1 лекция-Физика

точки О равен геометрической сумме моментов импульсов всех точек системы относительно той же точкиr.

M = ∑Mri – сумма моментов всех внешних сил относительно точки О.

i

				11
		dL	z	r
				= M z относительно оси.
		dt
	Причем это справедливо не только для материальной точки, но и для системы из N
материальных точек.
		dLr		= Mr		, где Lr= ∑Lri - момент импульса системы материальных точек относительно
		dt				i

Моменты внутренних сил взаимно компенсируют друг друга. Для доказательства этого утверждения рассмотрим взаимодействие двух материальных точек системы материальных точек.

Моменты внутренних сил, действующих на mi

и mk относительно произвольной точки О:

r

r

r

] ,

M

=[r

× f

a

m

m

rik

ri

rik

] ,

k

β

M

ki

=[r × f

ki

r

i

r

k

fik

ri

l

rk fki

M ik

= ri

fik

sin a = fik l ,

M ik

Mrki

M

ki

= r

f

ki

sin β = f

ki

l

k

O

Mik и Mki равны по величине и противоположны по направлению.

Что и требовалось доказать.

Закон сохранения момента импульса.

Если для системыrматериальных точек:
∑Mri = 0 , то dL		= 0 .
N
i=1	dt

Следовательно, L = const .

Закон сохранения момента импульса: суммарный момент импульса системы материальных точек относительно точки (оси) есть величина постоянная, если векторная сумма моментов всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю.

Рассмотрим опыт со скамьей Жуковского. Человек стоит на скамье и держит вращающееся колесо горизонтально. Следовательно, суммарный момент импульса относительно вертикали равен нулю. Подняв вращающееся колесо над головой, момент импульса колеса относительно вертикали перестает быть равным нулю. Исходя из закона сохранения, суммарный момент импульса системы относительно вертикали, должен оставаться равным нулю. Значит, должен появиться противоположный по направлению момент импульса скамьи. В результате чего мы наблюдаем вращающуюся в противоположную сторону скамью с человеком.

1 2

12

Момент инерции относительно неподвижной оси.

1. Момент инерции материальной точки относительно оси, перпендикулярной плоскости вращения.

Рассмотрим материальную точку, движущуюся по окружности с угловой скоростью ω в

плоскости, перпендикулярной оси (z) и проходящей через центр окружности.
Найдем момент импульса материальной точки относительно
точки О (он равен моменту импульса относительно оси z):					z
L =[R × pr] = Lz ,					r
где R		- радиус-вектор, характеризующий положение			ω
				r	r
материальной точки относительно оси.				Lz	L
Проекция момента импульса на ось z равна модулю вектора
L относительно точки О:				Rr	0
	Lrz		π = Rmυ = RmωR = mR2ω .
Lz =		= Rpsin
			2	m
Величина mR2
			постоянна и называется моментом инерции	pr
материальной точки.

Момент инерции материальной точки относительно оси

– это величина, равная произведению массы материальной точки на квадрат расстояния до оси вращения.

I z = mR2 .

Так как Lz и ωr сонаправлены, выражение для момента импульса можно записать следующим образом: Lz = I zωr .

2. Момент инерции абсолютно твердого тела относительно неподвижной

оси.

Рассмотрим абсолютно твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси z с некоторой угловой скоростью. Представим тело как совокупность N материальных точек.

Пусть mi - масса i-ой материальной точки.

Ri - характеризует положение материальной точки

относительно оси.

Момент количества движения (импульса) относительно оси для абсолютно твердого тела, как системы материальных точек:

Lrz = ∑Lrzi = ∑ mi Ri2ωr		=ωr∑ mi Ri2	= I zωr , где
N	N	N
i=1	i=1	i=1

z ωr

Lriz Lri

0

Ri mi

pri

N

I z = ∑ mi Ri2 - момент инерции абсолютно твердого тела относительно оси z.

i=1

Он зависит от:

1)массы материальных точек;

2)распределения масс в теле относительно оси ( Ri );

3)выбора оси.

13

Формулу для момента инерции абсолютно твердого тела относительно неподвижной оси можно представить в интегральном виде.

Для этого от mi перейдем к бесконечно малой массе dm , от Ri к r и от суммы Σ к интегралу:

I z = ∫r 2 dm .

(m)

Для однородного по объему тела плотность материала ( ρ ) постоянна. dm = ρ dV , где dV - элементарный объем.

Таким образом, расчет момента инерции однородного тела сводится к интегралу по объему:

I z = ρ ∫r 2 dV .

(V )

Если момент импульса постоянен относительно оси, то при уменьшении момента инерции,

угловая скорость будет возрастать ( Lz = const I z ↓ ω ↑ и I z ↑ ω ↓).

Это применяют фигуристы, балерины в своих выступлениях, вытягивая руки в стороны и прижимая их к себе, чтобы изменить скорость вращения.

Основное уравнение динамики вращательного движения.

Рассмотрим абсолютно твердое тело, вращающееся относительно неподвижной оси. Момент импульса тела относительно оси:

Lz = I zωr .

Действие внешних сил на тело приведет к изменению угловой скорости вращения и изменению момента импульса. Возьмем производную по времени от обеих частей уравнения:

	dLz		=	I	z		dωr	.
	dt						dt
Учитывая, что
	dL	z			r				dω	r
			=	M z , а						= ε , получим:
	dt								dt
εr =			M z				- основное уравнение динамики вращательного движения.
			I z

Во втором законе Ньютона масса материальной точки является мерой инертности в динамике ее движения. В динамике вращательного движения такой мерой инертности является момент инерции тела.

Примеры расчета момента инерции абсолютно твердого тела.

1. Тонкое кольцо, полый тонкостенный цилиндр

Если ось z совпадает с осью симметрии кольца (цилиндра), то расстояние от центра кольца

до каждой mi постоянно и равно R . Момент инерции кольца или полого цилиндра равен:

I z = R2 ∑ mi = R2 m .

I z = mR2 .

z

R

2. Однородный диск (сплошной цилиндр)

Для вычисления момента инерции однородного диска относительно оси симметрии, проходящей через его центр масс, используем формулу для момента инерции в интегральном виде.

14

Для удобства интегрирования элементарный объем dV цилиндрического кольца радиусом r, толщиной dr и высотой h.

I z = ρ∫R r 2 (2πr h)dr = ρ 2π h∫R r3dr =												dr
0								0
= 2πhρ R		4	= πhρR	4	= (πR	2	h ρ) R			2		h
4			2					2
Заметим, что πR2 h =V , а V ρ = m .											2
Искомая формула имеет вид:								I z =	mR			.
									2

Теорема Штейнера.

выбираем в виде тонкого

z

2R

Момент инерции тела относительно произвольной оси Z	Z	Z c
равен сумме момента инерции этого тела относительно оси,
параллельной данной и проходящей через центр масс этого		d
тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между
осями.		C
Если I z - искомый момент инерции тела относительно оси Z,
Ic - момент инерции тела относительно оси Zc , параллельной
оси Z , и проходящей через центр масс тела – точку С,
d – расстояние между осями, то можно показать, что:

	Iz	= Ic + md 2	.
Момент инерции однородного стержня.
Для вывода формулы		для момента инерции стержня (IC ) длиной l и массой m

относительно оси ZC , перпендикулярной стержню и проходящей через его центр, разобьем его на

элементарные участки длиной

инерции dIC = r 2 dm = ml r 2 dr .

Момент инерции

IC = 2l∫/ 2 dIC = 2 m l		∫/ 2 r 2 dr = 2 m		r3
0	l	0	l 3

dr (см.			рис.) Масса такого участка	dm = m dr , а его момент
				l
	всего		стержня:
l / 2		ml 2	Z	ZC
	=
		12	.
0

Таким образом, момент инерции стержня относительно оси симметрии ZC равен IC = 121 ml 2 .

Теперь получим формулу для момента инерции относительно оси Z , параллельной оси ZC , но

проходящей через конец стержня (см. рис.). Для этого применим теорему Штейнера:

	l		2		ml 2		ml 2		ml	2
	IZ = IC +m			=		+		=		.
		2			12		4		3

r

	C	dr
l		l

2

2

15

Таким образом, IZ = 13 ml 2 .

Работа силы. Мощность.

Понятие работы силы является фундаментальным понятием классической механики, с которым связано введение таких важных понятий, как потенциальная, кинетическая, полная механическая энергия.

Работа A силы F - мера действия силы, зависящая от величины и направления силы, и от

перемещения точки ее приложения.
Элементарной работой (δA) силы F на элементарном перемещении drrназывается скалярное
произведение этой силы на drr:		r	r					dr
	δA =			.
		F	dr					r	2
Или в декартовых координатах:								F
δA = Fx dx + Fy dy + Fz dz .							1
Работой силы F при перемещении материальной точки из точки (1) в точку (2) называется:
					(2)	r	r
					A = ∫	F	dr	.
					(1)

Мощность P - физическая величина, измеряемая отношением элементарной работы δA к тому промежутку времени dt , в течение которого она произведена:

			F drr	r
P =	δA				r
	dt	=		= F	υ .
			dt

Мощность является характеристикой двигателя.

16

Работа силы тяготения. Работа силы Кулона.

Закон тяготения

Закон Кулона

Две материальные точки массами m1 и m2 ,

Два точечных заряда q1 и q2 , расположенных

находящиеся на расстоянии r друг от друга,

на

расстоянии

r друг

от друга в вакууме,

притягиваются

с

силой,

прямо

взаимодействуют друг с другом с силой, прямо

пропорциональной

произведению

масс и

пропорциональной произведению этих зарядов

обратно

пропорциональной

квадрату

и

обратно

пропорциональной квадрату

расстояния между ними и направленной по

расстояния между ними. Сила взаимодействия

прямой, соединяющей их.

направлена по прямой, соединяющей заряды.

Fr

= −G

m1m2

r

,

Fr

q1 q2

r

g

r 2

r

= k

,

где G = 6,67

−11

м3

k

r 2

r

10

– гравитационная

где k = 9 109 Н·м2/Кл2 .

кг с2

постоянная.

q1

и q2 - алгебраические величины, от их знаков

Знак “-” указывает на то, что сила тяготения

зависит направление силы (притяжение или

является силой притяжения. Перепишем закон

отталкивание).

всемирного тяготения в виде:

Перепишем закон Кулона в виде:

Fr

=α

r

, где α = −Gm m

.

Fr

=α

r

, где α = kq q

.

r3

g

1

2

к

r3

1

2

Будем перемещать материальную точку с

Будем перемещать положительный заряд q2

массой m2

относительно материальной точки с

относительно

положительного заряда

q из

массой m1

из точки (1) в точку (2) (см. рис.).

точки (1) в точку (2) (см. рис.).

1

rr

(1)

rr1

(1)

r

1

Fk

Fg

r

m2

r

+ q2

drr

drr

m1

rr

+

rr2

2

q1

(2)

(2)

Найдем работу этих сил по перемещению

материальной точки (заряда) из точки (1) в точку

(2) по произвольной траектории относительно другой материальной точки (заряда):

(2)

r

(2)

1

(2)

1

A =

(1)∫α

r

drr

=α

(1)∫

rrdrr =α

(1)∫

r(drr)r , где (drr)r - проекция элементарного перемещения на

r3

r3

r3

направление радиус-вектора, характеризующего положение материальной точки (заряда) относительно другой материальной точки (заряда).

(drr) r = dr и характеризует изменение r

по величине.

r2

1

1

1

A =α∫r2

− r

dr =α r

.

r

1

2

1

Подстановка α приводит к формулам для работы силы гравитационного взаимодействия и

кулоновского взаимодействия:

A =−γ

m m

−γ

m m

A

=

kq1q2

−

kq1q2

1 2

−

1 2

.

r

r

.

g

r

r

k

1

2

1

2

17

Таким образом, работа силы гравитации и работа силы Кулона не зависят от траектории, по которой движется материальная точка (заряд), а зависит от начального и конечного положения материальной точки (заряда). Сила, работа которой зависит от начального и конечного положения материальной точки (точечного заряда) и не зависит ни от вида траектории, ни от закона ее движения, называется потенциальной (консервативной) силой. Следовательно, сила гравитации и сила кулоновского взаимодействия являются консервативными силами.

Работа силы тяжести

Сила тяжести – сила, действующая на любую материальную точку массой m , находящуюся вблизи поверхности Земли или другого небесного тела, и сообщающая ей ускорение свободного падения g . В области, размеры которой малы по сравнению с радиусом Земли, поле силы

тяжести можно считать однородным.
Сила тяжести, действующая на материальную точку, равна		hz	(1)
произведению ее массы на ускорение свободного падения:
FТ = mgr .		1
Пусть материальная точка перемещается из точки (1) в			m	drr
точку (2) по произвольной траектории. Рассмотрим
элементарную работу силы тяжести на элементарном			FТ
перемещении drr (см. рис.).		h2		(2)
δAТ	= FТ drr = FТ (dr)F , где (dr)F – проекция элементарного	0
перемещения drr на направление силы тяжести FТ .
δA	= F (−dz) = −mgdz , где (−dz) проекция элементарного перемещения drr			на ось z .
Т	Т

Тогда работа силы тяжести по перемещению материальной точки из точки (1) в точку (2)

h2		h2
будет равна: AТ = ∫	−mgdz = −mg ∫dz = mgh1 −mgh2 .
h1		h1

AТ = mgh1 −mgh2 .

Отсюда следует, что работа силы тяжести не зависит от формы траектории, а определяется лишь начальным и конечным положением материальной точки в пространстве.

Таким образом, сила тяжести является консервативной силой.

Работа силы упругости

Рассмотрим систему, в которой действует упругая сила. На рисунке изображена пружина с

закрепленным концом, к другому концу которой прикреплена материальная точка массой						m .
Величина		x характеризует абсолютную деформацию пружины,		drr r
вызванную внешней силой:
х=0 – соответствует равновесному положению материальной
точки;				m	Fy
х>0 – соответствует деформации растяжения пружины;
х<0 – соответствует деформации сжатия пружины.
r	-	характеризует положение материальной	точки		0	x
относительно положения равновесия.
drr	- элементарное перемещение тела.

Fупр - сила упругости, приложенная к материальной точке со стороны пружины, всегда направлена к положению равновесия.

18

В случае небольших деформаций соблюдается закон Гука, согласно которому Fупр = −krr , где

k - коэффициент упругости, а в нашем примере коэффициент жесткости пружины. Найдем элементарную работу силы упругости по перемещению материальной точки:

δAупр = Fупрdrr = −κ rrdrr = −κ r(drr)r = −κ rdr . (drr)r – проекция drr на направление r .

Работа силы упругости по перемещению материальной точки из положения, характеризуемого rr1 в положение rr2 :

Aупр		r2	rdr =			κ r				2	κ r	2
	= −∫κ						1			−	2 .
		r1					2				2
A	=	κ r	2	−	κ r		2
		1				2			.
упр		2			2

Таким образом, сила упругости тоже является консервативной силой.

Работа силы трения

Сила трения – сила, возникающая при относительном перемещении соприкасающихся тел и направленная в сторону, противоположную относительному перемещению.

Элементарная работа силы трения:	(2)
δATр = FTрdrr = −FTрdS .	FTр
Работа силы трения при перемещении материальной точки из
точки (1) в точку (2):	m dr
(2)
A = − ∫FTрdS .	(1)
(1)
При FTр = Const ATр = −FTрS .

Работа силы трения зависит от формы траектории. Значит, сила трения – неконсервативная сила. Сила, работа которой сопровождается выделением теплоты, разрушением тел и т.д. называется диссипативной силой. Таким образом, сила трения - диссипативная сила.

19

Поле силы. Потенциальная энергия. Связь между консервативной силой и потенциальной энергией.

Поле сил – свойство пространства, которое заключается в том, что на помещенное в него тело действует сила, закономерно изменяющаяся от точки к точке пространства.

Поля сил бывают:

•поля консервативной силы (гравитационное, электростатическое, упругой силы) – потенциальные поля;

•поля неконсервативной силы (магнитное, электрическое) – вихревые поля.

Выше, рассматривая работу консервативных сил, мы пришли к выводу о том, что она не зависит от формы траектории и равна разности 2-х значений функции, характеризующей относительное положение взаимодействующих тел. Обозначим эти значения функции буквами Wn1 и Wn2 и назовем их потенциальными энергиями взаимодействия.

m1m2

m1m2

Гравитационное поле:

Ag

−γ

−γ

. Работа консервативной силы:

r

=

r

−

1

2

Электростатическое поле:

A

= k

q1q2

− k

q1q2

.

A

=W

−W

.

k

r1

r2

к.с.

n1

n2

Поле силы тяжести: AТ

= mgh1 − mgh2 .

Поле упругой силы: A

=

κ r2

−

κ r

2

.

1

2

упр

2

2

Aк.с. =Wn1 −Wn2 .

δAк.с. = −dWn .

Работа консервативной силы равна взятому со знаком минус изменению потенциальной энергии тела.

Потенциальная энергия может быть определена с точностью до некоторой постоянной.

Wg = −γ

m1m2

+Const .

Пусть: Wg

= 0

при r = ∞ , тогда const = 0 и Wg = −γ

m1m2

.

r

r

W

= k

q1q2

+Const .

Пусть: W

= 0

при r = ∞ , тогда const = 0 и W

= k

q1q2

.

k

r

k

k

r

WТ

= mgh + Const .

Пусть: WТ

= 0 при h = 0 , тогда const = 0 и WТ

= mgh .

Wупр =

κ

r

2

+Const .

Пусть:Wупр =

0 при r = 0 , тогда const = 0 и Wупр =

κ r

2

.

2

2

Таким образом, потенциальная энергия есть величина относительная. Ее можно определить, как часть общей механической энергии системы, зависящую от взаимного расположения материальных точек, составляющих эту систему, и от их положения во внешнем силовом поле. Потенциальная энергия системы в данном ее положении численно равна работе, которую совершают действующие на систему консервативные силы при перемещении системы из этого положения в то, где потенциальная энергия условно принимается равной нулю. Понятие потенциальной энергии имеет место только для консервативных сил, т.е. сил, работа которых зависит от начального и конечного положения системы.

20

Связь между потенциальной энергией и силой.

Пусть материальная точка перемещается из точки (1) в точку (2).

Одна из сил, действующих на материальную точку – консервативная сила.

Обозначим ее F .
Элементарная работа					консервативной силы на элементарном			перемещении dl равна:
δA = Frdlr	= Fl dl ,	где		Fl	- проекция консервативной силы F			на	(2)
направление элементарного перемещения dl .
									r
С другой стороны элементарная работа консервативной силы равна:									Fк.с.
δA = −dWn .									m dl
Следовательно:
F dl = −dW			Fl	= −	dWn		.		(1)
					dl
l	n

Получена формула для проекции консервативной силы на произвольное направление. Применим ее для определения проекций консервативной силы на оси координат.

Fx = − ∂∂Wn x

Fy = −

∂Wn

r

r

r

r

∂W r

∂W

r

∂W

r

∂y

F

= F i

+F j

+F k

=−

n i

+

n

j

+

n k

=−gradW .

к.с.

x

y

z

∂x

∂y

∂z

n

∂Wn

F = −

z ∂z

Консервативная сила, действующая на материальную точку, равна минус градиенту потенциальной энергии, и направлена в сторону уменьшения потенциальной энергии по нормали к эквипотенциальной поверхности (поверхность, в каждой точке которой потенциальная энергия материальной точки имеет одинаковое значение).

Frк.с. = −gradWn .

	Если точки (1) и (2) совпадают, т.е. перемещение материальной точки	(l)
	происходит по замкнутой траектории, то
	Aк.с. = ∫Fк.с.dl =Wn1 −Wn2 = 0 .	(1)(2)
	(l )

Таким образом, работа потенциальных сил по замкнутому пути равна нулю.

Иными словами: Aк.с. = ∫Fк.с.dl = 0 - циркуляция вектора консервативной силы по

(l )

замкнутому контуру равна нулю.