лекции по физике Родин / LEKTsIYa__07_ELEKTRIChESKAYa_ENERGIYa
.docЛЕКЦИЯ № 7
ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ СИСТЕМЫ ЗАРЯДОВ
Электростатические силы взаимодействия консервативны и, следовательно, система зарядов обладает потенциальной энергией.
Найдем потенциальную энергию системы 2-х неподвижных точечных зарядов q1 и q2, находящихся на расстоянии r друг от друга. Каждый из этих зарядов в поле другого заряда обладает потенциальной энергией.
W1 = q112,
W2 = q221,
где потенциал, создаваемый зарядом q2 в точке нахождения заряда ; потенциал, создаваемый зарядом q1 в точке нахождения .
Подставляя 12 и 21 в выражения для энергий W1 и W2, приходим к выводу, что W1 = W2 = W.
Тогда можем записать
W = q112 = q221 = (q112 + q221).
Добавляя к системе из 2-х зарядов последовательно заряды q3, q4, … можно убедиться, что в случае N неподвижных зарядов энергия взаимодействия системы:
, (1)
где i потенциал, создаваемый в той точке, где находится заряд qi, всеми зарядами, кроме i-го.
Если заряды распределены непрерывно, то, разлагая систему зарядов на совокупность элементарных зарядов dq = dV и переходя от суммирования к интегрированию, получаем:
, (2)
где потенциал, создаваемый всеми зарядами системы в элементе объема dV. А для распределения зарядов на поверхности dq = dS.
Выражения (1) и (2) отличаются по содержанию в разном смысле потенциала входящим в оба выражения.
Расчет энергии по (1) дает только энергию взаимодействия, а по (2) полную энергию взаимодействия: т.е. энергию взаимодействия и еще собственные энергии зарядов q1 и q2.
Из (1) следует, что:
W = W12,
где W12 энергия взаимодействия элементов 1-го заряда со 2-м.
Из (2) следует, что:
W = W12 + W1 + W2,
где W1 и W2 энергии зарядов q1 и q2 соответственно.
ЭНЕРГИЯ УЕДИНЕННОГО ПРОВОДНИКА
Пусть имеется уединенный проводник. q, , C заряд, потенциал и емкость этого проводника.
1) Для того, чтобы увеличить его заряд на dq, необходимо dq перенести из бесконечности на проводник. Работа по перемещению:
dA = dq.
По определению, емкость проводника: dq = C d, следовательно:
dA = C d.
2) Для того, чтобы создать на проводнике потенциал , необходимо совершить работу:
.
3) Совершенная работа равна энергии проводника:
.
Полученную формулу можно записать в различных вариантах, учитывая определение емкости.
Поскольку значение во всех точках, где имеется заряд одинаково, можем вынести из-под знака интеграла в формуле (2). Тогда оставшийся интеграл дает нам заряд проводника:
.
Учитывая подстановку q = C; или из
. (3)
где W энергия уединенного проводника.
ЭНЕРГИЯ КОНДЕНСАТОРА. ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ.
ПЛОТНОСТЬ ЭНЕРГИИ.
Как любой заряженный проводник конденсатор обладает энергией.
Пусть q и + заряд, и потенциал положительно заряженной обкладки конденсатора. Согласно выражению (2) интеграл можно разбить на 2 части, для одной и другой обкладки. Тогда
; т.к. q = q+, то
,
где q = q+ заряд конденсатора, U разность потенциалов на его обкладках.
Учитывая, что , запишем:
. (4)
Эта формула определяет полную энергию взаимодействия: не только энергию взаимодействия зарядов одной обкладки с зарядом другой, но и энергию взаимодействия зарядов внутри каждой обкладки.
Формулы (3) и (4) справедливы и при наличии диэлектрика.
Формула (2) определяет электрическую энергию W любой системы через заряды и потенциалы. Но, оказывается, что энергию W можно выразить также и через величину, характеризующую само электрическое поле напряженность .
В качестве простейшего примера возьмем плоский конденсатор (пренебрегая краевым эффектом искажения поля у краев пластин).
Для плоского конденсатора:
,
где d расстояние между обкладками. Подставляя это выражение в формулу (4):
,
умножив и разделив на d, замечая, что и Sd = V (объем между обкладками конденсатора). Получаем:
. (5)
Эта формула справедлива для однородного поля заполнившего объем V.
В общей теории доказывается, что энергию W можно выразить через (если диэлектрик изотропный и учесть, что ) по формуле
. (6)
Подынтегральное выражение в этом уравнении имеет смысл энергии, заключенной в объеме dV. Это подводит нас к весьма важной и плодотворной физической идее о локализации энергии в самом поле. Это предположение нашло опытное подтверждение в области переменных во времени полей. Опыт показывает, что электромагнитные волны переносят энергию носителем энергии является само поле.
Из (5) и (6) следует, что электрическая энергия распределена в пространстве с объемной плотностью:
. (7)
Отметим, что (7) справедлива для изотропного диэлектрика, когда . Для анизотропного диэлектрика зависимость P(E) нелинейная и выражение (7) сложнее.
Примеры решения задач см. Савельев И.В. Курс физики, т.2, стр. 93-94.