лекции по физике Родин / ЛЕКЦИЯ № 16 ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ
.pdfЛЕКЦИЯ № 16 ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ.
ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ.
Из уравнений Максвелла следует вывод о существовании принципиально нового физического явления: электромагнитное поле способно существовать
самостоятельно – без электрических зарядов и токов.
|
|
|
|
Всякое изменение во времени магнит- |
|
B |
|
D |
|
||
|
|
|
|
||
t |
S |
t |
S |
ного поля B |
возбуждает поле электриче- |
|
|
t |
|
||
|
|
|
|
ское, изменение же поля электрического D |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
– в свою очередь возбуждает магнитное по- |
|||
E |
|
H |
|
||
|
|
|
|
ле и т.д. |
|
Если возбудить переменное электромагнитное поле, то в окружающем пространстве возникнет последовательность взаимных превращений электрического и магнитного полей, распространяющихся от точки к точке. Этот процесс будет периодичен во времени и пространстве и, следовательно, представляет собой волну.
ИТАК: Электромагнитными волнами называются возмущения переменного электромагнитного поля, распространяющиеся в пространстве.
Получим уравнение электромагнитной волны исходя из уравнений Максвелла. В случае однородной нейтральной среды, вдали от макроскопических токов (j = 0) и порождающих электромагнитное поле зарядов ( = 0 – объемная плотность заряда) с постоянными и , т.е. среда не обладает ферро- и сегнетосвойствами.
Запишем уравнения Максвелла в дифференциальной форме: |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B , |
|
|
|
||
|
; E |
|
|
(1) |
|||
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
; D 0 |
, |
|
|
|
(2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; H |
D |
, |
|
|
(3) |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
; B 0 . |
|
|
|
(4) |
||
|
|
|
|
|
|
||
С учетом связей между величинами D E |
|
и B |
H формулы (1) и (3) мож- |
||||
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
но представить в виде: |
; E |
H |
, |
|
(5) |
||
|
|
|
0 |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E . |
|
|
|
|
|
; H |
|
|
(6) |
|||
|
|
|
0 |
t |
|
|
|
Взяв поочередно ротор от обеих частей каждого из этих уравнений (см. Са- |
вельев И.В. Курс общей физики т.2, §104) получим неразрывно связанные между |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
собой два волновых дифференциальных уравнения для векторов E и H . |
||||||
|
2 |
|
|
2 |
|
(7) |
E |
E |
; H |
H |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 t2 |
|
0 0 t2 |
|
|
|
Раскрыв |
2 |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
– |
оператор Лапласа, |
c учетом того, что |
||||||
|
|
x 2 |
y2 |
z2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
1 |
|
уравнениям (7) можно придать вид: |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
0 0 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 E |
|
|
2 E |
2 E |
|
2 E ; |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
y2 |
|
z2 |
c2 |
|
t2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(8) |
||
|
|
|
|
|
|
|
2 H |
|
2 H |
|
2 H |
|
2 H . |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
y2 |
|
z2 |
c2 |
|
t2 |
|
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ: СКОРОСТЬ, ПОПЕРЕЧНОСТЬ, СВЯЗЬ МЕЖДУ E И H.
ОПЫТЫ ГЕРЦА И ЛЕБЕДЕВА.
Сравнивая (8) с известным из механики волновым уравнением
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
1 |
|
2 . |
|||
|
x2 |
y2 |
z2 |
v2 |
||||||||
|
|
|
|
|
t2 |
|||||||
Мы видим что: |
|
|
1 |
|
|
|
, |
|
|
|
||
|
|
v2 |
|
c2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то есть электромагнитные поля могут существовать в виде электромагнитных волн, фазовая скорость которых:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
c |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
|||||
где c |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
108 |
|
электродинамическая постоянная. |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
с |
|
|||||||||||
|
0 0 |
|
|||||||||||||||||
В вакууме = = 1 v = c скорость электромагнитной волны в вакууме |
|||||||||||||||||||
совпадает со скоростью света. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение (8) показывает, что изменение векторов E и |
H в пространстве и |
||||||||||||||||||
времени можно описать следующим образом: |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E E0 exp[ i( t kr 1)], |
(9) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H H0 exp[ i( t kr 2 )] |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
где E0 , H0 |
амплитуды колебаний, = |
2 , частота колебаний, k волновой |
|||||||||||||||||
вектор, |
|
|
|
|
|
2 |
|
, длина волны, 1, 2 начальные фазы колебаний. |
|||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
|
k |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В области пространства, где источники электромагнитного излучения от-
сутствуют, то есть = 0 и j 0 можно записать:
|
|
|
|
|
E |
x |
|
|
Ey |
|
|
|
E |
z |
|
|
|
|||||
D |
E |
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) 0, |
||||||||
|
x |
|
y |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
(10) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
H |
|
|
|
|
H y |
|
|
H |
||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
z |
|
||||||||||||
B H |
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) 0. |
|||||||
|
|
|
|
|
y |
|
|
z |
|
|||||||||||||
|
0 |
|
0 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя (9) в (10) получим:
2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kx Ex kyEy kzEz kE 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(11) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
kyHy kyHy kzHz kH 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Итак, |
электромагнитные волны являются поперечными и векторы E и |
H |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
совершают колебания в плоскости, перпендикуляр- |
|||||||||||||||||||
H |
|
|
|
|
ной направлению распространения, которое опре- |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
деляется вектором k (рис.1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Вблизи |
диполя, |
совершающего |
гармониче- |
||||||||||||||
|
|
|
|
k |
ские колебания, электрическое поле в каждый мо- |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
мент времени похоже на поле статического элек- |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
трического диполя, а |
магнитное поле |
|
– на поле |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
прямолинейного проводника с током. Векторы E |
и |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/2. |
|
Рис.1. |
|
|
|
|
H сдвинуты друг относительно друга на |
|
|
|||||||||||||||||
В дальней зоне электрическое и магнитное поля изменяются в фазе по гар- |
||||||||||||||||||||||||
моническому закону (рис.2.). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Скорость |
распространения |
v |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
электромагнитных волн в среде, ха- |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
E(x, t) |
|
|
|
|
|
|
|
рактеризуемой |
|
|
|
коэффициентом |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
преломления n, определяется фор- |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
мулой: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r X |
|
|
c |
|
c |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
v n |
|
|
|
, |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
(12) |
||||||
|
H(x, t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где и определяют изменение величин векторов E |
и H в веществе по отноше- |
|||||||||||||||||||||||
нию к их значениям в вакууме. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Величина |
определяет преломляющие свойства среды: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
n , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(13) |
||||||
Величину n можно также определить как изменение волнового вектора k |
||||||||||||||||||||||||
при прохождении излучения через вещество: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
k |
|
c |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(14) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
k0 v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Векторы E , |
H и |
v (или E |
, B |
|
и v ), где v скорость волны взаимнопер- |
|||||||||||||||||||
пендикулярны и образуют правовинтовую систему. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Убедиться в поперечности электромагнитной волны можно на примере |
||||||||||||||||||||||||
плоской волны, распространяющейся вдоль оси x со скоростью |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
v с помощью |
||||||||||||||||||||||||
преобразований векторных полей. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
При этом проекции Ex = Hx = 0 не зависят ни от координат, ни от времени |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и векторы H |
и E лежат в плоскостях перпендикулярных к направлению распро- |
странения волны (проекции Ex, Ey, Hy, Hx).
Исходя из скалярного представления уравнений Максвелла (Савельев И.В. Курс общей физики т.2, §105, Савельев И.В. Курс физики т.2, §80) получают:
3
|
Ey |
|
H |
z |
; |
|
H |
z |
|
Ey |
; |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x |
t |
|
|
x |
t |
|||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
E |
z |
Hy |
; |
|
Hy |
|
|
E |
z . |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
t |
|
|
x |
t |
|
|||||||||
|
x |
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
В векторном виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
E Ey |
j Ez k ; |
H Hy |
j Hz k , |
|
|
где j и k – орты осей координат.
Векторы E и H электромагнитной волны взаимно перпендикулярны. Если создано вначале Ey вдоль оси Y, то оно создаст поле Hz, направленное вдоль оси Z, затем Hz создаст поле Ey, и т.д. При этом поля Ez и Hy не возникают. И наоборот, если поле создано вначале Ez Hy Ez Hy и т.д., а Hz и Ey также не возникают. Волновые уравнения для Ey и Hz например, в случае плоской волны:
|
|
|
|
|
|
|
|
2 Ey |
|
|
|
|
2 Ey |
. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
c2 |
t2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 Hz |
|
|
|
|
2 Hz . |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
c2 |
|
t2 |
|
|
|
||||
Простейшим решением этих уравнений являются функции (см. уравнение 9): |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Ey Em cos t kx 1 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
Hz Hm cos t kx 2 |
|
|
||||||||||||||
где частота волны, |
k |
|
|
волновое число, 1, 2 начальные фазы колеба- |
|||||||||||||||||
v |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ния в точке x = 0. Взаимно перпендикулярные вектора E и H |
колеблются в одной |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
фазе ( = ) при этом: H |
|
|
|
|
0 |
|
E |
|
|
. То есть модули E и H в любой точке связа- |
|||||||||||
z |
|
|
|
|
y |
||||||||||||||||
1 |
2 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ны соотношением: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 E |
0 H . |
|
|
ИТАК! Независимо от конкретной формы любая электромагнитная волна характеризуется:
1. |
Скоростью |
v |
|
|
c |
распространения в непроводящей, нейтральной, нефер- |
||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
||||||
|
ромагнитной среде. |
|
||||||
2. |
|
|
|
|
||||
Векторы E , |
H |
( B ) и |
v – взаимно перпендикулярны и образуют правовинто- |
|||||
|
вую систему. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
Векторы E , |
H |
всегда колеблются в одинаковых фазах, при этом в любой точ- |
ке 0 E 0 H . Модули E и H(B) одновременно достигают максимума и
одновременно обращаются в нуль.
Опыты Герца и Лебедева см. Савельев И.В. Курс общей физики, т.2, §106; Савельев И.В. Курс физики, т.2, §80 стр. 325.
4