как зависимую. Факторный анализ не предполагает разделения переменных на зависимые и независимые. При факторном анализе проверяются все возможные варианты взаимозависимостей между переменными.

Факторный анализ – это название целого класса методов, используемых, главным образом, для сокращения числа переменных, а также их обобщения. При различных исследованиях приходится сталкиваться с множеством переменных, большинство из которых взаимосвязаны. Для удобства обработки данных число переменных целесообразно снизить до приемлемого уровня. Для того, чтобы осуществить эту процедуру, связи между коррелированными переменными анализируют и представляют в виде небольшого числа факторов. Факторный анализ – это метод анализа взаимозависимости, поскольку в факторном анализе проверяются всевозможные варианты взаимозависимых связей.

Факторный анализ используют в следующих случаях:

• для определения основных факторов, которые объясняют связи в наборе переменных;

• для определения нового, меньшего по размеру набора некоррелирующих переменных, заменяющих исходный набор коррелирующих переменных, на основании которого выполняется дальше многомерный анализ (например, регрессионный);

• для преобразования большего по размеру набора в меньший набор ясно выраженных переменных с целью использования их в последующем многомерном анализе.

Таким образом, фактор – это латентная переменная, конструируемая таким образом, чтобы можно было объяснить корреляцию между набором переменных.