Алгебра

1. Бинарные отношения. Отношение эквивалентности и разбиение множества на классы эквивалентности. Отношение порядка. Фактор-множество.

1.1. Понятие бинарного отношения. Примеры. Виды бинарных отношений: рефлексивное, симметричное, транзитивное, антирефлексивное, антисимметричное.

1.2. Отношение эквивалентности. Примеры. Классы эквивалентности, фактор-множество. Разбиение множества на классы эквивалентности. Теорема о задании отношения эквивалентности с помощью разбиения и о задании разбиения множества с помощью отношения эквивалентности (одну из теорем доказать).

1.3. Отношение порядка, строго порядка, линейного порядка.

(1) гл.2 §2,4,5.

2. Группы, подгруппы, изоморфизм и гомоморфизм групп. Примеры и простейшие свойства.

2.1. Определение группы. Примеры. Аддитивные и мультипликативные группы.

2.2. Простейшие свойства (достаточно доказать одно свойство).

2.3. Понятие подгруппы. Примеры. Критерий подгрупп.

2.4. Изоморфизм и гомоморфизм групп. Свойства изоморфизмов (достаточно доказать одно из свойств).

(1) гл.3; (2) §63, 63; (3) §40.

3. Сравнимость элементов группы по подгруппе. Нормальный делитель группы. Фактор-группа.

3.1. Сравнимость элементов группы по подгруппе. Доказательство того, что данное отношение является отношением эквивалентности. Классы смежности группы по подгруппе. Левостороннее и правостороннее разложение группы. Метод нахождения классов смежности. Примеры. Теорема Лагранжа.

3.2. Нормальный делитель группы. Два определения и их эквивалентность. Фактор-группа (определение, доказательство того, что фактор-группа является группой, примеры).

(1) гл.10 §2,4; (2) §65.

4. Кольцо. Примеры колец. Простейшие свойства колец. Подкольцо. Идеалы кольца.

4.1. Понятие кольца. Примеры. Понятие коммутативного кольца и кольца с единицей.

4.2. Простейшие свойства колец (достаточно доказать одно из свойств).

4.3. Понятие подкольца. Примеры. Критерий подкольца.

4.4. Изоморфизм и гомоморфизм колец. Свойства изоморфизмов (достаточно доказать одно из свойств).

(1) гл.3 §4; (2) §43, 44, 46; (3) §40.

5. Кольцо целых чисел. Теорема о делении с остатком в кольце целых чисел. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное двух целых чисел.

5.1. Определение кольца целых чисел, делимости целых чисел. Свойства делимости. Теорема о делении с остатком для целых чисел.

5.2. Определение наибольшего общего делителя (НОД) двух целых чисел. Алгоритм Евклида и пример его применения для вычисления НОД.

5.3. Наименьшее общее кратное (НОК) двух целых чисел. Теорема о связи НОД и НОК. Другие способы вычисления НОД и НОК.

(1) гл.4 §4, гл.11 §2, 3; (5) гл.3

6. Поле, простейшие свойства полей. Примеры полей. Поле рациональных чисел. Расширения поля.

6.1. Понятие поля. Примеры. Поле рациональных чисел. Понятие подполя. Критерий подполя.

6.2. Простейшие свойства полей (необходимо провести доказательства не менее двух свойств).

6.3. Изоморфизм полей.

(1) гл.4 §5; (2) §45, 46; (3) §40; (4) гл.5 §2-3.

7. Поле комплексных чисел. Геометрическое представление комплексных чисел. Алгебраическая и тригонометрическая форма комплексного числа.

7.1. Определение поля комплексных чисел. Теорема об алгебраической форме комплексного числа. Арифметические действия над комплексными числами в алгебраической форме. Примеры.

7.2. Геометрическое представление комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа. Геометрическая интерпретация сложения и вычитания комплексных чисел.

7.3. Тригонометрическая форма комплексного числа. Умножение, деление, возведение в степень комплексных чисел в тригонометрической форме. Извлечение корня. Примеры.

(1) гл.4 §7, 8; (2) §17-19; (3) §2-4.